AMC 8 · 2004 · #8

학년 6 counting

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Factor-Pair Enumeration

digit-sumdigit-constraintssystematic-enumerationplace-value systematic-enumeration ↑ 선수 지식: place-valuemulti-digit-arithmetic

📏 짧은 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

Find the number of two-digit positive integers whose digits total $7$ .

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 8 2004 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 두 자리 양의 정수 중 각 자리 숫자의 합이 $7$ 인 것은 몇 개일까요?

주어진 것: 두 자리 정수이므로 범위는 $10$ 부터 $99$ 까지; 십의 자리 숫자와 일의 자리 숫자의 합이 $7$; 선택지: (A) $6$, (B) $7$, (C) $8$, (D) $9$, (E) $10$

구하는 것: 자리 숫자 합이 $7$ 인 두 자리 정수의 개수

이해

문제 재정리: 두 자리 양의 정수 중 각 자리 숫자의 합이 $7$ 인 것은 몇 개일까요?

주어진 것: 두 자리 정수이므로 범위는 $10$ 부터 $99$ 까지; 십의 자리 숫자와 일의 자리 숫자의 합이 $7$; 선택지: (A) $6$, (B) $7$, (C) $8$, (D) $9$, (E) $10$

계획

주요 도구: #2 체계적으로 나열하기

구해야 하는 것은 개수이고, 탐색할 범위는 작고, 규칙은 단순합니다 ($t + u = 7$). 도구 #2(체계적으로 나열하기)를 쓰면 십의 자리 $t$ 를 $1$ 부터 $7$ 까지 차례로 올리면서 매번 $u = 7 - t$ 로 정하고, 가능한 수를 모두 적을 수 있어요. 순서대로 올리면 빠뜨리거나 겹치지 않습니다.

실행 — 정답: B

#2 체계적으로 나열하기 5.OA.B.3 단계 1

자리 수 식을 세웁니다.
십의 자리를 $t$, 일의 자리를 $u$ 라 하면 두 자리 수가 되려면 $t \geq 1$, 자리 합 조건은 $t + u = 7$ 입니다.

$$t + u = 7,\quad 1 \leq t \leq 9,\quad 0 \leq u \leq 9$$

💡 규칙을 먼저 한 줄로 적어두면 $t$ 를 정하는 순간 $u$ 가 자동으로 결정되어 나열이 기계적이 됩니다.

#2 체계적으로 나열하기 6.EE.B.5 단계 2

$t$ 가 실제로 가질 수 있는 범위를 좁힙니다.
$u = 7 - t \geq 0$ 이어야 하므로 $t \leq 7$.
$t \geq 1$ 과 합치면 $t$ 는 $1$ 부터 $7$ 까지입니다.

$$u = 7 - t \geq 0 \;\Rightarrow\; t \leq 7,\;\text{즉}\; t \in \{1,2,3,4,5,6,7\}$$

💡 $t$ 를 먼저 가두면 무한 탐색이 일곱 가지 경우의 체크리스트로 바뀝니다.

#2 체계적으로 나열하기 5.OA.B.3 단계 3

$t$ 를 순서대로 올리면서 각 경우의 수를 적습니다.
십의 자리를 정하면 일의 자리는 $7 - t$ 로 자동 결정되므로 매번 두 자리 수가 하나씩 나옵니다.

$$t = 1 \to 16,\; t = 2 \to 25,\; t = 3 \to 34,\; t = 4 \to 43,\; t = 5 \to 52,\; t = 6 \to 61,\; t = 7 \to 70$$

💡 순서대로 가면 빠뜨리거나 중복될 일이 없고, 자리 합은 항상 $7$ 입니다.

#2 체계적으로 나열하기 5.OA.B.3 단계 4

목록의 개수를 셉니다.
$t$ 한 값당 수 하나씩, 총 일곱 개이므로 답은 $7$ 입니다.

$$\text{개수} = 7 \;\Rightarrow\; \textbf{(B)}$$

💡 각 $t$ 가 정확히 수 하나를 만들었고, $t$ 가 $7$ 개였으니 답은 $7$.

[1] #2 5.OA.B.3 자리 수 식을 세웁니다. 십의 자리를 $t$, 일의 자리를 $u$ 라 하면 두 자리 수가 되려면 $t \geq 1$, 자리 합 조건은 $t +

[2] #2 6.EE.B.5 $t$ 가 실제로 가질 수 있는 범위를 좁힙니다. $u = 7 - t \geq 0$ 이어야 하므로 $t \leq 7$. $t \geq 1$ 과

[3] #2 5.OA.B.3 $t$ 를 순서대로 올리면서 각 경우의 수를 적습니다. 십의 자리를 정하면 일의 자리는 $7 - t$ 로 자동 결정되므로 매번 두 자리 수가 하

[4] #2 5.OA.B.3 목록의 개수를 셉니다. $t$ 한 값당 수 하나씩, 총 일곱 개이므로 답은 $7$ 입니다.

검토

합리성 확인: 이번에는 일의 자리를 기준으로 다시 세어 봅시다. $u = 0$ 이면 $t = 7$ ($70$), $u = 1 \to t = 6$ ($61$), $\ldots$, $u = 6 \to t = 1$ ($16$). $u = 7$ 이면 $t = 0$ 이 되어 두 자리 수가 아니라 제외. 결국 유효한 $u$ 는 $0$ 부터 $6$ 까지 $7$ 가지로 같은 답입니다. 반대 방향에서도 $7$ 이 나오니 신뢰할 만합니다.

대안 접근: 도구 #5(규칙·패턴 찾기): 자리 합 $s$ 가 $1$ 부터 $9$ 사이일 때 가능한 두 자리 수의 개수는 항상 $s$ 와 같습니다(십의 자리가 $1$ 부터 $s$ 까지). $s = 7$ 을 대입하면 바로 $7$, 따라서 (B).

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

5.OA.B.3 두 가지 규칙으로 수 패턴을 생성하고 관계를 찾기 (십의 자리 $t$ 를 $1$ 부터 $7$ 까지 차례로 올리고 그때마다 $u = 7 - t$ 를 적어 가능한 두 자리 수를 모두 나열하는 데 사용.)
6.EE.B.5 어떤 값이 식·부등식을 참으로 만드는지 판단하기 ($t \geq 1$ 과 $u \geq 0$ 조건으로 $1 \leq t \leq 7$ 을 유도해 탐색 범위를 유한한 체크리스트로 줄이는 데 사용.)

⭐ 자리 합 규칙을 식으로 적고 순서대로 나열하면 모든 두 자리 수를 한 번씩만 잡아낼 수 있어요 — 대수 없이도 5학년 패턴과 6학년 조건 추론만으로 답이 나옵니다.

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: B

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

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