AMC 8 · 2004 · #9

학년 6 arithmetic

유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Linear Rate Accumulation

mean-median-mode-rangelinear-equations-one-varmulti-digit-arithmetic identify-subproblemsconvert-to-algebra ↑ 선수 지식: multi-digit-arithmeticfraction-arithmetic

📏 짧은 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

The average of the five numbers in a list is $54$ . The average of the first two
numbers is $48$ . What is the average of the last three numbers?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 8 2004 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 다섯 개의 수가 있는 목록이 있습니다. 전체 평균은 $54$ 이고, 앞의 두 수의 평균은 $48$ 입니다. 나머지 세 수의 평균을 구하세요.

주어진 것: 목록에는 수가 $5$ 개 있다; $5$ 개 전체의 평균은 $54$; 앞의 두 수의 평균은 $48$; 선택지: (A) $55$, (B) $56$, (C) $57$, (D) $58$, (E) $59$

구하는 것: 나머지 세 수의 평균

이해

문제 재정리: 다섯 개의 수가 있는 목록이 있습니다. 전체 평균은 $54$ 이고, 앞의 두 수의 평균은 $48$ 입니다. 나머지 세 수의 평균을 구하세요.

주어진 것: 목록에는 수가 $5$ 개 있다; $5$ 개 전체의 평균은 $54$; 앞의 두 수의 평균은 $48$; 선택지: (A) $55$, (B) $56$, (C) $57$, (D) $58$, (E) $59$

계획

주요 도구: #16 관점 바꾸기

평균은 여러 개 주어져 있고, 구하라는 것도 또 다른 평균입니다. 도구 #16(관점 바꾸기)이 알려주는 길은 분명합니다 — 평균에서 합으로 시선을 옮기세요. 평균은 그룹끼리 더해지지 않지만 합은 깔끔하게 더하고 뺄 수 있습니다. 전체 합과 앞 두 수의 합을 구한 뒤 빼면 뒤 세 수의 합이 나오고, $3$ 으로 나누면 구하려는 평균이 나옵니다.

실행 — 정답: D

#16 관점 바꾸기 6.SP.B.5 단계 1

"$5$ 개 전체 평균" 을 "$5$ 개 전체 합" 으로 바꿉니다.
평균 $\times$ 개수 $=$ 합 입니다.

$$5 \text{ 개 전체 합} = 54 \times 5 = 270$$

💡 6학년 평균 공식은 거꾸로도 똑같이 성립합니다 — 평균과 개수를 알면 곱해서 합을 바로 얻습니다.

#16 관점 바꾸기 6.SP.B.5 단계 2

앞의 두 수도 같은 방식으로 바꿉니다.
평균에 개수를 곱하면 합이 됩니다.

$$\text{앞 2 개의 합} = 48 \times 2 = 96$$

💡 같은 평균 공식 되돌리기, 이번에는 개수가 $5$ 가 아니라 $2$ 입니다.

#16 관점 바꾸기 4.OA.A.3 단계 3

다섯 수는 앞 두 수와 뒤 세 수로 겹침 없이 나뉘므로, 뒤 세 수의 합은 전체 합에서 앞 두 수의 합을 뺀 값입니다.

$$\text{뒤 3 개의 합} = 270 - 96 = 174$$

💡 겹치지 않는 두 그룹의 합은 자연스럽게 더하고 뺄 수 있습니다 — 4학년 "여러 단계 문장제" 의 부분-전체 추론 그대로입니다.

#16 관점 바꾸기 6.SP.B.5 단계 4

이제 합을 다시 평균으로 되돌립니다.
뒤 세 수의 합을 개수 $3$ 으로 나눕니다.

$$\text{뒤 3 개의 평균} = \dfrac{174}{3} = 58 \;\Rightarrow\; \textbf{(D)}$$

💡 처음에 한 변환을 거꾸로 — 합과 개수를 알면 나누어 평균을 되찾습니다.

[1] #16 6.SP.B.5 "$5$ 개 전체 평균" 을 "$5$ 개 전체 합" 으로 바꿉니다. 평균 $\times$ 개수 $=$ 합 입니다.

[2] #16 6.SP.B.5 앞의 두 수도 같은 방식으로 바꿉니다. 평균에 개수를 곱하면 합이 됩니다.

[3] #16 4.OA.A.3 다섯 수는 앞 두 수와 뒤 세 수로 겹침 없이 나뉘므로, 뒤 세 수의 합은 전체 합에서 앞 두 수의 합을 뺀 값입니다.

[4] #16 6.SP.B.5 이제 합을 다시 평균으로 되돌립니다. 뒤 세 수의 합을 개수 $3$ 으로 나눕니다.

검토

합리성 확인: 직관 확인. 앞 두 수의 평균 $48$ 은 전체 평균 $54$ 보다 $6$ 만큼 작습니다. 두 수가 각각 $6$ 씩 부족하니 총 $2 \times 6 = 12$ 만큼이 비어 있습니다. 그 부족분을 뒤 세 수가 채워야 하므로, 뒤 세 수는 $54$ 보다 평균적으로 $12 \div 3 = 4$ 만큼 높아야 합니다. 따라서 평균은 $54 + 4 = 58$, 답 (D) 와 일치합니다.

대안 접근: 도구 #4(변수 도입하기): 구하려는 평균을 $x$ 라 합시다. 그러면 뒤 세 수의 합은 $3x$, 앞 두 수의 합은 $96$, 전체 합은 $270$. 따라서 $96 + 3x = 270$ 이고 $3x = 174$, $x = 58$. 같은 답 (D) 가 변수를 직접 세우는 방법으로 나옵니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

6.SP.B.5 관측 개수와 중심 측도 등을 포함한 수치 자료 요약 (평균 공식(합 $\div$ 개수)을 양방향으로 사용 — $54 \times 5 = 270$ 과 $48 \times 2 = 96$ 으로 평균에서 합을 얻고, 마지막에 $174 \div 3 = 58$ 로 합에서 다시 평균을 얻는 데 사용.)
4.OA.A.3 사칙연산을 이용한 여러 단계의 문장제 해결 (전체 합을 겹치지 않는 두 그룹의 합으로 나누어 빼는 데 사용 — 뒤 3 개의 합 $= 270 - 96 = 174$.)

⭐ 여러 평균이 주어지고 또 다른 평균을 묻는 문제라면, 먼저 합으로 바꾸세요. 합은 그룹끼리 깔끔하게 더하고 뺄 수 있고, 마지막에 다시 나누기만 하면 원하던 평균이 나옵니다.

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: D

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

비슷한 유형 더 풀어보기