AMC 8 · 2003 · #9

학년 6 rate-ratio

유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Fraction / Expression Sum Evaluation

ratio-proportionarea-rectanglesarea-trianglesfraction-arithmetic identify-subproblemsdimensional-analysis ↑ 선수 지식: area-rectanglesmulti-digit-arithmeticratio-proportion

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트 📊 도형

문제

Problems 8, 9 and 10 use the data found in the accompanying paragraph and figures

Four friends, Art, Roger, Paul and Trisha, bake cookies, and all cookies have the same thickness. The shapes of the cookies differ, as shown.

$\circ$ Art's cookies are trapezoids:

$\circ$ Roger's cookies are rectangles:

$\circ$ Paul's cookies are parallelograms:

$\circ$ Trisha's cookies are triangles:

Each friend uses the same amount of dough, and Art makes exactly $12$ cookies. Art's cookies sell for $60$ cents each. To earn the same amount from a single batch, how much should one of Roger's cookies cost in cents?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 8 2003 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 네 친구가 같은 양의 반죽으로 같은 두께의 쿠키를 굽습니다. 아트의 사다리꼴 쿠키(밑변 $5$ 인치와 $3$ 인치, 높이 $3$ 인치) $12$ 개는 각각 $60$ 센트에 팔립니다. 로저의 쿠키는 $4 \text{ 인치} \times 2 \text{ 인치}$ 직사각형입니다. 로저가 한 묶음 전체로 아트와 같은 금액을 벌려면 쿠키 한 개를 몇 센트에 팔아야 할까요?

주어진 것: 아트의 쿠키는 밑변이 $5$ 인치와 $3$ 인치, 높이가 $3$ 인치인 사다리꼴; 로저의 쿠키는 $4$ 인치 × $2$ 인치 직사각형; 아트는 쿠키 $12$ 개를 만든다; 아트는 한 개를 $60$ 센트에 판다; 네 친구 모두 같은 양의 반죽, 같은 두께를 사용한다; 선택지: (A) $18$, (B) $25$, (C) $40$, (D) $75$, (E) $90$

구하는 것: 로저가 받아야 할 쿠키 한 개당 가격(센트)

이해

계획

주요 도구: #7 작은 문제로 쪼개기

보조 도구: #1 그림 그리기

마지막 가격이 작은 질문들의 사슬 뒤에 숨어 있어 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)이 가장 깔끔합니다. 네 개의 작은 일로 나눕니다 — (a) 아트 쿠키 한 개의 넓이, (b) 아트가 쓴 반죽의 총 넓이, (c) 로저 쿠키 한 개의 넓이, (d) 같은 반죽으로 로저가 만드는 쿠키 개수. 도구 #1(그림 그리기)은 문제의 그림이 이미 해 준 일이므로, 밑변·높이·변의 길이만 읽어 각 넓이 공식에 넣으면 됩니다. 로저의 쿠키 개수를 알면 아트와 같은 수입을 맞추는 일은 나눗셈 한 번으로 끝납니다.

실행 — 정답: C

#1 그림 그리기 6.G.A.1 단계 1

아트 쿠키 한 개의 넓이를 구합니다.
그림에 두 평행한 밑변이 $5$ 인치와 $3$ 인치, 높이가 $3$ 인치인 사다리꼴이 그려져 있고, 직각 표시가 $3$ 인치 세로 변이 높이임을 알려 줍니다.

$$A_{\text{아트}} = \tfrac{1}{2}(5+3)(3) = \tfrac{1}{2}(8)(3) = 12 \text{ in}^2$$

💡 6학년 사다리꼴 넓이 공식: 두 평행한 밑변의 평균에 높이를 곱합니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 6.G.A.1 단계 2

아트가 사용한 반죽의 총 넓이를 구합니다.
아트는 $12$ in$^2$ 짜리 쿠키 $12$ 개를 만듭니다.

$$T = 12 \times 12 = 144 \text{ in}^2$$

💡 두께가 같으므로 반죽의 부피는 총 표면적에 비례하고, $144$ in$^2$ 가 모든 친구의 공통 반죽 예산입니다.

#1 그림 그리기 6.G.A.1 단계 3

로저 쿠키 한 개의 넓이를 구합니다.
그림은 $4 \text{ in} \times 2 \text{ in}$ 직사각형입니다.

$$A_{\text{로저}} = 4 \times 2 = 8 \text{ in}^2$$

💡 6학년 직사각형 넓이: 가로 곱하기 세로.

#7 작은 문제로 쪼개기 6.RP.A.3 단계 4

공통 반죽 넓이를 로저 쿠키 한 개 넓이로 나눠 로저가 만드는 쿠키 개수를 구합니다.

$$N_{\text{로저}} = \dfrac{144}{8} = 18 \text{ 개}$$

💡 같은 반죽인데 쿠키가 작아졌으니 개수는 많아져야 합니다 — $18 > 12$ 라는 방향이 자연스럽습니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 6.RP.A.3 단계 5

수입을 맞춥니다.
아트는 $12 \times 60 = 720$ 센트를 법니다.
같은 금액을 로저의 $18$ 개로 벌려면 한 개 가격이 $720 \div 18$.

$$\text{가격} = \dfrac{720}{18} = 40 \text{ 센트} \;\Rightarrow\; \textbf{(C)}$$

💡 로저는 아트보다 더 많이 팔므로 한 개 가격은 $60$ 센트보다 작아야 합니다 — $40$ 이 들어맞습니다.

[1] #1 6.G.A.1 아트 쿠키 한 개의 넓이를 구합니다. 그림에 두 평행한 밑변이 $5$ 인치와 $3$ 인치, 높이가 $3$ 인치인 사다리꼴이 그려져 있고, 직각

[2] #7 6.G.A.1 아트가 사용한 반죽의 총 넓이를 구합니다. 아트는 $12$ in$^2$ 짜리 쿠키 $12$ 개를 만듭니다.

[3] #1 6.G.A.1 로저 쿠키 한 개의 넓이를 구합니다. 그림은 $4 \text{ in} \times 2 \text{ in}$ 직사각형입니다.

[4] #7 6.RP.A.3 공통 반죽 넓이를 로저 쿠키 한 개 넓이로 나눠 로저가 만드는 쿠키 개수를 구합니다.

[5] #7 6.RP.A.3 수입을 맞춥니다. 아트는 $12 \times 60 = 720$ 센트를 법니다. 같은 금액을 로저의 $18$ 개로 벌려면 한 개 가격이 $720

검토

합리성 확인: 방향 점검: 로저 쿠키($8$ in$^2$)는 아트 쿠키($12$ in$^2$)보다 작으니 같은 반죽으로 더 많은 로저 쿠키가 나오고, 한 개 가격은 $60$ 센트보다 낮아야 합니다. $40$ 센트는 두 조건을 모두 만족합니다. 총액 교차 확인: 로저의 한 묶음은 $18 \times 40 = 720$ 센트로 아트의 $12 \times 60 = 720$ 센트와 정확히 같습니다. 함정 선택지는 흔한 실수와 맞물려 있어요. (A) $18$ 은 로저의 쿠키 개수를 가격으로 착각, (D) $75$ 는 $60 \times \tfrac{12}{8}$ 로 넓이 비를 거꾸로 적용한 값, (E) $90$ 은 $60$ 에 $\tfrac{3}{2}$ 를 곱하는 방향을 뒤바꾼 결과입니다.

대안 접근: 도구 #11(변하지 않는 것 찾기) — 제곱인치당 가격으로 풀기. 같은 반죽이므로 친구마다 총 수입이 같고, 따라서 제곱인치당 수입은 친구 사이에서 변하지 않는 양입니다. 아트는 $144$ in$^2$ 로 $720$ 센트를 벌므로 $720/144 = 5$ 센트/in$^2$. 로저 쿠키는 $8$ in$^2$ 이므로 $5 \times 8 = 40$ 센트. 로저 쿠키 개수를 세지 않고도 같은 답 (C).

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

6.G.A.1 삼각형·사각형·다각형의 넓이를 직사각형으로 합성하거나 삼각형으로 분해해 구하기 (아트 쿠키 한 개의 사다리꼴 넓이 $12$ in$^2$ 과 로저 쿠키 한 개의 직사각형 넓이 $8$ in$^2$ 을 구하는 데 사용.)
6.RP.A.3 비와 비율로 추론하여 실세계·수학 문제 해결하기 ("같은 반죽 = 같은 총 넓이" 를 적용해 $144 \div 8 = 18$ 로 로저의 쿠키 수를 구하고, $720 \div 18 = 40$ 으로 한 개 가격을 구하는 데 사용.)

⭐ 모두가 같은 반죽을 쓴다면 쿠키를 제곱인치로 바꿔서 생각하세요. 아트의 한 묶음을 넓이로 환산하고, 그 넓이에 더 작은 로저 쿠키가 몇 개 들어가는지 본 뒤, 아트의 수입을 나눠 가지면 한 개당 $40$ 센트입니다.

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: C

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

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