AMC 8 · 2004 · #2

학년 3 counting

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문제

How many different four-digit numbers can be formed by rearranging the four digits in $2004$ ?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 8 2004 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: $2004$ 의 네 자릿수 — 즉 $2, 0, 0, 4$ — 를 재배열해서 서로 다른 네 자리 수를 만든다면, 모두 몇 개를 만들 수 있을까요?

주어진 것: 재배열할 네 개의 숫자는 $2, 0, 0, 4$ (숫자 $0$ 이 두 번 등장); 네 자리 수는 $0$ 으로 시작할 수 없다; 선택지: (A) $4$, (B) $6$, (C) $16$, (D) $24$, (E) $81$

구하는 것: $2, 0, 0, 4$ 를 재배열해서 만들 수 있는 서로 다른 네 자리 수의 개수

이해

문제 재정리: $2004$ 의 네 자릿수 — 즉 $2, 0, 0, 4$ — 를 재배열해서 서로 다른 네 자리 수를 만든다면, 모두 몇 개를 만들 수 있을까요?

계획

주요 도구: #2 빠짐없이 나열하기

재배열할 숫자가 네 개뿐이고, 맨 앞자리는 $2$ 또는 $4$ 만 가능합니다. 가능한 수의 개수가 매우 적으니 도구 #2(빠짐없이 나열하기)가 가장 깔끔합니다. 순서 규칙을 정한 뒤 그 규칙대로 모두 적고 세면 끝 — 공식 없이 목록 자체가 증명이 됩니다.

실행 — 정답: B

#2 빠짐없이 나열하기 3.OA.A.3 단계 1

나열 순서를 정합니다.
작은 수부터 큰 수 쪽으로 적기로 합시다.
천의 자리는 $2$ 또는 $4$ 뿐이므로 ($0$ 이면 네 자리 수가 아니니까요), 먼저 $2$ 로 시작하는 모든 수를 적고 그다음 $4$ 로 시작하는 모든 수를 적습니다.

$$\text{순서: 천의 자리} = 2 \text{ 먼저, 다음 } 4$$

💡 나열 전에 규칙을 정해두면 빠뜨리거나 중복하지 않습니다 — 도구 #2 의 핵심입니다.

#2 빠짐없이 나열하기 3.OA.A.3 단계 2

$2$ 로 시작하는 수를 모두 적습니다.
천의 자리에 $2$ 를 두면 남은 세 자리에는 $\{0, 0, 4\}$ 가 들어가고, $4$ 가 들어갈 위치(맨 오른쪽 · 가운데 · 맨 왼쪽)에 따라 정렬합니다.

$$2004, \;\; 2040, \;\; 2400$$

💡 맨 앞자리를 고정하면 "두 개의 $0$ 사이에 $4$ 한 개를 어디에 둘 것인가" 라는 단순한 문제가 됩니다.

#2 빠짐없이 나열하기 3.OA.A.3 단계 3

$4$ 로 시작하는 수를 모두 적습니다.
같은 방법으로, 남은 자리에는 $\{0, 0, 2\}$ 가 들어가고 $2$ 가 들어갈 위치에 따라 정렬합니다.

$$4002, \;\; 4020, \;\; 4200$$

💡 구조는 앞 경우와 똑같고 천의 자리만 바뀐 형태입니다.

#2 빠짐없이 나열하기 1.OA.A.1 단계 4

두 목록을 합쳐 셉니다.
$2$ 로 시작하는 수 $3$ 개와 $4$ 로 시작하는 수 $3$ 개가 겹치지 않으므로 전체 개수는 $3 + 3$ 입니다.

$$3 + 3 = 6 \;\Rightarrow\; \textbf{(B)}$$

💡 합의 법칙: 겹치지 않는 두 목록의 전체 개수는 각 개수의 합입니다.

[1] #2 3.OA.A.3 나열 순서를 정합니다. 작은 수부터 큰 수 쪽으로 적기로 합시다. 천의 자리는 $2$ 또는 $4$ 뿐이므로 ($0$ 이면 네 자리 수가 아니니까

[2] #2 3.OA.A.3 $2$ 로 시작하는 수를 모두 적습니다. 천의 자리에 $2$ 를 두면 남은 세 자리에는 $\{0, 0, 4\}$ 가 들어가고, $4$ 가 들어갈

[3] #2 3.OA.A.3 $4$ 로 시작하는 수를 모두 적습니다. 같은 방법으로, 남은 자리에는 $\{0, 0, 2\}$ 가 들어가고 $2$ 가 들어갈 위치에 따라 정렬

[4] #2 1.OA.A.1 두 목록을 합쳐 셉니다. $2$ 로 시작하는 수 $3$ 개와 $4$ 로 시작하는 수 $3$ 개가 겹치지 않으므로 전체 개수는 $3 + 3$ 입니

검토

합리성 확인: 다른 방법으로 빠르게 확인해 봅시다. 네 개의 숫자는 $4! = 24$ 가지로 정렬할 수 있지만, $0$ 두 개를 구별하지 않으므로 $2! = 2$ 로 나누어 서로 다른 숫자 문자열은 $12$ 개입니다. 그중 $0$ 으로 시작하는 것은 천의 자리에 $0$ 을 고정하고 남은 $\{0, 2, 4\}$ 를 정렬한 $3! = 6$ 가지입니다. 따라서 유효한 네 자리 수는 $12 - 6 = 6$ 개로, 목록 결과인 답 (B) 와 일치합니다.

대안 접근: 도구 #9(더 쉬운 문제로 줄이기): 일단 "맨 앞이 $0$ 이면 안 된다" 는 규칙을 잊고, $\{2, 0, 0, 4\}$ 의 서로 다른 정렬을 모두 셉니다. $\dfrac{4!}{2!} = 12$ 가지. 거기서 $0$ 으로 시작하는 "불량" 정렬을 빼면 됩니다 — 천의 자리에 $0$ 을 고정하면 남은 $\{0, 2, 4\}$ 의 정렬은 $3! = 6$ 가지. 따라서 답은 $12 - 6 = 6$, 역시 (B).

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 3)

3.OA.A.3 $100$ 이내의 곱셈과 나눗셈을 사용해 같은 묶음·배열·측정 상황의 문장제 해결 (두 경우($2$ 로 시작 / $4$ 로 시작)를 각각 $3$ 개씩의 같은 묶음으로 보고, 전체를 두 묶음의 합으로 정리하는 데 사용.)
1.OA.A.1 $20$ 이내의 덧셈과 뺄셈을 이용한 문장제 해결 (두 경우의 개수를 합의 법칙으로 더하기: $3 + 3 = 6$.)

⭐ 답이 작은 수라면 그냥 규칙을 정해 모두 적으세요. 여기서는 맨 앞이 $2$ 아니면 $4$ 이고, 각 경우마다 $3$ 개씩이라 총 $6$ 개입니다.

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: B

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 3)

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