AMC 8 · 2003 · #25
학년 8 geometry-2d문제
In the figure, the area of square WXYZ is 25 cm2. The four smaller squares have sides 1 cm long, either parallel to or coinciding with the sides of the large square. In △ABC, AB=AC, and when △ABC is folded over side BC, point A coincides with O, the center of square WXYZ. What is the area of △ABC, in square centimeters?
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AMC 8 2003 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
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도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: 정사각형 $WXYZ$ 의 넓이가 $25 \text{ cm}^2$ 이므로 한 변의 길이는 $5$ cm 입니다. 큰 사각형 둘레의 네 모서리에는 한 변이 $1 \text{ cm}$ 인 작은 정사각형 네 개가 놓여 있고, 선분 $\overline{BC}$ 는 변 $\overline{WZ}$ 바로 바깥에서 수직으로 서 있습니다. 삼각형 $ABC$ 는 $AB = AC$ 인 이등변삼각형이며, $\overline{BC}$ 를 따라 접으면 $A$ 가 정사각형 $WXYZ$ 의 중심 $O$ 위에 정확히 포개집니다. $\triangle ABC$ 의 넓이를 구하세요.
주어진 것: 정사각형 $WXYZ$ 의 넓이는 $25 \text{ cm}^2$ 이므로 한 변은 $5$ cm; $O$ 는 정사각형 $WXYZ$ 의 중심; 네 개의 $1$-cm 정사각형이 그림 둘레를 감싸고, 그림에 따라 $\overline{BC}$ 는 변 $\overline{WZ}$ 와 평행; 그림에서 $B$ 는 윗변 $\overline{WX}$ 보다 $1$ cm 아래, $C$ 는 아랫변 $\overline{ZY}$ 보다 $1$ cm 위에 위치; 그림에서 $\overline{BC}$ 를 포함하는 직선은 변 $\overline{WZ}$ 로부터 왼쪽으로 $2$ cm 떨어져 있다 (작은 정사각형 한 칸 $+$ $1$-cm 틈); $\triangle ABC$ 는 $AB = AC$ 인 이등변삼각형; $\overline{BC}$ 를 접는 선으로 하여 $\triangle ABC$ 를 접으면 $A$ 가 $O$ 위로 포개진다; 선택지: (A) $\tfrac{15}{4}$, (B) $\tfrac{21}{4}$, (C) $\tfrac{27}{4}$, (D) $\tfrac{21}{2}$, (E) $\tfrac{27}{2}$
구하는 것: $\triangle ABC$ 의 넓이(단위: 제곱센티미터)
이해
문제 재정리: 정사각형 $WXYZ$ 의 넓이가 $25 \text{ cm}^2$ 이므로 한 변의 길이는 $5$ cm 입니다. 큰 사각형 둘레의 네 모서리에는 한 변이 $1 \text{ cm}$ 인 작은 정사각형 네 개가 놓여 있고, 선분 $\overline{BC}$ 는 변 $\overline{WZ}$ 바로 바깥에서 수직으로 서 있습니다. 삼각형 $ABC$ 는 $AB = AC$ 인 이등변삼각형이며, $\overline{BC}$ 를 따라 접으면 $A$ 가 정사각형 $WXYZ$ 의 중심 $O$ 위에 정확히 포개집니다. $\triangle ABC$ 의 넓이를 구하세요.
주어진 것: 정사각형 $WXYZ$ 의 넓이는 $25 \text{ cm}^2$ 이므로 한 변은 $5$ cm; $O$ 는 정사각형 $WXYZ$ 의 중심; 네 개의 $1$-cm 정사각형이 그림 둘레를 감싸고, 그림에 따라 $\overline{BC}$ 는 변 $\overline{WZ}$ 와 평행; 그림에서 $B$ 는 윗변 $\overline{WX}$ 보다 $1$ cm 아래, $C$ 는 아랫변 $\overline{ZY}$ 보다 $1$ cm 위에 위치; 그림에서 $\overline{BC}$ 를 포함하는 직선은 변 $\overline{WZ}$ 로부터 왼쪽으로 $2$ cm 떨어져 있다 (작은 정사각형 한 칸 $+$ $1$-cm 틈); $\triangle ABC$ 는 $AB = AC$ 인 이등변삼각형; $\overline{BC}$ 를 접는 선으로 하여 $\triangle ABC$ 를 접으면 $A$ 가 $O$ 위로 포개진다; 선택지: (A) $\tfrac{15}{4}$, (B) $\tfrac{21}{4}$, (C) $\tfrac{27}{4}$, (D) $\tfrac{21}{2}$, (E) $\tfrac{27}{2}$
계획
주요 도구: #1 그림 그리기
보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기
이 문제는 그림 자체가 모든 정보입니다. 그래서 도구 #1(그림 그리기)을 먼저 꺼냅니다. 좌표축을 그림 위에 얹어 두면, 우리가 필요한 길이는 모두 좌표의 차이가 됩니다. 좌표가 정해지면 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)이 자연스럽게 따라옵니다. 큰 질문(넓이)을 두 개의 작은 질문으로 나누는 거죠. (가) 밑변 $BC$ 의 길이 — 큰 정사각형의 한 변 $5$ 에서 위·아래의 $1$ cm 씩을 깎으면 끝. (나) 높이 — 접기 조건을 쓰면 됩니다. 접기는 8학년 "반사" 개념의 핵심: 직선 $\overline{BC}$ 가 $\overline{AO}$ 의 수직이등분선이므로, $A$ 에서 $\overline{BC}$ 까지의 거리(=삼각형의 높이)는 $O$ 에서 $\overline{BC}$ 까지의 거리와 같습니다. 이 거리는 좌표에서 바로 읽힙니다. 곱하고 반으로 나누면 끝.
실행 — 정답: C
6.G.A.3 단계 1 - 그림 위에 좌표를 얹습니다.
- 정사각형 $WXYZ$ 의 한 변이 $\sqrt{25} = 5$ cm 이므로 $Z = (0,0)$, $Y = (5,0)$, $X = (5,5)$, $W = (0,5)$ 로 놓습니다.
- 중심은 $O = \left(\tfrac{5}{2},\tfrac{5}{2}\right)$.
- 그림에서 $\overline{BC}$ 는 정사각형 왼쪽에 수직으로 서 있는 선분이고, $B$ 는 윗변보다 $1$ cm 아래($y_B = 5 - 1 = 4$), $C$ 는 아랫변보다 $1$ cm 위($y_C = 0 + 1 = 1$).
- 네 개의 작은 정사각형 ($1$ cm 칸) 과 그 사이의 틈을 모두 합쳐 보면 $\overline{BC}$ 직선은 $x = -2$ 에 놓입니다.
💡 6학년 "좌표평면 위에 다각형 그리기" — 모든 중요한 점이 $(x,y)$ 주소를 갖게 되면 길이는 자(尺) 대신 뺄셈으로 구해집니다.
6.NS.C.8 단계 2 - 작은 문제 (가) — 밑변 $BC$ 의 길이를 구합니다.
- $B$ 와 $C$ 의 $x$ 좌표가 같으므로 $\overline{BC}$ 는 수직 선분이고, 길이는 $y$ 좌표의 차이입니다.
- 위에서 $1$ cm, 아래에서 $1$ cm 씩 깎였으니 $5 - 1 - 1 = 3$.
💡 6학년 "같은 $x$ 좌표를 가진 두 점 사이의 거리" — 수직 선분의 길이는 그냥 $|y_B - y_C|$.
8.G.A.1 단계 3 - 작은 문제 (나) — 접기 조건을 높이 식으로 바꿉니다.
- $\overline{BC}$ 를 따라 $\triangle ABC$ 를 접는 것은 직선 $\overline{BC}$ 에 대한 대칭입니다.
- 이 대칭이 $A$ 를 $O$ 로 옮기므로, $\overline{BC}$ 는 $\overline{AO}$ 의 수직이등분선입니다.
- 수직이등분선은 "$A$ 와 $O$ 로부터 같은 거리에 있는 점들의 집합" 이므로, $A$ 에서 $\overline{BC}$ 까지의 거리와 $O$ 에서 $\overline{BC}$ 까지의 거리가 같습니다.
- 앞의 거리는 곧 삼각형의 높이 $h$ 이고($\overline{BC}$ 가 밑변), 뒤의 거리는 좌표에서 바로 읽어낼 수 있습니다.
💡 8학년 "반사는 길이를 보존하고 직선을 직선으로 보낸다." $A$ 를 $O$ 로 옮기는 접기가 바로 그 반사이고, 그 결과 $A$ 와 $O$ 는 접는 선까지 같은 거리에 있게 됩니다.
6.NS.C.8 단계 4 - 좌표로 높이를 계산합니다.
- $\overline{BC}$ 를 포함하는 직선은 $x = -2$ 이고, $O$ 의 $x$ 좌표는 $\tfrac{5}{2}$.
- 점에서 수직선까지의 거리는 $x$ 좌표의 차이: $\tfrac{5}{2} - (-2) = \tfrac{5}{2} + 2 = \tfrac{9}{2}$.
💡 6학년 "점에서 수직선($x=k$)까지의 거리는 $|x_O - k|$." 여기서는 $\left|\tfrac{5}{2} - (-2)\right| = \tfrac{9}{2}$.
6.G.A.1 단계 5 - 두 작은 문제의 결과를 삼각형 넓이 공식에 대입합니다.
- 밑변 $BC = 3$, 높이 $h = \tfrac{9}{2}$ 이므로 넓이는 그 곱의 반.
💡 6학년 "삼각형 넓이 $= \tfrac{1}{2} \times$ 밑변 $\times$ 높이." 밑변과 높이가 둘 다 손에 있으면, 곱셈 한 번과 반으로 나누기 한 번.
6.G.A.3 그림 위에 좌표를 얹습니다. 정사각형 $WXYZ$ 의 한 변이 $\sqrt{25} = 5$ cm 이므로 $Z = (0,0)$, $Y = (5,0 6.NS.C.8 작은 문제 (가) — 밑변 $BC$ 의 길이를 구합니다. $B$ 와 $C$ 의 $x$ 좌표가 같으므로 $\overline{BC}$ 는 수직 선분 8.G.A.1 작은 문제 (나) — 접기 조건을 높이 식으로 바꿉니다. $\overline{BC}$ 를 따라 $\triangle ABC$ 를 접는 것은 직선 6.NS.C.8 좌표로 높이를 계산합니다. $\overline{BC}$ 를 포함하는 직선은 $x = -2$ 이고, $O$ 의 $x$ 좌표는 $\tfrac{5}{ 6.G.A.1 두 작은 문제의 결과를 삼각형 넓이 공식에 대입합니다. 밑변 $BC = 3$, 높이 $h = \tfrac{9}{2}$ 이므로 넓이는 그 곱의 반 검토
합리성 확인: 크기를 확인해 봅니다. 접기가 $A$ 를 $O$ 위로 옮기므로, $A$ 는 $\overline{BC}$ 의 반대편에 $O$ 와 같은 거리만큼 떨어진 자리에 있어야 합니다. $O$ 가 $x = \tfrac{5}{2}$ 에 있고 접는 선이 $x = -2$ 이므로, $A$ 는 $x = -2 - \tfrac{9}{2} = -\tfrac{13}{2}$ — 작은 정사각형 띠보다 훨씬 왼쪽에 위치합니다. 이는 $A$ 가 작은 정사각형들 바깥쪽으로 멀리 그려진 문제 그림과 정확히 맞아떨어집니다. 넓이 자체로 확인하면, 밑변 $3$ 과 높이 $\tfrac{9}{2}$ 가 만드는 넓이는 $\tfrac{1}{2} \cdot 3 \cdot \tfrac{9}{2} = \tfrac{27}{4} = 6.75 \text{ cm}^2$ — $3$ cm 밑변에 $4.5$ cm 정도 높이의 삼각형으로 매우 자연스러운 값입니다. (A) $\tfrac{15}{4} = 3.75$, (B) $\tfrac{21}{4} = 5.25$ 는 높이가 $4$ 보다 작아야 하므로 그림과 맞지 않고, (D) $\tfrac{21}{2} = 10.5$, (E) $\tfrac{27}{2} = 13.5$ 는 높이가 전체 도형보다 커지므로 불가. 답은 (C) 뿐입니다.
대안 접근: 도구 #17(공간 상상하기)로 좌표 없이 높이를 구할 수 있습니다. $O$ 에서 $\overline{BC}$ 로 수선을 내려 만나는 점을 $M$ 이라 하면, 그림이 좌우 대칭이므로 $M$ 은 $\overline{BC}$ 의 중점($OB = OC$). $O$ 에서 $M$ 까지 수평으로 걸어가면 그림에 보이는 세 조각을 지나게 됩니다: $O$ 에서 변 $\overline{WZ}$ 까지의 반쪽 변 길이 $\tfrac{5}{2}$, $\overline{WZ}$ 와 작은 정사각형 띠 사이의 $1$-cm 틈, 그리고 작은 정사각형 자체의 $1$ cm — 합 $\tfrac{5}{2} + 1 + 1 = \tfrac{9}{2}$. 같은 그림에서 밑변 $BC = 5 - 1 - 1 = 3$ 이 나오므로 넓이는 $\tfrac{1}{2} \cdot 3 \cdot \tfrac{9}{2} = \tfrac{27}{4}$ — 답 (C).
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)
6.G.A.1직사각형으로 합성하거나 삼각형으로 분해해 다각형의 넓이 구하기 (밑변 $3$ 과 높이 $\tfrac{9}{2}$ 가 결정된 뒤 $\triangle ABC$ 의 넓이를 $\tfrac{1}{2} \cdot BC \cdot h$ 로 계산.)6.G.A.3좌표가 주어진 다각형을 좌표평면에 그리고, 같은 좌표를 가진 두 꼭짓점 사이의 변의 길이를 좌표로 구하기 ($Z=(0,0)$, $W=(0,5)$, $X=(5,5)$, $Y=(5,0)$ 을 배치하고 그림에서 $B=(-2,4)$, $C=(-2,1)$, $O=\left(\tfrac{5}{2},\tfrac{5}{2}\right)$ 을 읽는 데 사용.)6.NS.C.8좌표평면(사분면 모두) 위의 점 사이 거리를 절댓값과 좌표로 구하기 — 같은 $x$ 또는 같은 $y$ 좌표인 경우 (밑변 $BC = |y_B - y_C| = 3$ 과 높이 $\text{dist}(O,\overline{BC}) = \left|\tfrac{5}{2} - (-2)\right| = \tfrac{9}{2}$ 를 좌표의 차이로 계산.)8.G.A.1회전·반사·평행이동의 성질 확인하기: 직선은 직선으로, 선분은 같은 길이의 선분으로 옮겨짐 ($\overline{BC}$ 를 따라 접는 것이 길이를 보존하는 반사임을 인식하여, $A$ 에서 $\overline{BC}$ 까지의 거리와 $O$ 에서 $\overline{BC}$ 까지의 거리가 같음을 도출.)
⭐ $\overline{BC}$ 를 따라 $A$ 를 접어 $O$ 위에 포갠다는 것은, $A$ 와 $O$ 가 접는 선을 사이에 둔 거울상이라는 뜻이에요. 그래서 삼각형의 높이는 $O$ 에서 $\overline{BC}$ 까지의 거리와 같습니다. 그림에서 밑변 $3$ 과 높이 $\tfrac{9}{2}$ 를 바로 읽어 넓이는 $\tfrac{1}{2} \cdot 3 \cdot \tfrac{9}{2} = \tfrac{27}{4}$.
⭐ $\overline{BC}$ 를 따라 $A$ 를 접어 $O$ 위에 포갠다는 것은, $A$ 와 $O$ 가 접는 선을 사이에 둔 거울상이라는 뜻이에요. 그래서 삼각형의 높이는 $O$ 에서 $\overline{BC}$ 까지의 거리와 같습니다. 그림에서 밑변 $3$ 과 높이 $\tfrac{9}{2}$ 를 바로 읽어 넓이는 $\tfrac{1}{2} \cdot 3 \cdot \tfrac{9}{2} = \tfrac{27}{4}$.
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