AMC 8 · 2002 · #18

학년 6 rate-ratioalgebra

유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Fraction / Expression Sum Evaluation

mean-median-mode-rangeunit-conversionlinear-equations-one-var convert-to-algebraidentify-subproblems ↑ 선수 지식: multi-digit-arithmeticunit-conversion

📏 짧은 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

Gage skated $1$ hr $15$ min each day for $5$ days and $1$ hr $30$ min each day for $3$ days. How long would he have to skate the ninth day in order to average $85$ minutes of skating each day for the entire time?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

1 hr

(B)

1 hr 10 min

(C)

1 hr 20 min

(D)

1 hr 40 min

(E)

2 hr

AMC 8 2002 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 게이지는 $5$ 일 동안 매일 $1$ 시간 $15$ 분, 그다음 $3$ 일 동안 매일 $1$ 시간 $30$ 분 스케이트를 탔습니다. $9$ 일 전체의 하루 평균을 정확히 $85$ 분으로 맞추려면, 아홉째 날에는 몇 시간 몇 분을 타야 할까요?

주어진 것: $5$ 일 $\times$ 하루 $1$ 시간 $15$ 분 $= 75$ 분; $3$ 일 $\times$ 하루 $1$ 시간 $30$ 분 $= 90$ 분; $9$ 일 전체의 목표 평균 $= 85$ 분/일; 선택지: (A) $1$ 시간, (B) $1$ 시간 $10$ 분, (C) $1$ 시간 $20$ 분, (D) $1$ 시간 $40$ 분, (E) $2$ 시간

구하는 것: 아홉째 날에 타야 할 시간 (시간과 분으로 표현)

이해

계획

주요 도구: #4 변수 도입하기

보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기

모르는 것은 "아홉째 날의 시간" 하나뿐이라, 도구 #4(변수 도입하기) 로 이 값을 $x$ 라 두고 평균을 한 줄짜리 식 $\dfrac{75 \cdot 5 + 90 \cdot 3 + x}{9} = 85$ 로 옮기면 풀이가 단순해집니다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기) 은 계산을 "필요한 총합", "이미 탄 시간", "부족한 부분" 의 세 조각으로 나눠 줘서 산수가 깔끔하게 정리됩니다. 두 도구를 합치면 평균 문장제가 뺄셈 한 번으로 줄어듭니다.

실행 — 정답: E

#7 작은 문제로 쪼개기 4.MD.A.1 단계 1

모든 시간을 분 단위로 바꿉니다.
$1$ 시간 $15$ 분 $= 75$ 분, $1$ 시간 $30$ 분 $= 90$ 분.
단위를 하나로 통일해 두면 흔한 실수를 줄일 수 있습니다.

$1$ 시간 $15$ 분 $= 75$ 분, $\;1$ 시간 $30$ 분 $= 90$ 분

💡 시간을 분으로 바꾸는 것은 4학년 단위 환산: $1$ 시간 $= 60$ 분에 남은 분을 더하면 됩니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 6.SP.B.5 단계 2

작은 문제 $1$: 필요한 $9$ 일 총합.
평균 공식에 따라 하루 평균 $85$ 분을 $9$ 일 동안 만들려면 총합이 $9 \times 85$ 분이어야 합니다.

$$\text{필요한 총합} = 9 \times 85 = 765 \text{ 분}$$

💡 평균 $\times$ 개수 $=$ 총합 — 6학년 평균 공식을 거꾸로 써서 목표 합을 구하는 동작입니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 5.NBT.B.5 단계 3

작은 문제 $2$: $1$~$8$ 일째까지 이미 탄 시간.
$75$ 분짜리 다섯 번과 $90$ 분짜리 세 번을 더합니다.

$$5 \times 75 + 3 \times 90 = 375 + 270 = 645 \text{ 분}$$

💡 곱셈 두 번과 덧셈 한 번으로 $8$ 일째까지의 누적 시간을 구합니다.

#4 변수 도입하기 6.EE.B.7 단계 4

변수를 도입해 해결합니다.
아홉째 날에 탈 시간을 $x$ 분이라 두면, 필요한 총합 $=$ 이미 탄 시간 $+ x$ 입니다.

$$645 + x = 765 \;\Rightarrow\; x = 765 - 645 = 120 \text{ 분}$$

💡 모르는 양에 이름을 붙이고 등식을 정리해 푸는 것은 6학년 "$p + x = q$ 풀기" 그대로입니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 4.MD.A.1 단계 5

$120$ 분을 다시 시간 단위로 바꿔 선택지와 맞춥니다.

$$120 \text{ 분} = 2 \text{ 시간} \;\Rightarrow\; \textbf{(E)}$$

💡 $120 \div 60 = 2$ — 첫 단계 환산을 거꾸로 하면 정확히 $2$ 시간.

[1] #7 4.MD.A.1 모든 시간을 분 단위로 바꿉니다. $1$ 시간 $15$ 분 $= 75$ 분, $1$ 시간 $30$ 분 $= 90$ 분. 단위를 하나로 통일해 두

[2] #7 6.SP.B.5 작은 문제 $1$: 필요한 $9$ 일 총합. 평균 공식에 따라 하루 평균 $85$ 분을 $9$ 일 동안 만들려면 총합이 $9 \times 85$

[3] #7 5.NBT.B.5 작은 문제 $2$: $1$~$8$ 일째까지 이미 탄 시간. $75$ 분짜리 다섯 번과 $90$ 분짜리 세 번을 더합니다.

[4] #4 6.EE.B.7 변수를 도입해 해결합니다. 아홉째 날에 탈 시간을 $x$ 분이라 두면, 필요한 총합 $=$ 이미 탄 시간 $+ x$ 입니다.

[5] #7 4.MD.A.1 $120$ 분을 다시 시간 단위로 바꿔 선택지와 맞춥니다.

검토

합리성 확인: $x = 120$ 을 다시 평균식에 넣어 봅니다. 총 분 $= 375 + 270 + 120 = 765$, $765 \div 9 = 85$ — 목표와 정확히 일치합니다. 다른 시각으로도 점검해 보면, $1$~$5$ 일째는 매일 $85 - 75 = 10$ 분씩 부족($5$ 일 합 $50$ 분 부족), $6$~$8$ 일째는 매일 $90 - 85 = 5$ 분씩 초과($3$ 일 합 $15$ 분 초과) 이므로 $8$ 일째까지 순부족이 $50 - 15 = 35$ 분. 따라서 아홉째 날은 $85 + 35 = 120$ 분이어야 하고, 같은 $2$ 시간이 나옵니다.

대안 접근: 도구 #11(변하지 않는 것 찾기): 목표 평균에서 벗어난 일별 편차의 합은 항상 $0$ 이어야 합니다. $1$~$5$ 일째 편차 합은 $5 \times (75 - 85) = -50$, $6$~$8$ 일째는 $3 \times (90 - 85) = +15$ 이므로 아홉째 날 편차는 $+35$ 가 되어 합이 $0$ 이 됩니다. 그러므로 아홉째 날 시간은 $85 + 35 = 120$ 분 $= 2$ 시간 — (E) 가 확정됩니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

4.MD.A.1 측정 단위의 상대적 크기를 알고, 큰 단위를 작은 단위로 환산하기 ($1$ 시간 $15$ 분을 $75$ 분, $1$ 시간 $30$ 분을 $90$ 분, $120$ 분을 다시 $2$ 시간으로 환산하는 데 사용.)
5.NBT.B.5 여러 자리 자연수의 표준 알고리즘 곱셈 유창성 ($5 \times 75 = 375$, $3 \times 90 = 270$, $9 \times 85 = 765$ 를 계산하는 데 사용.)
6.SP.B.5 평균을 포함한 수치 자료의 요약 (평균 $\times$ 개수 $=$ 총합을 이용해 목표 평균 $85$ 분/일을 $9$ 일 총합 $765$ 분으로 바꾸는 데 사용.)
6.EE.B.7 $x + p = q$ 형태의 방정식을 세우고 풀어 실생활 문제 해결 (아홉째 날 시간을 $x$ 분으로 두고 $645 + x = 765$ 를 풀어 $x = 120$ 을 구하는 데 사용.)

⭐ 목표 평균이 필요한 총합을 정해 줘요: $85 \times 9 = 765$ 분. 이미 탄 $645$ 분을 빼면 남는 $120$ 분 — 정확히 $2$ 시간 — 이 아홉째 날의 몫, 답은 (E).

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: E

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

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