AMC 8 · 2022 · #4

학년 8 geometry-2d

유형 Paper Fold-and-Cut Symmetry └ 세부 유형 Composition of Reflections of a Pictured Figure

reflection-symmetryspatial-visualizationcoordinate-geometry physical-representationreflection-unfolding ↑ 선수 지식: reflection-symmetryline-symmetry

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트 📊 도형

문제

아래 그림의 글자 M을 먼저 직선 $q$ 에 대하여 대칭이동하고, 그 결과를 다시 직선 $p$ 에 대하여 대칭이동합니다. 최종적으로 얻어지는 모양은 무엇입니까?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(diagram) M rotated 90° clockwise (lying on its right side)

(B)

(diagram) M rotated 270° clockwise (lying on its left side)

(C)

(diagram) M rotated 90° clockwise (alternate orientation)

(D)

(diagram) M rotated 180° (upside-down W)

(E)

(diagram) M rotated 270° clockwise (alternate orientation)

AMC 8 2022 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 좌표평면 제1사분면에 똑바로 선 글자 $M$이 놓여 있습니다. 직선 $p$ 는 가로축, 직선 $q$ 는 대각선 $y = x$ 입니다. 글자 $M$ 을 먼저 직선 $q$ 에 대칭시키고, 그 결과를 다시 직선 $p$ 에 대칭시키세요. 선택지 중에서 최종 이미지의 **위치(어느 사분면)** 와 **방향(M 의 봉우리가 어디를 향하는지)** 이 모두 일치하는 그림을 고르면 됩니다.

주어진 것: 원래 $M$ 은 똑바로 선 모양으로 제1사분면(오른쪽 위), 대략 $(0.25, 0.6)$ 근처에 있음; 직선 $p$ 는 가로축, 즉 $x$ 축; 직선 $q$ 는 원점을 지나는 $45°$ 대각선 $y = x$; 대칭 순서: 먼저 $q$ 에 대칭, 그 다음 $p$ 에 대칭; 선택지 (A)–(E) 는 모두 같은 두 기준선 위에 $M$ (또는 회전된 $M$) 한 개씩이 그려진 작은 그림

구하는 것: 두 번의 대칭 이동을 마친 $M$ 의 최종 위치와 방향을 동시에 맞히는 그림 (A)–(E)

이해

계획

주요 도구: #10 직접 만져보기

보조 도구: #17 공간 상상하기, #3 가능성 지우기, #1 그림 그리기

대각선 $y = x$ 에 대한 대칭은 머릿속에서 자주 헷갈리므로 도구 #10(직접 만져보기) 이 가장 안전합니다. 종이에 $M$ 을 오려 내고, 다른 종이에 $p$ 와 $q$ 를 그린 뒤, 오린 $M$ 을 $q$ 위에서 한 번 뒤집고 그 결과를 다시 $p$ 위에서 한 번 더 뒤집어 보면 방향이 정확히 보입니다. 도구 #17(공간 상상하기) 은 같은 동작을 머릿속으로 하는 단계, 도구 #3(가능성 지우기) 은 사분면 위치만으로 다섯 개 중 두세 개를 곧바로 탈락시키는 객관식 안전망입니다. 도구 #1(그림 그리기) 은 좌표 위에 중간 결과를 깔끔하게 추적하는 용도이고, 마지막에는 "교차하는 두 직선에 대한 두 대칭의 합성 $=$ 단일 회전" 정리로 답을 한 줄로 검증합니다.

실행 — 정답: E

#1 그림 그리기 5.G.A.1 단계 1

그림을 그립니다.
$p$ 는 가로축, $q$ 는 대각선 $y=x$ 로 표시하고, 똑바로 선 $M$ 을 제1사분면에 그립니다 — 세 봉우리는 $+y$ 방향, 두 발은 대략 $(0.05, 0.4)$ 와 $(0.45, 0.4)$ 에 둡니다.
이 한 장의 그림으로 두 번의 뒤집기 동안 위치와 방향을 동시에 추적할 수 있습니다.

$$M_0 \text{ 의 중심} \approx (0.25, 0.6),\; \text{봉우리는 } +y \text{ 방향}$$

💡 $M$ 을 좌표평면 위에 올리면 "직선에 대해 대칭" 이라는 말이 손으로 뒤집을 수 있는 그림이 됩니다 — 5학년 좌표평면 그대로입니다.

#10 직접 만져보기 8.G.A.3 단계 2

첫 번째 대칭: $q$ ($y = x$) 에 대해 뒤집기.
직선 $y = x$ 에 대한 대칭은 모든 점의 두 좌표를 맞바꿉니다: $(x, y) \to (y, x)$.
$M$ 의 중심은 $(0.25, 0.6)$ 에서 $(0.6, 0.25)$ 로 — 여전히 제1사분면이지만 이번엔 $x$ 축에 더 가까운 오른쪽 아래쪽으로 이동합니다.

$$(x, y) \to (y, x): \quad (0.25, 0.6) \to (0.6, 0.25)$$

💡 $x$ 와 $y$ 를 맞바꾸는 것은 $y=x$ 대칭의 좌표 지문 — 8학년 변환 규칙 그대로입니다.

#17 공간 상상하기 8.G.A.1 단계 3

같은 뒤집기 동안 글자의 방향도 추적합니다.
$M$ 의 "위쪽" 방향(봉우리가 향하던 $+y$) 은 $+x$ 로 옮겨갑니다 — 봉우리가 이제 오른쪽을 가리킵니다.
글자의 "왼쪽에서 오른쪽" 진행 방향($+x$ 였던 것) 은 $+y$ 로 옮겨갑니다.
결과적으로 $M$ 은 왼쪽 옆구리를 바닥에 댄 자세가 되어, 봉우리는 오른쪽, 열린 입은 왼쪽을 향합니다.
이 자세를 asymptote 표기로 쓰면 $\texttt{rotate}(270°) M$ — 똑바로 선 $M$ 을 시계 방향으로 $90°$ 돌린 모양입니다.

$$\text{봉우리 방향: } (0, +1) \to (+1, 0); \quad \text{자세} = \texttt{rotate}(270°) M$$

💡 봉우리 화살표가 어디로 가는지만 따라가면 새 방향이 바로 보입니다 — 8학년 대칭의 성질 확인입니다.

#10 직접 만져보기 8.G.A.3 단계 4

두 번째 대칭: 1단계 결과를 $p$ ($x$ 축) 에 뒤집기.
$x$ 축 대칭은 $y$ 좌표만 부호를 바꿉니다: $(x, y) \to (x, -y)$.
따라서 중심 $(0.6, 0.25)$ 는 $(0.6, -0.25)$ 로 — 이미지는 제1사분면을 벗어나 제4사분면(오른쪽 아래) 에 자리잡습니다.

$$(x, y) \to (x, -y): \quad (0.6, 0.25) \to (0.6, -0.25)$$

💡 $x$ 축 대칭은 $y$ 만 부호가 바뀌고 $x$ 는 그대로 — 8학년 좌표 변환 공식 그 자체입니다.

#3 가능성 지우기 8.G.A.1 단계 5

두 번째 뒤집기 동안의 방향 추적.
봉우리 방향 $(+1, 0)$ 은 $x$ 좌표만 그대로이므로 $x$ 축 대칭에도 그대로 $(+1, 0)$ 로 유지됩니다 — 봉우리는 여전히 오른쪽, 입도 여전히 왼쪽을 향합니다.
즉 최종 자세는 1단계 직후와 같은 $\texttt{rotate}(270°) M$ 이지만, 위치만 제4사분면으로 옮겨갔습니다.
다섯 선택지 중에서 $\texttt{rotate}(270°) M$ 이 자기 작은 좌표축의 오른쪽 아래(제4사분면)에 있는 것은 오직 $\textbf{(E)}$ 하나뿐입니다.

$$\text{최종: } \texttt{rotate}(270°) M, \text{ 위치는 제4사분면} \;\Rightarrow\; \textbf{(E)}$$

💡 사분면 위치와 글자 방향을 둘 다 만족하는 그림 하나만 남기는 것은 8학년 변환 성질을 객관식에 적용하는 마무리입니다.

[1] #1 5.G.A.1 그림을 그립니다. $p$ 는 가로축, $q$ 는 대각선 $y=x$ 로 표시하고, 똑바로 선 $M$ 을 제1사분면에 그립니다 — 세 봉우리는 $+

[2] #10 8.G.A.3 첫 번째 대칭: $q$ ($y = x$) 에 대해 뒤집기. 직선 $y = x$ 에 대한 대칭은 모든 점의 두 좌표를 맞바꿉니다: $(x, y)

[3] #17 8.G.A.1 같은 뒤집기 동안 글자의 방향도 추적합니다. $M$ 의 "위쪽" 방향(봉우리가 향하던 $+y$) 은 $+x$ 로 옮겨갑니다 — 봉우리가 이제 오

[4] #10 8.G.A.3 두 번째 대칭: 1단계 결과를 $p$ ($x$ 축) 에 뒤집기. $x$ 축 대칭은 $y$ 좌표만 부호를 바꿉니다: $(x, y) \to (x,

[5] #3 8.G.A.1 두 번째 뒤집기 동안의 방향 추적. 봉우리 방향 $(+1, 0)$ 은 $x$ 좌표만 그대로이므로 $x$ 축 대칭에도 그대로 $(+1, 0)$ 로

검토

합리성 확인: 선택지를 빠르게 점검해 봅시다. (A) 제4사분면이지만 $\texttt{rotate}(90°) M$ — 방향이 다름. (B) $\texttt{rotate}(270°) M$ 이지만 위치가 제2사분면 — 위치가 다름. (C) $\texttt{rotate}(90°) M$ 이 제1사분면 — 위치도 방향도 다름. (D) $\texttt{rotate}(180°) M$ 이 제3사분면 — 방향이 다름. (E) $\texttt{rotate}(270°) M$ 이 제4사분면 — 3·5단계의 방향과 4단계의 사분면 위치가 모두 일치. 또한 "제1사분면에서 출발한 $M$ 이 시계 방향 $90°$ 회전을 한 번 한 결과는 제4사분면" 이라는 직관적 그림과도 정확히 맞아떨어집니다.

대안 접근: 도구 #17 (합성 단축법): 한 점에서 만나는 두 직선에 대한 두 번의 대칭은 그 교점을 중심으로 "첫 직선에서 두 번째 직선까지의 부호 있는 각의 두 배" 만큼 회전한 것과 같습니다. 직선 $p$ (각도 $0°$) 와 $q$ (각도 $45°$) 는 원점에서 만나며, $q$ 에서 $p$ 로의 부호 있는 각은 $-45°$ 이므로 합성은 원점을 중심으로 $2 \times (-45°) = -90°$ 회전, 즉 시계 방향 $90°$ 회전이 됩니다. 이 회전 하나를 원래 $M$ 에 적용하면 위치 $(0.25, 0.6) \to (0.6, -0.25)$ 인 제4사분면, 자세는 똑바로 선 모양 $\to \texttt{rotate}(270°) M$. 같은 답 $\textbf{(E)}$ 가 두 단계가 아니라 한 단계로 나옵니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

5.G.A.1 수직으로 만나는 두 수직선으로 이루어진 좌표계 사용 (똑바로 선 $M$, 가로축 $p$, 대각선 $q$ ($y=x$) 를 한 좌표평면 위에 함께 그려서 두 번의 대칭 이동을 수치로 추적할 수 있게 함.)
8.G.A.1 회전, 대칭, 평행이동의 성질을 실험적으로 확인 (각 대칭이 $M$ 의 모양은 보존하고 방향만 뒤집는다는 점, 그리고 두 대칭의 합성이 원점 중심 시계 방향 $90°$ 회전과 같다는 합성 정리를 통해 답을 검증.)
8.G.A.3 확대·축소, 평행이동, 회전, 대칭이 좌표에 미치는 효과 기술 ($y=x$ 에 대한 대칭은 $(x, y) \to (y, x)$, $x$ 축에 대한 대칭은 $(x, y) \to (x, -y)$ 라는 좌표 규칙을 차례로 적용해 $M$ 을 두 번 뒤집음.)

⭐ 이 AMC 8 문제는 사실 8학년 때 배우는 "대칭이 좌표를 어떻게 바꾸는가" 규칙만 알면 풀 수 있어요 — $y=x$ 대칭으로 $x$ 와 $y$ 를 맞바꾸고, $x$ 축 대칭으로 $y$ 의 부호만 바꾸면 답 (E) 가 됩니다!

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: E

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

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