AMC 8 · 2005 · #12

학년 6 arithmetic

유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Fraction / Expression Sum Evaluation

sequences-arithmeticmean-median-mode-rangelinear-equations-one-var identify-subproblemsconvert-to-algebra ↑ 선수 지식: sequences-arithmetic

📏 짧은 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

Big Al, the ape, ate 100 bananas from May 1 through May 5. Each day he ate six more bananas than on the previous day. How many bananas did Big Al eat on May 5?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 8 2005 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 유인원 빅 알은 5월 1일부터 5월 5일까지 닷새 동안 바나나 $100$ 개를 먹었습니다. 매일 전날보다 $6$ 개씩 더 먹었다고 할 때, 5월 5일에 먹은 바나나는 몇 개일까요?

주어진 것: 5월 1일, 5월 2일, 5월 3일, 5월 4일, 5월 5일 — 닷새; 매일 먹은 양은 전날보다 $6$ 개 많다; 닷새 동안 먹은 양의 합은 $100$ 개; 선택지: (A) $20$, (B) $22$, (C) $30$, (D) $32$, (E) $34$

구하는 것: 5월 5일에 먹은 바나나의 개수

이해

계획

주요 도구: #5 패턴 찾기

보조 도구: #11 변하지 않는 것 찾기

"매일 전날보다 $6$ 개씩 많다" 는 표현은 도구 #5 (패턴 찾기) 의 명백한 신호입니다 — 다섯 날의 개수가 $6$ 씩 일정하게 늘어나는 "고른 간격" 의 수열이 되니까요. 게다가 항이 다섯 개로 홀수일 때는 도구 #11 (변하지 않는 것 찾기) 가 강한 한 수를 줍니다 — 가운데 항 (5월 3일) 이 곧 다섯 항의 평균이 된다는 점이에요. 이 불변량 덕분에 총합 $100$ 이 곧장 가운데 날의 양이 되고, 5월 5일은 가운데에서 $+6$ 을 두 번 더하면 끝납니다. 도구 #5 와 #11 의 조합으로 도구 #13 (대수로 바꾸기) 없이 5–6학년 산수만으로 풀 수 있어요.

실행 — 정답: D

#5 패턴 찾기 4.OA.C.5 단계 1

패턴을 나열합니다.
5월 1일의 개수를 시작으로 $+6$, $+6$, $+6$, $+6$ 을 차례로 더하면 5월 5일에 도달해요.
다섯 수가 모두 $6$ 씩 일정하게 늘어나는 "고른 간격" 수열입니다.

$$\text{5/1}, \text{ 5/1} + 6, \text{ 5/1} + 12, \text{ 5/1} + 18, \text{ 5/1} + 24$$

💡 주어진 규칙으로 수의 패턴을 적어 내려가는 4학년 "규칙에 따른 수열 만들기" 그대로입니다. 일정한 간격 $6$ 이 패턴의 전부예요.

#11 변하지 않는 것 찾기 6.SP.B.5 단계 2

불변량을 사용합니다.
항의 개수가 홀수인 "고른 간격" 수열에서는 가운데 항이 항상 전체의 평균과 같아요.
항이 다섯 개이니 가운데는 5월 3일, 따라서 5월 3일 $=$ (총합 $\div$ 날 수) $= 100 \div 5$.

$$\text{5/3} = \dfrac{100}{5} = 20 \text{ 개}$$

💡 고른 간격 수열에서는 가운데보다 위쪽으로 한 칸 올라간 항과 아래쪽으로 한 칸 내려간 항이 짝을 이뤄 상쇄되므로, 가운데 항이 곧 평균이 됩니다 — 6학년 평균의 개념입니다.

#5 패턴 찾기 5.NBT.B.5 단계 3

가운데에서 5월 5일까지 패턴을 따라 두 칸 더 갑니다.
5월 5일은 5월 3일에서 이틀 뒤이고 하루마다 $+6$ 이므로 5월 5일 $=$ 5월 3일 $+ 6 + 6$.

$$\text{5/5} = 20 + 6 + 6 = 32 \;\Rightarrow\; \textbf{(D)}$$

💡 $+6$ 을 두 번 더 더하는 것은 같은 패턴을 가운데에서 끝까지 계속 따라가는 것일 뿐입니다.

[1] #5 4.OA.C.5 패턴을 나열합니다. 5월 1일의 개수를 시작으로 $+6$, $+6$, $+6$, $+6$ 을 차례로 더하면 5월 5일에 도달해요. 다섯 수가 모

[2] #11 6.SP.B.5 불변량을 사용합니다. 항의 개수가 홀수인 "고른 간격" 수열에서는 가운데 항이 항상 전체의 평균과 같아요. 항이 다섯 개이니 가운데는 5월 3일

[3] #5 5.NBT.B.5 가운데에서 5월 5일까지 패턴을 따라 두 칸 더 갑니다. 5월 5일은 5월 3일에서 이틀 뒤이고 하루마다 $+6$ 이므로 5월 5일 $=$ 5월

검토

합리성 확인: 다섯 날의 목록을 총합과 맞춰 봅시다. 가운데에서 양쪽으로 펼치면 5월 1일 $= 20 - 12 = 8$, 5월 2일 $= 14$, 5월 3일 $= 20$, 5월 4일 $= 26$, 5월 5일 $= 32$. 합은 $8 + 14 + 20 + 26 + 32 = 100$ 으로 문제의 총합과 정확히 같습니다. 모든 수가 양의 정수이고 간격이 $6$ 으로 유지되며, 답 $32$ 는 선택지 (D) 와 일치해요. 크기 점검도 통과합니다 — 만약 빅 알이 매일 같은 양을 먹었다면 하루 $100 \div 5 = 20$ 개일 텐데, 5월 5일은 가장 많이 먹은 날이므로 $20$ 보다 커야 합니다. 선택지 중 $22$ 는 너무 작고 (간격이 안 맞음), $30$ 은 합이 $90$, $34$ 는 합이 $110$ 이라 답이 아니며, $32$ 만 유일하게 맞습니다.

대안 접근: 도구 #6 (시도와 점검): 선택지를 직접 대입해 봅니다. 5월 5일 $= 32$ (선택지 D) 로 두면 5월 4일 $= 26$, 5월 3일 $= 20$, 5월 2일 $= 14$, 5월 1일 $= 8$ 이고 합은 $8 + 14 + 20 + 26 + 32 = 100$ — 일치합니다. 5월 5일 $= 30$ (C) 으로 두면 $6 + 12 + 18 + 24 + 30 = 90 \ne 100$, 5월 5일 $= 34$ (E) 로 두면 $10 + 16 + 22 + 28 + 34 = 110 \ne 100$. (D) 만 통과합니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

4.OA.C.5 주어진 규칙을 따르는 수의 패턴 만들기 (다섯 날의 바나나 개수를 간격이 $6$ 인 고른 간격 수열로 나열하는 데 사용.)
6.SP.B.5 관측 개수와 중심 측도 등을 포함한 수치 자료 요약 (고른 간격 수열에서 가운데 항이 전체의 평균과 같다는 사실로 5월 3일 $= 100 \div 5 = 20$ 을 얻는 데 사용.)
5.NBT.B.5 표준 알고리즘으로 여러 자리 자연수 곱셈 능숙하게 하기 (5월 3일의 양에 $+6$ 을 두 번 더해 5월 5일 $= 32$ 개를 얻는 데 사용.)

⭐ 매일 $6$ 개씩 늘어나는 다섯 날의 양은 고른 간격 수열이고, 가운데 날인 5월 3일은 자동으로 평균 $100 \div 5 = 20$ 이 됩니다. 거기서 $+6$ 을 두 번만 더 따라가면 5월 5일은 $32$ — 이 "가운데가 곧 평균" 한 가지 아이디어가 AMC 8 문제를 6학년 평균 문제로 줄여 줍니다.

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: D

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

비슷한 유형 더 풀어보기