AMC 8 · 2003 · #7

학년 6 arithmetic

유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Weighted Group Aggregation

mean-median-mode-rangemulti-digit-arithmeticset-partition identify-subproblemspattern-recognition ↑ 선수 지식: multi-digit-arithmeticfraction-arithmetic

📏 짧은 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

Blake and Jenny each took four $100$ -point tests. Blake averaged $78$ on the four tests. Jenny scored $10$ points higher than Blake on the first test, $10$ points lower than him on the second test, and $20$ points higher on both the third and fourth tests. What is the difference between Jenny's average and Blake's average on these four tests?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 8 2003 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 블레이크와 제니가 각각 $100$ 점짜리 시험을 네 번 봤어요. 블레이크의 네 시험 평균은 $78$. 제니는 블레이크보다 시험 $1$ 에서 $+10$, 시험 $2$ 에서 $-10$, 시험 $3, 4$ 에서 각각 $+20$ 점을 받았어요. 제니의 평균에서 블레이크의 평균을 뺀 값을 구하세요.

주어진 것: 각자 시험을 $4$ 번 본다; 블레이크의 $4$ 시험 평균은 $78$; (제니 점수) $-$ (블레이크 점수) $=$ 시험 $1$ 에서 $+10$, 시험 $2$ 에서 $-10$, 시험 $3$ 에서 $+20$, 시험 $4$ 에서 $+20$; 선택지: (A) $10$, (B) $15$, (C) $20$, (D) $25$, (E) $40$

구하는 것: $4$ 시험에서 제니의 평균과 블레이크의 평균의 차

이해

계획

주요 도구: #7 작은 문제로 쪼개기

보조 도구: #11 평균 공식 거꾸로 풀기

문제는 두 평균의 차만 묻지 각자의 평균을 따로 구하라고 하지 않아요. 그래서 블레이크의 $78$ 은 결국 쓰이지 않습니다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 두 단계로 나눕니다 — (1) 시험별 점수 차이 네 개를 더해 총 차이를 구하고, (2) 그 총 차이를 시험 수 $4$ 로 나눠 평균의 차를 구합니다. 도구 #11(거꾸로 풀기)은 평균 공식을 뒤집어 읽는 것입니다: 평균 $=$ 합계 $\div$ 개수이므로, 평균의 차 $=$ 합계의 차 $\div$ 개수.

실행 — 정답: A

#7 작은 문제로 쪼개기 6.NS.C.5 단계 1

하위 문제 1: 시험별 차이를 모읍니다.
$D_i = (\text{시험 } i \text{ 에서 제니 점수}) - (\text{시험 } i \text{ 에서 블레이크 점수})$ 로 두면, 문제 본문이 네 값을 그대로 알려줍니다.

$$D_1 = +10,\quad D_2 = -10,\quad D_3 = +20,\quad D_4 = +20$$

💡 6학년 "반대 방향의 양은 부호로 표현" 그대로: $+$ 는 제니가 더 높은 경우, $-$ 는 더 낮은 경우.

#7 작은 문제로 쪼개기 6.NS.C.6 단계 2

부호가 있는 네 차이를 더합니다.
시험 $1$ 의 $+10$ 과 시험 $2$ 의 $-10$ 이 서로 상쇄되어 두 개의 $+20$ 만 남아요.

$$D_1 + D_2 + D_3 + D_4 = 10 + (-10) + 20 + 20 = 40$$

💡 부호가 다른 정수의 덧셈은 6학년 단원입니다 — $+10$ 과 $-10$ 이 $0$ 으로 사라지고, $20 + 20 = 40$.

#11 평균 공식 거꾸로 풀기 6.SP.B.5 단계 3

하위 문제 2: 총 차이를 평균의 차로 바꿉니다.
$4$ 시험 합계로 보면 제니의 합 $-$ 블레이크의 합 $= 40$.
각 합을 $4$ 로 나누면 각각의 평균이 되므로, 합의 차를 $4$ 로 나누면 평균의 차가 됩니다.

$$\text{제니 평균} - \text{블레이크 평균} = \dfrac{\text{제니 합} - \text{블레이크 합}}{4} = \dfrac{40}{4}$$

💡 6학년 평균 공식을 뒤집은 모습입니다 — 시험 수가 같다면, 평균의 차이는 합의 차이를 그 시험 수만큼 축소한 값.

#7 작은 문제로 쪼개기 6.SP.B.5 단계 4

나누어 마무리합니다.

$$\dfrac{40}{4} = 10 \;\Rightarrow\; \textbf{(A)}$$

💡 블레이크의 $78$ 은 한 번도 쓰이지 않았다는 점에 주목해 보세요 — 평균의 차는 시험별 차이에만 달려 있어요.

[1] #7 6.NS.C.5 하위 문제 1: 시험별 차이를 모읍니다. $D_i = (\text{시험 } i \text{ 에서 제니 점수}) - (\text{시험 } i \t

[2] #7 6.NS.C.6 부호가 있는 네 차이를 더합니다. 시험 $1$ 의 $+10$ 과 시험 $2$ 의 $-10$ 이 서로 상쇄되어 두 개의 $+20$ 만 남아요.

[3] #11 6.SP.B.5 하위 문제 2: 총 차이를 평균의 차로 바꿉니다. $4$ 시험 합계로 보면 제니의 합 $-$ 블레이크의 합 $= 40$. 각 합을 $4$ 로 나

[4] #7 6.SP.B.5 나누어 마무리합니다.

검토

합리성 확인: 구체적인 점수로 점검해 봅니다. 블레이크가 네 번 모두 $78$ 점을 받았다고 가정하면 합계 $312$, 평균 $78$. 이때 제니의 점수는 $88, 68, 98, 98$ 로 합계 $352$, 평균 $88$. 평균의 차는 $88 - 78 = 10$ 으로 (A) 와 일치합니다. 함정 선택지는 흔한 실수에 대응돼요. (E) $40$ 은 총 차이에서 멈춰 $4$ 로 나누는 단계를 빠뜨린 경우, (C) $20$ 은 네 차이를 평균할 때 $D_2$ 의 음수 부호를 놓친 경우, (B) $15$ 와 (D) $25$ 는 패턴과 무관한 방해 선택지입니다.

대안 접근: 도구 #9(더 쉬운 문제로 줄이기): 실제 점수는 잊고 부호가 붙은 네 차이의 평균만 구합니다. $\{+10, -10, +20, +20\}$ 의 평균은 $\dfrac{10 - 10 + 20 + 20}{4} = \dfrac{40}{4} = 10$. 같은 블레이크 점수를 제니 점수들에서 빼도 차이들의 평균은 바뀌지 않으므로, 이 "차이들의 평균" 이 곧 제니 평균 $-$ 블레이크 평균과 같아 답은 (A) 입니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

6.NS.C.5 반대 방향의 양을 양수와 음수로 표현하기 (각 시험의 점수 차이를 부호 있는 정수($+10$, $-10$, $+20$, $+20$)로 적어 "더 높은" 과 "더 낮은" 을 한 합으로 묶는 데 사용.)
6.NS.C.6 유리수를 수직선 위의 점으로 이해하고 유리수 체계로 확장하기 (부호 있는 네 차이의 합 $10 + (-10) + 20 + 20 = 40$ 을 계산할 때 $+10$ 과 $-10$ 의 상쇄를 사용.)
6.SP.B.5 관측 개수와 중심 측도 등을 포함한 수치 자료 요약 (평균 공식을 거꾸로 사용하여 평균의 차 $=$ (합의 차) $\div$ (시험 수) $= 40 \div 4 = 10$ 을 얻는 데 사용.)

⭐ 시험 수가 같은 두 평균의 차를 묻는 문제에서는 각자의 평균을 따로 구할 필요가 없어요. 시험별 차이를 모두 더한 뒤 시험 수로 나누면 됩니다 — 여기서는 $40 \div 4 = 10$.

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: A

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

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