AMC 8 · 2003 · #19

학년 6 number-theory

유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Weighted Group Aggregation

lcmmultiplesprime-factorizationdivisibility-rules identify-subproblemssystematic-enumeration ↑ 선수 지식: prime-factorizationmultiplesmulti-digit-arithmetic

📏 짧은 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

How many integers between 1000 and 2000 have all three of the numbers 15, 20, and 25 as factors?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 8 2003 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: $1000$ 과 $2000$ 사이에 있는 정수 중 $15, 20, 25$ 세 수 모두로 나누어떨어지는 정수의 개수를 구하세요.

주어진 것: 정수 $N$ 은 $1000 < N < 2000$ 을 만족; $15 \mid N$, $20 \mid N$, $25 \mid N$ 이 동시에 성립; 선택지: (A) $1$, (B) $2$, (C) $3$, (D) $4$, (E) $5$

구하는 것: 모든 조건을 만족하는 정수 $N$ 의 개수

이해

문제 재정리: $1000$ 과 $2000$ 사이에 있는 정수 중 $15, 20, 25$ 세 수 모두로 나누어떨어지는 정수의 개수를 구하세요.

주어진 것: 정수 $N$ 은 $1000 < N < 2000$ 을 만족; $15 \mid N$, $20 \mid N$, $25 \mid N$ 이 동시에 성립; 선택지: (A) $1$, (B) $2$, (C) $3$, (D) $4$, (E) $5$

계획

주요 도구: #7 작은 문제로 쪼개기

보조 도구: #2 체계적으로 나열하기

세 가지 나누어떨어짐 조건이 한꺼번에 주어져 복잡해 보이지만, 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 깔끔하게 둘로 나눌 수 있어요. 먼저 $\operatorname{lcm}(15, 20, 25)$ 를 구해 세 조건을 한 조건으로 합치고, 그다음 그 최소공배수의 배수 중 열린 구간 $(1000, 2000)$ 안에 들어가는 개수를 셉니다. LCM 이 나오면 후보가 몇 개 안 되니 도구 #2(체계적으로 나열하기)로 직접 적어 보는 편이 식보다 빠르고 안전해요.

실행 — 정답: C

#7 작은 문제로 쪼개기 6.NS.B.4 단계 1

작은 문제 1: 세 가지 나누어떨어짐 조건을 하나로 합칩니다.
$15, 20, 25$ 로 모두 나누어떨어지는 수는 세 수의 공배수이고, 공배수는 $\operatorname{lcm}(15, 20, 25)$ 의 배수와 같습니다.

$$15 \mid N \text{ 그리고 } 20 \mid N \text{ 그리고 } 25 \mid N \;\Longleftrightarrow\; \operatorname{lcm}(15, 20, 25) \mid N$$

💡 하나의 LCM 조건이 세 가지 나누어떨어짐 체크를 대신합니다. 이것이 6학년 "최소공배수" 개념의 핵심이에요.

#7 작은 문제로 쪼개기 6.NS.B.4 단계 2

소인수분해로 LCM 을 계산합니다.
각 수를 소수의 곱으로 적고, 등장하는 모든 소수의 가장 높은 거듭제곱을 골라 곱합니다.

$$15 = 3 \cdot 5, \;\; 20 = 2^2 \cdot 5, \;\; 25 = 5^2 \;\Rightarrow\; \operatorname{lcm} = 2^2 \cdot 3 \cdot 5^2 = 4 \cdot 3 \cdot 25 = 300$$

💡 $2$ 의 가장 높은 거듭제곱은 $2^2$ ($20$ 에서), $3$ 은 $3^1$ ($15$ 에서), $5$ 는 $5^2$ ($25$ 에서). 곱하면 $4 \cdot 3 \cdot 25 = 300$.

#2 체계적으로 나열하기 4.OA.B.4 단계 3

작은 문제 2: $1000$ 과 $2000$ 사이에 있는 $300$ 의 배수를 적어 봅니다.
$1000$ 보다 큰 첫 배수부터 시작해 $300$ 씩 더해 가며 $2000$ 을 넘기 전까지 나열합니다.

$$300 \cdot 4 = 1200, \;\; 300 \cdot 5 = 1500, \;\; 300 \cdot 6 = 1800, \;\; 300 \cdot 7 = 2100$$

💡 $300 \cdot 3 = 900$ 은 범위 아래, $300 \cdot 7 = 2100$ 은 범위 위. $1000$ 과 $2000$ 사이의 값만 해당됩니다.

#2 체계적으로 나열하기 4.OA.A.3 단계 4

유효한 배수의 개수를 셉니다.
$1200, 1500, 1800$ 은 열린 구간 안에 있고, $900$ 과 $2100$ 은 들어가지 않습니다.

$$\{1200, \; 1500, \; 1800\} \;\Rightarrow\; 3 \text{ 개} \;\Rightarrow\; \textbf{(C)}$$

💡 짧은 나열만으로 답이 한눈에 보입니다 — 세 개가 들어갑니다.

[1] #7 6.NS.B.4 작은 문제 1: 세 가지 나누어떨어짐 조건을 하나로 합칩니다. $15, 20, 25$ 로 모두 나누어떨어지는 수는 세 수의 공배수이고, 공배수는

[2] #7 6.NS.B.4 소인수분해로 LCM 을 계산합니다. 각 수를 소수의 곱으로 적고, 등장하는 모든 소수의 가장 높은 거듭제곱을 골라 곱합니다.

[3] #2 4.OA.B.4 작은 문제 2: $1000$ 과 $2000$ 사이에 있는 $300$ 의 배수를 적어 봅니다. $1000$ 보다 큰 첫 배수부터 시작해 $300$

[4] #2 4.OA.A.3 유효한 배수의 개수를 셉니다. $1200, 1500, 1800$ 은 열린 구간 안에 있고, $900$ 과 $2100$ 은 들어가지 않습니다.

검토

합리성 확인: 나열한 수들이 정말로 $15, 20, 25$ 로 나누어떨어지는지 확인해 봅시다. $1200 = 15 \cdot 80 = 20 \cdot 60 = 25 \cdot 48$, $1500 = 15 \cdot 100 = 20 \cdot 75 = 25 \cdot 60$, $1800 = 15 \cdot 120 = 20 \cdot 90 = 25 \cdot 72$. 세 수 모두 통과합니다. 경계 부근의 $900$ 과 $2100$ 은 $(1000, 2000)$ 밖이므로 제외되는 것이 맞고, 따라서 답은 세 개, 선택지 (C) 입니다.

대안 접근: 도구 #4(변수 도입하기): $N$ 이 $300$ 의 배수여야 하므로 $N = 300k$ 라 두면 $1000 < 300k < 2000$ 이 됩니다. 양변을 $300$ 으로 나누면 $\tfrac{10}{3} < k < \tfrac{20}{3}$, 즉 $3.33\ldots < k < 6.66\ldots$. 이 범위의 정수 $k$ 는 $4, 5, 6$ 세 개이므로 (C) 가 다시 확인됩니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

6.NS.B.4 두 수의 최대공약수와 최소공배수 구하기 (세 가지 나누어떨어짐 조건을 하나의 LCM 조건으로 합치고, 소인수분해를 이용해 $\operatorname{lcm}(15, 20, 25) = 2^2 \cdot 3 \cdot 5^2 = 300$ 을 계산하는 데 사용.)
4.OA.B.4 1-100 범위에서 인수쌍 찾기와 배수 인식 ($300$ 의 배수를 순서대로 ($900, 1200, 1500, 1800, 2100$) 나열하고, 그중 $1000$ 과 $2000$ 사이에 들어가는 것을 가려내는 데 사용.)
4.OA.A.3 사칙연산을 이용한 다단계 문장제 해결 (조건을 만족하는 배수 $\{1200, 1500, 1800\}$ 의 개수를 세어 최종 답 $3$ 을 얻는 데 사용.)

⭐ 여러 나누어떨어짐 규칙이 한꺼번에 주어지면 사실은 LCM 규칙 하나로 합쳐져요. LCM 을 구한 뒤 범위 안 배수를 나열해 세면 끝납니다.

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: C

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

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