AMC 8 · 2005 · #17

학년 6 rate-ratio

유형 Coordinate Plane Figure Computation └ 세부 유형 Coordinate Graph Slope as Rate

rateslope-interceptgraph-readingcoordinate-geometry identify-subproblems ↑ 선수 지식: rategraph-reading

📏 짧은 풀이 💡 2 개 인사이트 📊 도형

문제

The results of a cross-country team's training run are graphed below. Which student has the greatest average speed?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

Angela

(B)

Briana

(C)

Carla

(D)

Debra

(E)

Evelyn

AMC 8 2005 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 다섯 명의 학생이 각각 크로스컨트리 훈련을 뛰었습니다. 각 학생은 가로축이 시간, 세로축이 거리인 그래프 위의 한 점으로 나타나 있어요. 평균 속력이 가장 큰 학생을 찾으세요.

주어진 것: 가로축은 시간, 세로축은 거리이다; 각 학생은 한 점 $(t, d)$ 이고, $t$ 는 뛴 시간, $d$ 는 뛴 거리이다; 점의 대략적인 좌표: Evelyn $(1.25, 4.5)$, Briana $(2.5, 2.2)$, Carla $(4.25, 5.2)$, Debra $(5.6, 2.8)$, Angela $(6.8, 1.4)$; 선택지: (A) Angela, (B) Briana, (C) Carla, (D) Debra, (E) Evelyn

구하는 것: 평균 속력이 가장 큰 학생

이해

계획

주요 도구: #1 그림 그리기

보조 도구: #3 가능성 지우기

문제가 이미 그래프를 줬으니, 도구 #1(그림 그리기)은 "그래프에 한 줄 더 그어 활용하기" 입니다. 원점에서 각 점으로 선을 긋고 어느 선이 더 가파른지 비교해 보세요. 더 가파른 선 $=$ 같은 시간에 더 많이 간 거리 $=$ 더 큰 평균 속력. 다섯 후보를 가파른 정도로 줄 세우고 나면 객관식이니 도구 #3(가능성 지우기)으로 1등을 제외한 나머지를 모두 지울 수 있어요.

실행 — 정답: E

#1 그림 그리기 6.RP.A.3 단계 1

평균 속력을 그래프에서 "보이는" 양으로 바꿉니다.
각 점 $(t, d)$ 는 한 학생의 총 시간과 총 거리이므로 평균 속력은 $\dfrac{d}{t}$.
이 비는 원점 $(0,0)$ 에서 점까지 그은 선의 "세로 변화 $\div$ 가로 변화," 즉 기울기와 같습니다.
비가 클수록 선이 더 가파릅니다.

$$\text{평균 속력} = \dfrac{d}{t} = \text{원점에서 }(t,d)\text{ 까지의 선의 기울기}$$

💡 6학년에서는 비 $d : t$ 를 "단위 시간당 거리" 라는 단위비로 읽습니다. 그래프에서 그 단위비는 선이 얼마나 가파르게 올라가는지로 드러나요.

#1 그림 그리기 6.RP.A.2 단계 2

각 점의 좌표에서 $\dfrac{d}{t}$ 를 계산합니다.
숫자는 정확하지 않아도 됩니다 — 순위만 정하면 충분해요.

$$\begin{array}{l|c|c|c} \text{학생} & t & d & d/t \\\hline \text{Evelyn} & 1.25 & 4.5 & 3.6 \\ \text{Briana} & 2.5 & 2.2 & 0.88 \\ \text{Carla} & 4.25 & 5.2 & \approx 1.22 \\ \text{Debra} & 5.6 & 2.8 & 0.5 \\ \text{Angela} & 6.8 & 1.4 & \approx 0.21 \end{array}$$

💡 6학년 단위비: 거리를 시간으로 나누면 "시간 1단위당 얼마만큼의 거리" 가 나옵니다. 이 단위비가 가장 큰 학생이 가장 빠른 학생.

#3 가능성 지우기 6.RP.A.3 단계 3

순위로 가능성을 지웁니다.
Evelyn 의 비 $3.6$ 은 표 안 다른 모든 비보다 큽니다.
따라서 원점에서 Evelyn 의 점까지 그은 선이 가장 가파르고, Evelyn 의 평균 속력이 가장 큽니다.
나머지 선택지는 모두 Evelyn 에게 집니다.

$$3.6 > 1.22 > 0.88 > 0.5 > 0.21 \;\Rightarrow\; \text{Evelyn} > \text{Carla} > \text{Briana} > \text{Debra} > \text{Angela}$$

💡 객관식 문제는 한 후보가 다른 모두를 이기는 순간 나머지가 전부 지워집니다.

#3 가능성 지우기 6.RP.A.3 단계 4

답을 적습니다.
평균 속력이 가장 큰 학생은 Evelyn 입니다.

$$\textbf{(E)}\;\text{Evelyn}$$

💡 단위비가 가장 큰 사람이 우승자.

[1] #1 6.RP.A.3 평균 속력을 그래프에서 "보이는" 양으로 바꿉니다. 각 점 $(t, d)$ 는 한 학생의 총 시간과 총 거리이므로 평균 속력은 $\dfrac{d

[2] #1 6.RP.A.2 각 점의 좌표에서 $\dfrac{d}{t}$ 를 계산합니다. 숫자는 정확하지 않아도 됩니다 — 순위만 정하면 충분해요.

[3] #3 6.RP.A.3 순위로 가능성을 지웁니다. Evelyn 의 비 $3.6$ 은 표 안 다른 모든 비보다 큽니다. 따라서 원점에서 Evelyn 의 점까지 그은 선이

[4] #3 6.RP.A.3 답을 적습니다. 평균 속력이 가장 큰 학생은 Evelyn 입니다.

검토

합리성 확인: 그래프로 빠르게 확인해 봅시다. Evelyn 의 점은 세로축 가까이(작은 시간)에 있으면서도 높은 위치(큰 거리)에 있습니다. 다른 점들은 모두 더 낮거나, 더 오른쪽이거나, 둘 다이므로 원점에서 Evelyn 까지의 선이 누구의 선보다도 가파르게 올라갑니다. 수치도 일치합니다 — Evelyn 의 $\dfrac{d}{t} \approx 3.6$ 은 두 번째로 가파른 Carla 의 $\approx 1.22$ 의 약 세 배. 그래프가 보여주는 순위와 수치 순위가 같으므로 답 (E) 가 맞습니다.

대안 접근: 도구 #16(관점 바꾸기): $\dfrac{d}{t}$ 를 비교하는 대신 "가장 짧은 시간 안에 가장 먼 거리를 간 사람" 을 묻습니다. Evelyn 은 거리에서 두 번째로 크고($4.5$) 시간에서 가장 작습니다($1.25$). 그래서 다른 누구와 비교해도 두 측정값 중 적어도 하나에서는 Evelyn 이 이깁니다. Evelyn 보다 거리가 더 크면서 동시에 시간이 더 짧은 학생은 없으니, Evelyn 보다 빠를 수 있는 사람이 없다는 결론 — 역시 (E).

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

6.RP.A.2 비와 연관된 단위비의 개념 이해하기 (각 점 $(t, d)$ 를 비 $d : t$ 로 읽고, 단위비 $d/t$ 를 학생의 평균 속력으로 계산하는 데 사용.)
6.RP.A.3 비와 비율 추론을 이용해 실생활 및 수학 문제 해결하기 (다섯 명의 단위비를 비교해 평균 속력 순위를 매기고 가장 큰 학생을 고르는 데 사용.)

⭐ 거리 $\div$ 시간 — 점 하나하나에 숨어 있는 이 비율이 곧 속력이에요. 거리-시간 그래프에서는 그 비율이 원점에서 점까지의 선이 얼마나 가파르게 올라가는지로 보입니다. 가장 가파른 선의 주인공이 가장 빠른 학생.

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: E

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

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