AMC 8 · 2004 · #25

학년 8 geometry-2d

유형 Compound Area by Decomposition / Difference └ 세부 유형 Overlapping Translates

area-rectanglesarea-circlespythagorean-theoremspatial-visualizationreflection-symmetry area-differenceidentify-subproblems ↑ 선수 지식: area-rectanglesarea-circlespythagorean-theorem

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트 📊 도형

문제

Two $4 \times 4$ squares intersect at right angles, bisecting their intersecting sides, as shown. The circle's diameter is the segment between the two points of intersection. What is the area of the shaded region created by removing the circle from the squares?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$16-4\pi$

(B)

$16-2\pi$

(C)

$28-4\pi$

(D)

$28-2\pi$

(E)

$32-2\pi$

AMC 8 2004 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 두 개의 $4 \times 4$ 정사각형이 직각으로 만나며 서로의 만나는 변을 이등분하도록 놓여 있습니다. 두 정사각형의 경계가 교차하는 두 점을 잇는 선분을 지름으로 하는 원이 그려져 있습니다. 두 정사각형의 합집합에서 이 원을 제외한 어두운 영역의 넓이를 구하세요.

주어진 것: 각 정사각형의 한 변의 길이는 $4$; 두 정사각형은 직각으로 교차하며 서로의 만난 변을 이등분한다; 원의 지름은 두 정사각형 경계의 두 교점을 잇는 선분이다; 선택지: (A) $16 - 4\pi$, (B) $16 - 2\pi$, (C) $28 - 4\pi$, (D) $28 - 2\pi$, (E) $32 - 2\pi$

구하는 것: 어두운 영역의 넓이 (두 정사각형의 합집합에서 원을 뺀 값)

이해

계획

주요 도구: #7 작은 문제로 쪼개기

보조 도구: #1 그림 그리기

어두운 영역은 여러 도형이 얽힌 합성 도형이라 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)이 자연스럽게 들어맞습니다. 세 개의 작은 문제로 분리합시다 — (a) 두 정사각형 합집합의 넓이는 "두 정사각형 넓이의 합 $-$ 겹친 부분"으로, (b) 원의 반지름은 겹친 정사각형의 기하에서, (c) 원의 넓이는 공식 한 줄로 얻습니다. 도구 #1(그림 그리기)이 결정적 — 겹친 부분이 $2 \times 2$ 정사각형이라는 사실과 그 대각선이 원의 지름이라는 사실은 그림에 표시하는 순간 또렷이 보입니다.

실행 — 정답: D

#1 그림 그리기 3.MD.C.7 단계 1

그림을 그리고 겹친 영역을 찾습니다.
각 정사각형의 한 변은 $4$.
"만나는 변을 이등분한다"는 조건에 따라 한 정사각형의 변은 다른 정사각형 변의 중점에서 들어가므로, 두 정사각형이 공통으로 덮는 영역은 한 변이 $4 \div 2 = 2$ 인 정사각형입니다.

$$\text{겹친 부분 한 변} = \tfrac{4}{2} = 2, \quad \text{겹친 부분 넓이} = 2 \times 2 = 4$$

💡 3학년 "곱셈으로 구하는 넓이" — $2 \times 2$ 정사각형의 넓이는 $4$. "이등분"이라는 단어로부터 한 변의 길이가 곧장 보입니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 6.G.A.1 단계 2

작은 문제 A — 두 정사각형 합집합의 넓이.
포함-배제 원리를 적용합니다.
두 정사각형 넓이를 더한 뒤, 한 번 중복으로 센 겹친 부분을 한 번 빼 줍니다.

$$\text{합집합 넓이} = 4^2 + 4^2 - 2^2 = 16 + 16 - 4 = 28$$

💡 6학년 "도형을 합치거나 쪼개서 구하는 넓이" — 십자 모양은 두 정사각형이 가운데서 겹쳐 붙은 형태이므로 겹친 부분을 한 번 빼 줘야 합니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 8.G.B.7 단계 3

작은 문제 B — 원의 반지름.
두 경계 교점은 $2 \times 2$ 겹친 정사각형의 대각선 양 끝점입니다.
따라서 원의 지름은 그 대각선이고, 직각삼각형(두 다리 모두 $2$)의 빗변으로 구할 수 있습니다.

$$d = \sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}, \quad r = \tfrac{d}{2} = \sqrt{2}$$

💡 8학년 피타고라스 정리 — $2$-$2$-? 직각삼각형의 빗변은 $2\sqrt{2}$, 절반인 반지름은 $\sqrt{2}$.

#7 작은 문제로 쪼개기 7.G.B.4 단계 4

작은 문제 C — 원의 넓이.
$r = \sqrt{2}$ 를 원의 넓이 공식에 대입합니다.

$$\text{원의 넓이} = \pi r^2 = \pi (\sqrt{2})^2 = 2\pi$$

💡 7학년 원의 넓이 — $\sqrt{2}$ 의 제곱이 $2$ 로 깔끔히 떨어져 원의 넓이는 정확히 $2\pi$.

#7 작은 문제로 쪼개기 6.G.A.1 단계 5

종합.
어두운 영역 $=$ (합집합 넓이) $-$ (원의 넓이).

$$\text{어두운 영역} = 28 - 2\pi \;\Rightarrow\; \textbf{(D)}$$

💡 같은 6학년 "도형 합치고 쪼개기" 원리를 마지막에 한 번 더 적용 — 최종 영역은 십자에서 원을 뺀 것이므로 넓이를 그대로 뺍니다.

[1] #1 3.MD.C.7 그림을 그리고 겹친 영역을 찾습니다. 각 정사각형의 한 변은 $4$. "만나는 변을 이등분한다"는 조건에 따라 한 정사각형의 변은 다른 정사각형

[2] #7 6.G.A.1 작은 문제 A — 두 정사각형 합집합의 넓이. 포함-배제 원리를 적용합니다. 두 정사각형 넓이를 더한 뒤, 한 번 중복으로 센 겹친 부분을 한

[3] #7 8.G.B.7 작은 문제 B — 원의 반지름. 두 경계 교점은 $2 \times 2$ 겹친 정사각형의 대각선 양 끝점입니다. 따라서 원의 지름은 그 대각선이고

[4] #7 7.G.B.4 작은 문제 C — 원의 넓이. $r = \sqrt{2}$ 를 원의 넓이 공식에 대입합니다.

[5] #7 6.G.A.1 종합. 어두운 영역 $=$ (합집합 넓이) $-$ (원의 넓이).

검토

합리성 확인: 크기를 확인해 봅시다. 정사각형 하나가 $16$ 이므로 두 정사각형의 합집합 넓이는 $16$ (완전히 겹칠 때) 에서 $32$ (전혀 겹치지 않을 때) 사이에 있어야 하고, $28$ 은 그 범위 안에 자연스럽게 들어갑니다. 원의 넓이 $2\pi \approx 6.28$ 을 빼도 약 $21.7$ 이 남아 양수, 그림과 부합. 오답 제거: (A) $16 - 4\pi$ 와 (B) $16 - 2\pi$ 는 정사각형 하나만 센 형태. (C) $28 - 4\pi$ 라면 반지름이 $2$ 여야 하는데 그것은 겹친 부분의 한 변이지 반대각선의 절반이 아닙니다. (E) $32 - 2\pi$ 는 겹친 부분을 한 번도 빼지 않은 형태. 답은 (D) 만 일관됩니다.

대안 접근: 도구 #3(가능성 지우기)을 선택지에 직접 적용. 변 $4$ 인 두 정사각형이 $2 \times 2$ 영역을 공유한다면 합집합 넓이는 $16 + 16 - 4 = 28$ 이므로 $16$ 또는 $32$ 로 시작하는 (A), (B), (E) 는 즉시 탈락 — 남는 후보는 (C) $28 - 4\pi$ 와 (D) $28 - 2\pi$. 원의 지름이 겹친 정사각형의 변($2$)이 아니라 대각선($2\sqrt{2}$)이므로 반지름은 $\sqrt{2}$, 넓이는 $\pi(\sqrt{2})^2 = 2\pi$ 가 되어 (D) 가 확정.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

3.MD.C.7 넓이를 곱셈과 덧셈 연산과 관련짓기 (겹친 정사각형의 넓이 $2 \times 2 = 4$ 와 각 정사각형의 넓이 $4 \times 4 = 16$ 을 계산하는 데 사용.)
6.G.A.1 다각형을 직사각형으로 합치거나 삼각형 등으로 쪼개어 넓이 구하기 (십자 모양에 포함-배제 원리를 적용해 $16 + 16 - 4 = 28$ 을 얻고, 마지막에 원을 빼 어두운 영역을 구하는 데 사용.)
7.G.B.4 원의 넓이와 둘레 공식을 알고 활용하기 ($r = \sqrt{2}$ 에 $\pi r^2$ 을 적용해 원의 넓이 $2\pi$ 를 구하는 데 사용.)
8.G.B.7 피타고라스 정리를 활용해 직각삼각형의 모르는 변의 길이 구하기 ($2 \times 2$ 겹친 정사각형의 대각선 $\sqrt{2^2 + 2^2} = 2\sqrt{2}$ 를 구하는 데 사용 — 이 길이가 곧 원의 지름.)

⭐ 복잡한 그림은 작은 조각으로 — 십자 모양은 두 $4 \times 4$ 정사각형에서 $2 \times 2$ 겹친 부분을 한 번 뺀 $28$, 원의 반지름은 그 겹친 정사각형 대각선의 절반인 $\sqrt{2}$, 원의 넓이 $2\pi$ 를 마지막에 빼면 $28 - 2\pi$.

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: D

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

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