AMC 8 · 2002 · #20
학년 7 geometry-2d문제
The area of triangle XYZ is 8 square inches. Points A and B are midpoints of congruent segments XY and XZ. Altitude XC bisects YZ. The area (in square inches) of the shaded region is
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AMC 8 2002 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.
도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: 삼각형 $XYZ$ 의 넓이는 $8$ 제곱인치입니다. $A$ 는 $\overline{XY}$ 의 중점, $B$ 는 $\overline{XZ}$ 의 중점이고, $X$ 에서 내린 수선 $\overline{XC}$ 는 $\overline{YZ}$ 를 이등분합니다. 아래는 $\overline{YC}$, 왼쪽은 $\overline{XY}$, 위쪽은 $A$ 에서 $\overline{XC}$ 의 중점 $D$ 로 이어지는 선분, 오른쪽은 $\overline{XC}$ 로 둘러싸인 색칠된 사각형의 넓이를 구하세요.
주어진 것: $\triangle XYZ$ 의 넓이는 $8$ 제곱인치; $A$ 는 $\overline{XY}$ 의 중점, $B$ 는 $\overline{XZ}$ 의 중점 (즉 $\overline{XY} \cong \overline{XZ}$); $\overline{XC}$ 는 $X$ 에서 $\overline{YZ}$ 로 내린 수선이고 $C$ 는 $\overline{YZ}$ 의 중점; 선택지: (A) $1\tfrac{1}{2}$, (B) $2$, (C) $2\tfrac{1}{2}$, (D) $3$, (E) $3\tfrac{1}{2}$
구하는 것: 삼각형 왼쪽 절반에 있는 색칠된 사각형의 넓이
이해
문제 재정리: 삼각형 $XYZ$ 의 넓이는 $8$ 제곱인치입니다. $A$ 는 $\overline{XY}$ 의 중점, $B$ 는 $\overline{XZ}$ 의 중점이고, $X$ 에서 내린 수선 $\overline{XC}$ 는 $\overline{YZ}$ 를 이등분합니다. 아래는 $\overline{YC}$, 왼쪽은 $\overline{XY}$, 위쪽은 $A$ 에서 $\overline{XC}$ 의 중점 $D$ 로 이어지는 선분, 오른쪽은 $\overline{XC}$ 로 둘러싸인 색칠된 사각형의 넓이를 구하세요.
주어진 것: $\triangle XYZ$ 의 넓이는 $8$ 제곱인치; $A$ 는 $\overline{XY}$ 의 중점, $B$ 는 $\overline{XZ}$ 의 중점 (즉 $\overline{XY} \cong \overline{XZ}$); $\overline{XC}$ 는 $X$ 에서 $\overline{YZ}$ 로 내린 수선이고 $C$ 는 $\overline{YZ}$ 의 중점; 선택지: (A) $1\tfrac{1}{2}$, (B) $2$, (C) $2\tfrac{1}{2}$, (D) $3$, (E) $3\tfrac{1}{2}$
계획
주요 도구: #7 작은 문제로 쪼개기
보조 도구: #1 그림 그리기, #16 관점 바꾸기
색칠된 사각형을 한 번에 공략하기보다 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 두 조각으로 나누는 게 깔끔합니다. 먼저 왼쪽 절반 삼각형 $\triangle XYC$ 를 구하고, 그 안에 들어 있는 색칠되지 않은 작은 위쪽 삼각형 $\triangle XAD$ 를 구하면 됩니다. 도구 #1(그림 그리기)로 대칭을 따라갑니다. 수선이 $\triangle XYZ$ 를 합동인 두 조각으로 나누고, 중점을 잇는 $\overline{AB}$ 는 $\overline{XC}$ 의 중점 $D$ 에서 만납니다. 마무리는 도구 #16(관점 바꾸기) — 색칠된 넓이는 절반 삼각형에서 작은 위쪽 삼각형을 뺀 값입니다.
실행 — 정답: D
4.G.A.3 단계 1 - 수선을 대칭선으로 활용합니다.
- $\overline{XC}$ 가 $\overline{YZ}$ 를 이등분하는 수선이므로 $\triangle XYZ$ 는 이등변삼각형이고, $\overline{XC}$ 를 따라 합동인 두 직각삼각형 $\triangle XYC$, $\triangle XZC$ 로 나뉩니다.
- 각각 전체 넓이의 절반을 차지합니다.
💡 어떤 도형을 합동인 두 조각으로 나누는 대칭선을 찾는 것은 4학년 대칭 개념 그대로입니다.
7.G.A.1 단계 2 - $\triangle XYC$ 안의 작은 비색칠 삼각형을 찾습니다.
- $\overline{AB}$ 와 수선 $\overline{XC}$ 가 만나는 점을 $D$ 라 합시다.
- $A$, $B$ 가 $\overline{XY}$, $\overline{XZ}$ 의 중점이므로 $\overline{AB}$ 는 $\overline{YZ}$ 에 평행하고 높이의 절반 위치를 지나, $D$ 는 $\overline{XC}$ 의 중점이 됩니다.
- $\triangle XYC$ 안에서 색칠되지 않은 부분은 위쪽 작은 삼각형 $\triangle XAD$ — $A$ 는 $\overline{XY}$ 의 중점, $D$ 는 $\overline{XC}$ 의 중점입니다.
💡 위쪽 작은 삼각형 $\triangle XAD$ 에 이름을 붙이면 색칠된 사각형이 "큰 것 빼기 작은 것" 으로 정리됩니다 — 7학년 닮음 도형 세팅이에요.
7.G.A.1 단계 3 - 변의 비를 이용해 $\triangle XAD$ 의 넓이를 구합니다.
- $\triangle XAD$ 와 $\triangle XYC$ 는 $X$ 에서 같은 각을 공유하고 대응 변의 비가 $1:2$ 이므로 닮음이고 길이 축척이 $\tfrac{1}{2}$.
- 넓이는 변 비의 제곱만큼 줄어들므로 작은 삼각형의 넓이는 $\triangle XYC$ 의 $\bigl(\tfrac{1}{2}\bigr)^2 = \tfrac{1}{4}$ 입니다.
💡 모든 길이를 반으로 줄이면 넓이는 $\tfrac{1}{4}$ 로 줄어들어요 — 7학년 "닮음비의 제곱" 규칙입니다.
7.G.B.6 단계 4 - 절반 삼각형에서 작은 삼각형을 뺍니다.
- 색칠된 영역은 $\triangle XYC$ 안에서 위쪽 작은 삼각형 $\triangle XAD$ 만 빠진 부분이므로 그 넓이를 뺍니다.
💡 합성 영역을 "전체에서 구멍 빼기" 로 계산하는 것은 7학년 복합 도형 넓이 그대로입니다.
4.G.A.3 수선을 대칭선으로 활용합니다. $\overline{XC}$ 가 $\overline{YZ}$ 를 이등분하는 수선이므로 $\triangle XYZ$ 7.G.A.1 $\triangle XYC$ 안의 작은 비색칠 삼각형을 찾습니다. $\overline{AB}$ 와 수선 $\overline{XC}$ 가 만나는 7.G.A.1 변의 비를 이용해 $\triangle XAD$ 의 넓이를 구합니다. $\triangle XAD$ 와 $\triangle XYC$ 는 $X$ 에서 7.G.B.6 절반 삼각형에서 작은 삼각형을 뺍니다. 색칠된 영역은 $\triangle XYC$ 안에서 위쪽 작은 삼각형 $\triangle XAD$ 만 빠진 검토
합리성 확인: 좌표로 검증해 봅시다. $Y=(0,0)$, $Z=(10,0)$, $X=(5,4)$ 로 놓으면 $\overline{YZ}=10$, 높이 $=4$, 넓이 $= \tfrac{1}{2}\cdot 10 \cdot 4 = 20$. 문제의 넓이 $8$ 에 맞추려면 모든 넓이에 $\tfrac{8}{20} = \tfrac{2}{5}$ 를 곱하면 됩니다. 이 좌표에서 $A=(2.5,2)$, $C=(5,0)$, $D=(5,2)$ 이므로 색칠된 사각형의 꼭짓점은 $Y=(0,0), A=(2.5,2), D=(5,2), C=(5,0)$ — 평행한 두 변 $YC=5$, $AD=2.5$, 높이 $2$ 의 사다리꼴이고 넓이는 $\tfrac{1}{2}(5+2.5)(2) = 7.5$. 축척을 적용하면 $7.5 \cdot \tfrac{2}{5} = 3$ 제곱인치 — (D) 와 일치합니다. 또 작은 비색칠 삼각형이 절반 삼각형의 $\tfrac{1}{4}$ 이므로 색칠된 부분은 $\tfrac{3}{4}$ 인 $3$, 전체 $8$ 의 $\tfrac{3}{8}$ 도 정확히 $3$ 입니다.
대안 접근: 도구 #5(패턴 찾기) — 전체 대비 분수로 봅니다. 중점 선분 $\overline{AB}$ 가 $\triangle XYZ$ 를 위쪽 작은 삼각형 $\triangle XAB$ (전체의 $\tfrac{1}{4}$, 즉 $2$) 와 사다리꼴 $AYZB$ (전체의 $\tfrac{3}{4}$, 즉 $6$) 로 나눕니다. 수선 $\overline{XC}$ 가 그 사다리꼴을 대칭으로 다시 합동인 두 조각으로 나누므로 색칠된 절반은 $6 \div 2 = 3$. 같은 답 (D).
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)
4.G.A.3도형의 대칭선을 인식하기 — 그 선을 따라 접으면 두 부분이 일치하는 선 (이등변삼각형 $\triangle XYZ$ 의 대칭선인 수선 $\overline{XC}$ 를 이용해 삼각형을 합동인 두 절반으로 나누어 $\triangle XYC$ 의 넓이를 $4$ 로 구하는 데 사용.)7.G.A.1도형의 축척 그림 문제 풀기 — 축척 그림에서 실제 길이와 넓이 계산하기, 다른 축척으로 다시 그리기 ($\triangle XAD$ 가 $\triangle XYC$ 의 변 비 $1{:}2$ 축소본임을 인식해 넓이 비 $1{:}4$ 로 $\triangle XAD$ 의 넓이를 $1$ 로 구하는 데 사용.)7.G.B.6삼각형·사각형·다각형 등으로 이루어진 2차원·3차원 도형의 넓이·부피·표면적 문제 풀기 (색칠된 사각형을 절반 삼각형에서 작은 위쪽 삼각형을 뺀 영역으로 계산: $4 - 1 = 3$.)
⭐ 삼각형의 절반에서 작은 모서리를 빼면 됩니다 — 대칭선이 $4$ 를, 절반 축척 닮음 삼각형이 $1$ 을 주고, $4 - 1 = 3$ 이 색칠된 부분의 넓이예요.
⭐ 삼각형의 절반에서 작은 모서리를 빼면 됩니다 — 대칭선이 $4$ 를, 절반 축척 닮음 삼각형이 $1$ 을 주고, $4 - 1 = 3$ 이 색칠된 부분의 넓이예요.
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