AMC 8 · 2002 · #6

학년 6 rate-ratio

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Factor-Pair Enumeration

rategraph-readingpattern-recognition pattern-recognitionidentify-subproblems ↑ 선수 지식: rate

📏 짧은 풀이 💡 2 개 인사이트 📊 도형

문제

A birdbath is designed to overflow so that it will be self-cleaning. Water flows in at the rate of 20 milliliters per minute and drains at the rate of 18 milliliters per minute. Which one of these graphs shows the volume of water in the birdbath during the filling time and continuing into the overflow time?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 8 2002 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 물이 분당 $20$ ml 로 새 모이통에 들어오고, 분당 $18$ ml 로 배수됩니다. 모이통이 가득 차면 넘치는 물은 가장자리로 흘러나갑니다. 시간(가로)-부피(세로) 그래프 다섯 개 (A)~(E) 중에서, 채워지기 시작해 넘치는 단계까지 들어간 이 모이통의 모습을 옳게 나타낸 그래프를 고르세요.

주어진 것: 유입 속도: $20$ ml/분 (일정); 배수 속도: $18$ ml/분 (일정); 처음에는 비어 있고, 차오른 뒤 용량에 도달하면 넘친다; 모든 그래프 축: 가로 $=$ 시간, 세로 $=$ 부피; 선택지: 그래프 (A), (B), (C), (D), (E)

구하는 것: 이 모이통의 시간-부피 관계를 옳게 나타낸 그래프

이해

계획

주요 도구: #7 작은 문제로 쪼개기

보조 도구: #1 그림 그리기

이야기는 두 단계로 또렷이 나뉩니다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 1단계(가득 차기 전, 채워지는 동안)와 2단계(가득 찬 뒤, 넘치는 동안)를 분리합시다. 각 단계에서 순 변화율은 일정한 상수이므로 각각의 그래프는 직선이고, 모이통이 가득 찬 순간에 기울기가 바뀝니다. 도구 #1(그림 그리기)로 "원점에서 출발해 양의 기울기로 올라가는 선분 + 그 뒤로 이어지는 수평 선분" 이라는 두 조각 모양을 그려 두고 다섯 개 선택지와 맞춰봅니다.

실행 — 정답: A

#7 작은 문제로 쪼개기 6.RP.A.3 단계 1

1단계(채우는 동안): 부피의 순 변화율을 구합니다.
분당 $20$ ml 가 들어오고 $18$ ml 가 나가므로 부피는 그 차이만큼 늘어납니다.

$$\text{순 변화율} = 20 - 18 = 2 \text{ ml/분}$$

💡 두 비율을 빼서 하나로 합치는 것은 6학년 "단위 비율" 사고 그대로입니다. 결과는 일정한 단일 변화율 하나.

#1 그림 그리기 6.EE.C.9 단계 2

이 일정한 변화율을 그래프 모양으로 바꿉니다.
분당 $2$ ml 라는 일정한 양의 변화율은 매 분 같은 양만큼 부피가 증가한다는 뜻이므로, 시간-부피 그래프는 양의 기울기를 갖는 직선입니다.
처음이 비어 있으므로 직선은 원점에서 시작합니다.

$$V(t) = 2t \quad (0 \le t \le t_{\text{가득}})$$

💡 6학년 "두 변수 사이의 관계": 변화율이 일정하면 $\Rightarrow$ 일차 관계 $\Rightarrow$ 원점을 지나는 직선.

#7 작은 문제로 쪼개기 6.RP.A.3 단계 3

2단계(넘치는 동안): 모이통이 가득 차고 나면 추가로 들어오는 물은 갈 곳이 없어 가장자리로 흘러넘칩니다.
배수구는 여전히 분당 $18$ ml 를 빼고 넘침은 나머지 분당 $2$ ml 를 빼주므로, 모이통 안의 부피는 용량 그대로 고정됩니다.

$$V(t) = V_{\max} \quad (t \ge t_{\text{가득}})$$

💡 유입과 총 유출이 균형을 이루면 부피는 변하지 않습니다 — 그래프에서는 평평한 수평 선분.

#1 그림 그리기 6.EE.C.9 단계 4

두 단계를 이어 붙입니다.
전체 그래프는 원점에서 시작해 양의 기울기로 올라가는 선분과, 그 뒤에 높이 $V_{\max}$ 에서 이어지는 수평 선분으로 구성됩니다.
이 두 조각 모양을 선택지와 맞춰 보면, 양의 기울기 선 뒤에 수평선이 이어지는 것은 그래프 A 뿐입니다.

$$\text{모양} = \nearrow \text{ 그리고 } \rightarrow \;\Rightarrow\; \textbf{(A)}$$

💡 각 단계의 식만 손에 들어오면, 그래프 고르기는 6학년 "이야기와 그림 짝짓기" 활동이 됩니다.

[1] #7 6.RP.A.3 1단계(채우는 동안): 부피의 순 변화율을 구합니다. 분당 $20$ ml 가 들어오고 $18$ ml 가 나가므로 부피는 그 차이만큼 늘어납니다.

[2] #1 6.EE.C.9 이 일정한 변화율을 그래프 모양으로 바꿉니다. 분당 $2$ ml 라는 일정한 양의 변화율은 매 분 같은 양만큼 부피가 증가한다는 뜻이므로, 시간

[3] #7 6.RP.A.3 2단계(넘치는 동안): 모이통이 가득 차고 나면 추가로 들어오는 물은 갈 곳이 없어 가장자리로 흘러넘칩니다. 배수구는 여전히 분당 $18$ ml

[4] #1 6.EE.C.9 두 단계를 이어 붙입니다. 전체 그래프는 원점에서 시작해 양의 기울기로 올라가는 선분과, 그 뒤에 높이 $V_{\max}$ 에서 이어지는 수평

검토

합리성 확인: 두 조각 모양으로 나머지 선택지를 빠르게 걸러 봅시다. (B) 는 처음에 평평했다가 (부피가 아직 늘지도 않은 상태) 내려가는데, 유입이 배수보다 많은 동안 부피가 줄어들 수는 없으므로 틀립니다. (C) 는 평평해지지 않고 계속 올라가기만 해서 넘치는 단계가 없으므로 틀립니다. (D) 는 처음부터 일정한 양의 부피에서 수평이므로 $t = 0$ 에 이미 가득 차 있다는 뜻이 되어 틀립니다. (E) 는 올라갔다가 내려오는데, 그러려면 모이통이 저절로 비워져야 하지만 배수구만으로는 유입을 따라잡지 못하므로 틀립니다. 원점에서 출발해 일정한 양의 기울기로 올라간 뒤 평평해지는 것은 (A) 뿐 — 이야기의 두 단계 모두와 일치합니다.

대안 접근: 도구 #15(다르게 정리하기): 식을 쓰지 않고 시간 축에 세 시점만 표시합니다 — "비어 있음", "막 가득 참", "가득 찬 뒤 한참 지난 후". 각 시점의 부피는 차례대로 $0$, $V_{\max}$, $V_{\max}$. 이 세 점 $(0, 0)$, $(t_{\text{가득}}, V_{\max})$, $(2 t_{\text{가득}}, V_{\max})$ 만으로도 분당 $2$ ml 라는 순 변화율을 굳이 계산하지 않고 (A) 가 정답임을 알 수 있습니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

6.RP.A.3 비와 비율 추론으로 실생활 및 수학 문제 해결하기 (유입 $20$ ml/분 과 배수 $18$ ml/분 을 합쳐 채우는 동안의 순 변화율 $2$ ml/분 을 구하고, 넘치는 동안 유입과 총 유출이 균형을 이룬다는 점을 인식하는 데 사용.)
6.EE.C.9 서로 관계 있는 두 양을 변수로 나타내고 식을 세워 분석하기 (채우는 단계에서 $V = 2t$, 넘치는 단계에서 $V = V_{\max}$ 를 세우고, 각각에 대응하는 직선 조각과 수평선 조각을 그래프에서 읽어내는 데 사용.)

⭐ 이야기를 두 단계로 나눠 봐요 — 채우는 동안은 일정한 양의 변화율이라 직선이 올라가고, 가득 찬 뒤에는 부피가 용량에 묶여 수평. 그 두 조각 모양은 (A) 뿐입니다.

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: A

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

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