AMC 8 · 2005 · #19
학년 8 geometry-2d문제
What is the perimeter of trapezoid ABCD?
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AMC 8 2005 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.
도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: 사다리꼴 $ABCD$ 의 왼쪽 빗변 $AB = 30$, 윗변 $BC = 50$, 오른쪽 빗변 $CD = 25$, 그리고 $B$ 에서 아랫변 $AD$ 로 내린 높이가 $24$ 입니다. 사다리꼴 $ABCD$ 의 둘레를 구하세요.
주어진 것: $AB = 30$ (왼쪽 빗변); $BC = 50$ (윗변, $AD$ 와 평행); $CD = 25$ (오른쪽 빗변); 사다리꼴의 높이 $= 24$; 선택지: (A) $180$, (B) $188$, (C) $196$, (D) $200$, (E) $204$
구하는 것: 사다리꼴 $ABCD$ 의 둘레 $AB + BC + CD + DA$; 특히, 길이가 주어지지 않은 아랫변 $AD$
이해
문제 재정리: 사다리꼴 $ABCD$ 의 왼쪽 빗변 $AB = 30$, 윗변 $BC = 50$, 오른쪽 빗변 $CD = 25$, 그리고 $B$ 에서 아랫변 $AD$ 로 내린 높이가 $24$ 입니다. 사다리꼴 $ABCD$ 의 둘레를 구하세요.
주어진 것: $AB = 30$ (왼쪽 빗변); $BC = 50$ (윗변, $AD$ 와 평행); $CD = 25$ (오른쪽 빗변); 사다리꼴의 높이 $= 24$; 선택지: (A) $180$, (B) $188$, (C) $196$, (D) $200$, (E) $204$
계획
주요 도구: #1 그림 그리기
네 변 중 세 변은 주어졌고, 빠진 건 아랫변 $AD$ 뿐입니다. 도구 #1(그림 그리기)의 핵심은 "적절한 보조선을 그어 도형이 스스로 답을 보여주게 하는 것". $B$ 와 $C$ 에서 $AD$ 로 수선을 내리면 사다리꼴이 가운데 직사각형 하나와 양옆 직각삼각형 두 개로 갈라집니다. 가운데 직사각형의 가로는 윗변 $BC = 50$ 과 같고, 양옆 두 삼각형은 한 변이 높이 $24$, 빗변이 각각 $30$, $25$ 인 직각삼각형이에요. 피타고라스 정리로 두 발 길이를 구하면 끝 — 그것도 유명한 $3$-$4$-$5$, $7$-$24$-$25$ 세트라서 계산이 거의 즉시 됩니다.
실행 — 정답: A
4.G.A.1 단계 1 - 보조선을 긋습니다.
- $B$ 에서 $AD$ 로 수선을 내려 발을 $E$ 라 하고, $C$ 에서 $AD$ 로 수선을 내려 발을 $F$ 라 합시다.
- 그러면 사다리꼴은 왼쪽 직각삼각형 $ABE$, 가운데 직사각형 $BCFE$, 오른쪽 직각삼각형 $CFD$ 로 갈라집니다.
- 두 수선은 사다리꼴의 높이이므로 $BE = CF = 24$ 이고, 직사각형이므로 $EF = BC = 50$.
💡 수직 보조선을 그어 어려운 사각형을 익숙한 도형들로 쪼개는 건 4학년 "평면도형에서 수직선·평행선 알아보기" 그대로의 작전입니다.
8.G.B.7 단계 2 - 왼쪽 직각삼각형에서 $AE$ 를 구합니다.
- 삼각형 $ABE$ 는 빗변 $AB = 30$, 한 변 $BE = 24$.
- 피타고라스 정리에서 $AE^2 = 30^2 - 24^2 = 900 - 576 = 324$, 따라서 $AE = 18$.
- (다른 방법: $30 = 6 \times 5$, $24 = 6 \times 4$ 이므로 $3$-$4$-$5$ 세트의 $6$ 배 — 곧바로 $AE = 6 \times 3 = 18$.)
💡 그림이 두 변을 아는 직각삼각형을 만들어 주면, 나머지 한 변은 8학년 피타고라스 정리가 곧장 알려 줍니다. $3$-$4$-$5$ 세트를 알아보면 계산이 한순간이에요.
8.G.B.7 단계 3 - 오른쪽 직각삼각형에서 $FD$ 를 구합니다.
- 삼각형 $CFD$ 는 빗변 $CD = 25$, 한 변 $CF = 24$.
- 피타고라스 정리에서 $FD^2 = 25^2 - 24^2 = 625 - 576 = 49$, 따라서 $FD = 7$.
- 이것은 잘 알려진 $7$-$24$-$25$ 세트입니다.
💡 같은 8학년 정리를 두 번째 삼각형에 적용. $7$-$24$-$25$ 를 알아보는 건 기하 버전의 $3$-$4$-$5$ 패턴 인식이에요.
3.MD.D.8 단계 4 - 아랫변을 조립하고 네 변을 더합니다.
- 아랫변은 $AD = AE + EF + FD = 18 + 50 + 7 = 75$.
- 둘레는 네 변의 합입니다.
💡 모든 변의 길이가 정해지면, 둘레의 정의(변의 길이의 합)대로 더하기만 하면 끝납니다 — 3학년 둘레 개념 그대로.
4.G.A.1 보조선을 긋습니다. $B$ 에서 $AD$ 로 수선을 내려 발을 $E$ 라 하고, $C$ 에서 $AD$ 로 수선을 내려 발을 $F$ 라 합시다. 8.G.B.7 왼쪽 직각삼각형에서 $AE$ 를 구합니다. 삼각형 $ABE$ 는 빗변 $AB = 30$, 한 변 $BE = 24$. 피타고라스 정리에서 $AE^ 8.G.B.7 오른쪽 직각삼각형에서 $FD$ 를 구합니다. 삼각형 $CFD$ 는 빗변 $CD = 25$, 한 변 $CF = 24$. 피타고라스 정리에서 $FD 3.MD.D.8 아랫변을 조립하고 네 변을 더합니다. 아랫변은 $AD = AE + EF + FD = 18 + 50 + 7 = 75$. 둘레는 네 변의 합입니다. 검토
합리성 확인: 빠르게 점검해 봅시다. 그림에서 빗변 두 개가 바깥쪽으로 벌어져 있으므로 아랫변 $AD = 75$ 가 윗변 $BC = 50$ 보다 길어야 하는데, 실제로 $75 > 50$ 입니다. 양옆으로 튀어나온 두 발의 합은 $18 + 7 = 25$ 이고 이는 $75 - 50$ 과 정확히 같으니, 식과 그림이 서로 어긋나지 않습니다. 두 직각삼각형 모두 표준 피타고라스 세트($3$-$4$-$5$ 의 $6$ 배, 그리고 $7$-$24$-$25$)라서 무리수가 한 번도 등장하지 않는데, 이는 AMC 8 의 정답 모양과 잘 어울려요. 마지막으로 $30 + 50 + 25 + 75 = 180$ 으로 (A) 가 맞고, 다음 후보 (B) $188$ 은 $AD = 83$ 을 요구해 두 피타고라스 결과 모두와 어긋납니다.
대안 접근: 도구 #9(쉬운 경우로 바꿔 풀기): 두 빗변을 각각 "높이 $24$ 와 어떤 수평 튀어나옴을 다리로 갖는 직각삼각형의 빗변" 으로만 보고, 튀어나옴 길이만 따로 구합시다. 왼쪽은 $x^2 + 24^2 = 30^2$ 에서 $x = 18$, 오른쪽은 $y^2 + 24^2 = 25^2$ 에서 $y = 7$. 윗변을 더해 $AD = 18 + 50 + 7 = 75$ 이고 둘레는 $30 + 50 + 25 + 75 = 180$. 사다리꼴을 두 개의 독립된 직각삼각형 문제로 쪼개도 답 (A) 가 똑같이 나옵니다.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)
3.MD.D.8다각형의 둘레를 이용한 실생활 및 수학 문제 해결 (사다리꼴의 네 변 $30 + 50 + 25 + 75 = 180$ 을 더해 둘레를 구하는 데 사용.)4.G.A.1점, 직선, 선분, 반직선, 각, 그리고 수직선·평행선 그리기 ($B$ 와 $C$ 에서 아랫변 $AD$ 로 수직 보조선을 그어 사다리꼴을 직사각형과 두 직각삼각형으로 쪼개는 데 사용.)8.G.B.7직각삼각형의 미지 변의 길이를 구하는 데 피타고라스 정리를 적용하기 (빗변과 높이로부터 양옆 수평 발의 길이 $AE = \sqrt{30^2 - 24^2} = 18$, $FD = \sqrt{25^2 - 24^2} = 7$ 을 계산하는 데 사용.)
⭐ 수선 두 개만 그으면 사다리꼴이 직사각형 하나와 직각삼각형 두 개로 갈라져요. $3$-$4$-$5$ 와 $7$-$24$-$25$ 세트가 빠진 아랫변을 곧장 알려 주고, 둘레는 네 변의 합으로 마무리됩니다.
⭐ 수선 두 개만 그으면 사다리꼴이 직사각형 하나와 직각삼각형 두 개로 갈라져요. $3$-$4$-$5$ 와 $7$-$24$-$25$ 세트가 빠진 아랫변을 곧장 알려 주고, 둘레는 네 변의 합으로 마무리됩니다.
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