AMC 8 · 2005 · #11

학년 6 rate-ratio

유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Weighted Group Aggregation

percentagefraction-multiplicationpattern-recognition identify-subproblemspattern-recognition ↑ 선수 지식: percentage

📏 짧은 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

The sales tax rate in Rubenenkoville is 6%. During a sale at the Bergville Coat Closet, the price of a coat is discounted 20% from its $90.00 price. Two clerks, Jack and Jill, calculate the bill independently. Jack rings up$ 90.00 and adds 6% sales tax, then subtracts 20% from this total. Jill rings up $90.00, subtracts 20% of the price, then adds 6% of the discounted price for sales tax. What is Jack's total minus Jill's total?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$-\textdollar 1.06$

(B)

$-\textdollar 0.53$

(C)

$\textdollar 0$

(D)

$\textdollar 0.53$

(E)

$\textdollar 1.06$

AMC 8 2005 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: $\textdollar 90.00$ 짜리 코트가 $20\%$ 할인 중이고, 이 동네 판매세는 $6\%$ 입니다. Jack 은 $\textdollar 90$ 에 먼저 $6\%$ 세금을 더한 다음 $20\%$ 를 깎습니다. Jill 은 $\textdollar 90$ 에서 먼저 $20\%$ 를 깎은 다음 깎인 가격에 $6\%$ 세금을 더합니다. Jack 의 총액에서 Jill 의 총액을 뺀 값은 얼마일까요?

주어진 것: 원래 가격: $\textdollar 90.00$; 할인: $20\%$ 깎기 (곱셈 인수 $1 - 0.20 = 0.80$); 판매세: $6\%$ 더하기 (곱셈 인수 $1 + 0.06 = 1.06$); Jack 의 순서: 가격 $\to$ 세금 더하기 $\to$ 할인 적용; Jill 의 순서: 가격 $\to$ 할인 적용 $\to$ 세금 더하기; 선택지: (A) $-\textdollar 1.06$, (B) $-\textdollar 0.53$, (C) $\textdollar 0$, (D) $\textdollar 0.53$, (E) $\textdollar 1.06$

구하는 것: Jack 의 총액에서 Jill 의 총액을 뺀 값 (달러)

이해

계획

주요 도구: #11 변하지 않는 양 찾기

보조 도구: #4 변수 도입하기

두 점원은 같은 시작 가격에 같은 두 인수 ($1.06$ 과 $0.80$) 를 곱합니다. 바뀐 것은 순서뿐이에요. 도구 #11 (변하지 않는 양 찾기) 이 잡아내는 불변량은 "수를 여러 개 곱할 때 순서를 바꿔도 결과는 같다" 라는 사실 — 곱셈의 교환법칙입니다. 그래서 달러를 계산해 보기 전에 이미 Jack 과 Jill 의 총액은 같다는 것을 알 수 있어요. 도구 #4 (변수 도입하기) 로 두 총액을 $90 \times 1.06 \times 0.80$ 과 $90 \times 0.80 \times 1.06$ 으로 적어 두면 같음이 한눈에 보입니다. 계산은 필요 없고, 구조가 답을 결정합니다.

실행 — 정답: C

#4 변수 도입하기 6.RP.A.3 단계 1

각 퍼센트 변화를 한 번의 곱셈으로 바꿉니다.
어떤 값 $x$ 에 $6\%$ 세금을 더하면 $x + 0.06x = 1.06x$ 이므로 "세금 더하기" $= \times 1.06$.
$x$ 에서 $20\%$ 를 깎으면 $x - 0.20x = 0.80x$ 이므로 "할인 적용" $= \times 0.80$.

$$\text{세금 더하기} \equiv \times 1.06, \quad \text{할인 적용} \equiv \times 0.80$$

💡 퍼센트 변화는 곱셈 한 번으로 표현됩니다. 그래야 순서를 비교할 수 있어요.

#4 변수 도입하기 6.EE.A.2 단계 2

Jack 의 총액을 곱셈으로 적습니다.
$\textdollar 90$ 에 $1.06$ 을 곱하고 (세금 더하기), 그다음 $0.80$ 을 곱합니다 (할인 적용).

$$J_{\text{Jack}} = 90 \times 1.06 \times 0.80$$

💡 각 단계가 곱셈식의 한 인수가 됩니다.

#4 변수 도입하기 6.EE.A.2 단계 3

Jill 의 총액도 같은 방식으로 적습니다.
$\textdollar 90$ 에 $0.80$ 을 곱하고 (할인 적용), 그다음 $1.06$ 을 곱합니다 (세금 더하기).

$$J_{\text{Jill}} = 90 \times 0.80 \times 1.06$$

💡 시작 가격도 같고 두 인수도 같습니다. 바뀐 건 마지막 두 곱셈의 순서뿐이에요.

#11 변하지 않는 양 찾기 6.EE.A.3 단계 4

불변량을 적용합니다.
곱셈은 교환법칙을 만족하므로 $1.06 \times 0.80 = 0.80 \times 1.06$.
따라서 Jack 의 곱셈식과 Jill 의 곱셈식은 같은 세 수의 곱이고, 두 총액은 같습니다.
차이는 $0$.

$$J_{\text{Jack}} - J_{\text{Jill}} = 90 \times 1.06 \times 0.80 - 90 \times 0.80 \times 1.06 = 0 \;\Rightarrow\; \textbf{(C)}$$

💡 두 총액이 $90$, $1.06$, $0.80$ 의 같은 곱으로 표현되면, 교환법칙만으로 결과가 같음이 확정됩니다 — 달러를 계산할 필요가 없어요.

[1] #4 6.RP.A.3 각 퍼센트 변화를 한 번의 곱셈으로 바꿉니다. 어떤 값 $x$ 에 $6\%$ 세금을 더하면 $x + 0.06x = 1.06x$ 이므로 "세금 더

[2] #4 6.EE.A.2 Jack 의 총액을 곱셈으로 적습니다. $\textdollar 90$ 에 $1.06$ 을 곱하고 (세금 더하기), 그다음 $0.80$ 을 곱합니

[3] #4 6.EE.A.2 Jill 의 총액도 같은 방식으로 적습니다. $\textdollar 90$ 에 $0.80$ 을 곱하고 (할인 적용), 그다음 $1.06$ 을 곱

[4] #11 6.EE.A.3 불변량을 적용합니다. 곱셈은 교환법칙을 만족하므로 $1.06 \times 0.80 = 0.80 \times 1.06$. 따라서 Jack 의 곱셈

검토

합리성 확인: 실제로 두 총액을 계산해 확인합니다. $90 \times 1.06 = 95.40$, 그 다음 $95.40 \times 0.80 = 76.32$ 이므로 Jack 의 총액은 $\textdollar 76.32$. $90 \times 0.80 = 72.00$, 그 다음 $72.00 \times 1.06 = 76.32$ 이므로 Jill 의 총액도 $\textdollar 76.32$. 차이 $\textdollar 0$, 답 (C) 와 일치합니다. 함정 선택지 $\pm\textdollar 0.53$, $\pm\textdollar 1.06$ 은 "세금을 먼저 붙이면 세금이 할인보다 \textit{먼저}\, 자리를 잡아 더 비싸진다" 라는 직관 오류에서 나온 값이지만, $1.06$ 과 $0.80$ 을 어떤 순서로 곱해도 결과가 같으므로 그런 "먼저" 는 존재하지 않습니다.

대안 접근: 도구 #9 (더 쉬운 경우로 바꿔보기): 숫자를 더 다루기 쉽게 바꿔 봅시다 — $\textdollar 100$ 짜리 코트, 할인 $50\%$, 세금 $10\%$. Jack: $100 \times 1.10 \times 0.50 = 55$. Jill: $100 \times 0.50 \times 1.10 = 55$. 다른 숫자로도 두 경로가 일치합니다. 결과가 같아지는 이유가 구체적인 수가 아니라 곱셈 자체의 성질 (교환법칙) 임을 다시 확인할 수 있어요.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

6.RP.A.3 비와 비율 추론을 이용해 실생활 문제 (퍼센트 포함) 풀기 ("$6\%$ 세금 더하기" 를 $\times 1.06$ 으로, "$20\%$ 깎기" 를 $\times 0.80$ 으로 바꿔 각 단계를 곱셈 하나로 만드는 데 사용.)
6.EE.A.2 문자가 수를 나타내는 식을 쓰고, 읽고, 값을 구하기 (Jack 과 Jill 의 총액을 $90 \times 1.06 \times 0.80$ 과 $90 \times 0.80 \times 1.06$ 의 곱셈식으로 표현하는 데 사용.)
6.EE.A.3 연산의 성질을 이용해 동치인 식 만들기 (곱셈의 교환법칙을 이용해 $90 \times 1.06 \times 0.80 = 90 \times 0.80 \times 1.06$ 임을 확인하고, 차이가 $0$ 임을 결론짓는 데 사용.)

⭐ 두 점원 모두 $\textdollar 90$ 에 같은 두 인수 — 세금 $1.06$ 과 할인 $0.80$ — 을 곱합니다. 곱셈의 교환법칙에 따라 순서는 결과를 바꾸지 못하므로 두 총액은 같고, 차이는 $\textdollar 0$ 입니다.

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: C

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

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