AMC 8 · 2002 · #3

학년 6 arithmetic

유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Fraction / Expression Sum Evaluation

mean-median-mode-rangemultiplesmulti-digit-arithmetic identify-subproblems ↑ 선수 지식: multi-digit-arithmetic

📏 짧은 풀이 💡 1 개 인사이트

문제

What is the smallest possible average of four distinct positive even integers?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 8 2002 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 서로 다른 양의 짝수 네 개를 고를 때, 이 네 수의 평균이 가질 수 있는 가장 작은 값은 얼마인가요?

주어진 것: 네 개의 정수를 골라야 한다; 네 수 모두 양수여야 한다 ($0$ 보다 커야 한다); 네 수 모두 짝수여야 한다; 네 수 모두 서로 달라야 한다 (중복 불가); 선택지: (A) $3$, (B) $4$, (C) $5$, (D) $6$, (E) $7$

구하는 것: 네 수의 평균이 가질 수 있는 가장 작은 값

이해

문제 재정리: 서로 다른 양의 짝수 네 개를 고를 때, 이 네 수의 평균이 가질 수 있는 가장 작은 값은 얼마인가요?

계획

주요 도구: #2 빠짐없이 나열하기

평균은 합을 $4$ 로 나눈 값이므로, 평균이 가장 작으려면 합이 가장 작아야 합니다. 서로 다른 양의 짝수 네 개로 가장 작은 합을 만들려면 양의 짝수를 작은 쪽부터 차례로 ($2, 4, 6, 8, 10, \ldots$) 적은 뒤 앞의 네 개를 고르면 됩니다. 도구 #2(빠짐없이 나열하기)로 순서를 정해 적으면 더 작은 후보를 빠뜨릴 일이 없습니다.

실행 — 정답: C

#2 빠짐없이 나열하기 4.OA.B.4 단계 1

양의 짝수를 작은 쪽부터 차례로 나열합니다.
앞의 네 개가 고를 수 있는 가장 작은 서로 다른 짝수입니다.

$$2,\ 4,\ 6,\ 8,\ 10,\ 12,\ \ldots$$

💡 4학년 배수: 양의 짝수는 $2$ 의 배수입니다. 순서대로 나열하면 가장 작은 네 개가 한눈에 보입니다.

#2 빠짐없이 나열하기 3.NBT.A.2 단계 2

목록에서 앞의 네 개 $2$, $4$, $6$, $8$ 을 고릅니다.
서로 다르고 양수이며 짝수이므로 모든 조건을 만족합니다.
이 네 수를 더합니다.

$$2 + 4 + 6 + 8 = 20$$

💡 3학년 $100$ 이내 덧셈입니다. 가장 작은 네 개를 더하면 가능한 합 중 가장 작은 합이 됩니다.

#2 빠짐없이 나열하기 6.SP.B.5 단계 3

합을 $4$ 로 나누면 평균이 나옵니다.
다른 어떤 선택을 해도 $\{2,4,6,8\}$ 중 하나를 더 큰 짝수로 바꾸게 되어 합이 커지므로, 이 평균이 가장 작은 값입니다.

$$\dfrac{20}{4} = 5 \;\Rightarrow\; \textbf{(C)}$$

💡 6학년 평균: 합 $\div$ 개수. 개수는 $4$ 로 고정이고 합이 가장 작으므로 평균도 가장 작아집니다.

[1] #2 4.OA.B.4 양의 짝수를 작은 쪽부터 차례로 나열합니다. 앞의 네 개가 고를 수 있는 가장 작은 서로 다른 짝수입니다.

[2] #2 3.NBT.A.2 목록에서 앞의 네 개 $2$, $4$, $6$, $8$ 을 고릅니다. 서로 다르고 양수이며 짝수이므로 모든 조건을 만족합니다. 이 네 수를 더합

[3] #2 6.SP.B.5 합을 $4$ 로 나누면 평균이 나옵니다. 다른 어떤 선택을 해도 $\{2,4,6,8\}$ 중 하나를 더 큰 짝수로 바꾸게 되어 합이 커지므로,

검토

합리성 확인: 그 평균이 실제로 가능하고 더 작아질 수 없는지 확인합니다. $\{2, 4, 6, 8\}$ 의 평균은 $5$ 로 실제 예시가 있으므로 $5$ 는 달성 가능합니다. 더 작게 만들 수 있는지 보면, 다른 선택은 이 네 수 중 하나를 빼고 목록에 없는 짝수(적어도 $10$ 이상)로 바꿔야 합니다. 예를 들어 $8$ 을 $10$ 으로 바꾸면 합이 $20$ 에서 $22$ 로 늘어나 평균이 $5.5$ 가 됩니다. 어떤 교체도 합을 줄이지 못하므로 가장 작은 평균은 $5$ 가 맞습니다.

대안 접근: 도구 #6(추측하고 확인하기): 더 작은 후보 답부터 가능한지 점검합니다. 평균이 $3$ 이려면 합이 $12$ 여야 하는데, $2+4+6 = 12$ 만으로 이미 세 수를 다 써 버려 네 번째 서로 다른 양의 짝수를 넣을 자리가 없습니다. 평균이 $4$ 이려면 합이 $16$ 이어야 하지만, 가장 작은 네 수의 합 $2+4+6+8 = 20$ 이 이미 $16$ 보다 크므로 불가능합니다. 평균이 $5$ 일 때 $2+4+6+8 = 20$ 으로 정확히 맞으므로 (C) 가 가능한 가장 작은 평균입니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

4.OA.B.4 자연수의 약수 쌍을 모두 찾고 배수를 인식하기 (양의 짝수가 $2$ 의 양의 배수임을 이용해 $2, 4, 6, 8, \ldots$ 목록을 빠짐없이 순서대로 만드는 데 사용.)
3.NBT.A.2 1000 이내에서 능숙하게 덧셈과 뺄셈하기 (가장 작은 양의 짝수 네 개를 더해 $2 + 4 + 6 + 8 = 20$ 을 구하는 데 사용.)
6.SP.B.5 관측 개수와 중심 측도 등을 포함한 수치 자료 요약 (평균의 정의(합 $\div$ 개수)를 이용해 가장 작은 합 $20$ 을 가장 작은 평균 $\tfrac{20}{4} = 5$ 로 바꾸는 데 사용.)

⭐ 가장 작은 평균은 가장 작은 합에서 나온다 — 그러니 가장 작은 양의 짝수 네 개를 골라 평균을 구하면 끝!

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: C

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

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