AMC 8 · 2007 · #21

학년 7 probability

유형 Overlap / Complement Counting └ 세부 유형 Two-Set Inclusion-Exclusion: Solve for Missing Region

probability-basiccombinations-basiccomplementary-counting caseworkcomplementary-counting ↑ 선수 지식: probability-basiccombinations-basic

📏 짧은 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

Two cards are dealt from a deck of four red cards labeled $A$ , $B$ , $C$ , $D$ and four green cards labeled $A$ , $B$ , $C$ , $D$ . A winning pair is two of the same color or two of the same letter. What is the probability of drawing a winning pair?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\frac{2}{7}$

(B)

$\frac{3}{8}$

(C)

$\frac{1}{2}$

(D)

$\frac{4}{7}$

(E)

$\frac{5}{8}$

AMC 8 2007 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 카드 $8$ 장으로 이루어진 덱이 있습니다: 빨간 카드 $A, B, C, D$ 네 장과 초록 카드 $A, B, C, D$ 네 장. 이 중 두 장을 뽑을 때 "이기는 짝"은 색이 같거나 문자가 같은 두 장입니다. 이기는 짝이 나올 확률을 구하세요.

주어진 것: 빨간 카드 네 장: $A, B, C, D$; 초록 카드 네 장: $A, B, C, D$; $8$ 장 중에서 두 장을 뽑는다; 이기는 짝 $=$ 색이 같거나 문자가 같은 두 장; 선택지: (A) $\tfrac{2}{7}$, (B) $\tfrac{3}{8}$, (C) $\tfrac{1}{2}$, (D) $\tfrac{4}{7}$, (E) $\tfrac{5}{8}$

구하는 것: 두 장이 이기는 짝이 될 확률

이해

계획

주요 도구: #13 체계적으로 세기

보조 도구: #7 더 작은 문제로 나누기

작은 덱에서의 확률은 7학년의 "유리한 경우의 수 $\div$ 전체 경우의 수" 문제로 풀 수 있어요. 도구 #13(체계적으로 세기)이 잘 맞는데, 첫 카드 하나를 고정하고 남은 $7$ 장 중에 그 카드와 "짝이 되는" 카드가 몇 장인지 세면 되거든요. 대칭성 때문에 어떤 카드를 첫 카드로 고르든 결과가 같습니다. 확인용으로 도구 #7(더 작은 문제로 나누기)을 써서 이기는 사건을 "문자가 같음"과 "색이 같음" 두 경우로 분리한 뒤 각 확률을 더해 봅니다.

실행 — 정답: D

#13 체계적으로 세기 7.SP.C.7 단계 1

첫 카드를 기준점으로 삼습니다.
어떤 카드가 첫 카드로 뽑히든, 덱에는 $7$ 장이 남아 있고 그중 어느 한 장이 두 번째 카드가 될 확률은 모두 같습니다.
따라서 확률은 (이기는 두 번째 카드 수) $\div\, 7$.

$$P(\text{이기는 짝}) = \dfrac{\text{이기는 두 번째 카드 수}}{7}$$

💡 7학년 균등 확률 모형: 남은 $7$ 장이 모두 같은 확률이므로, 좋은 카드만 세면 됩니다.

#13 체계적으로 세기 7.SP.C.8 단계 2

색이 같은 두 번째 카드를 셉니다.
예를 들어 첫 카드가 빨간 $A$ 라면, 다른 빨간 카드 — 빨간 $B$, 빨간 $C$, 빨간 $D$ — 가 같은 색입니다.
즉 $3$ 장.

$$\#\{\text{같은 색}\} = 3$$

💡 각 색에 카드가 $4$ 장 있으므로 첫 카드를 빼면 같은 색은 $3$ 장 남습니다.

#13 체계적으로 세기 7.SP.C.8 단계 3

문자가 같은 두 번째 카드를 셉니다.
문자 $A$ 를 가진 다른 카드는 초록 $A$ 한 장뿐입니다.
그리고 이 카드는 위에서 센 "같은 색" 카드들과 겹치지 않습니다.

$$\#\{\text{같은 문자}\} = 1$$

💡 각 문자는 정확히 $2$ 장(빨간 한 장, 초록 한 장)이므로 첫 카드를 빼면 같은 문자는 $1$ 장 남습니다.

#7 더 작은 문제로 나누기 7.SP.C.8 단계 4

겹치지 않는 두 개수를 더해 $7$ 로 나눕니다.
색이 같은 카드와 문자가 같은 카드는 서로 다른 카드입니다(둘 다 만족하면 첫 카드 자신이 되어 모순).
그래서 이기는 총 카드 수는 $3 + 1 = 4$.

$$P(\text{이기는 짝}) = \dfrac{3 + 1}{7} = \dfrac{4}{7} \;\Rightarrow\; \textbf{(D)}$$

💡 7학년 "복합 사건의 확률"을 유리한 결과를 직접 나열해 구하는 방식 — 여기서는 이기는 두 번째 카드 $4$ 장.

[1] #13 7.SP.C.7 첫 카드를 기준점으로 삼습니다. 어떤 카드가 첫 카드로 뽑히든, 덱에는 $7$ 장이 남아 있고 그중 어느 한 장이 두 번째 카드가 될 확률은 모

[2] #13 7.SP.C.8 색이 같은 두 번째 카드를 셉니다. 예를 들어 첫 카드가 빨간 $A$ 라면, 다른 빨간 카드 — 빨간 $B$, 빨간 $C$, 빨간 $D$ — 가

[3] #13 7.SP.C.8 문자가 같은 두 번째 카드를 셉니다. 문자 $A$ 를 가진 다른 카드는 초록 $A$ 한 장뿐입니다. 그리고 이 카드는 위에서 센 "같은 색" 카

[4] #7 7.SP.C.8 겹치지 않는 두 개수를 더해 $7$ 로 나눕니다. 색이 같은 카드와 문자가 같은 카드는 서로 다른 카드입니다(둘 다 만족하면 첫 카드 자신이 되

검토

합리성 확인: 순서를 따지지 않는 짝의 수로 다시 확인해 봅시다. 전체 짝의 수: $\binom{8}{2} = 28$. 같은 색 짝: $\binom{4}{2} + \binom{4}{2} = 6 + 6 = 12$. 같은 문자 짝: 문자마다 한 쌍씩, $4$ 개 문자 $\Rightarrow 4$. 두 집합은 겹치지 않으므로(서로 다른 두 카드가 색과 문자를 동시에 같이 가질 수는 없음) 이기는 짝 $= 12 + 4 = 16$. 확률 $= \dfrac{16}{28} = \dfrac{4}{7}$ 로 (D) 와 일치합니다. 또 $\tfrac{4}{7} \approx 0.57$ 로 절반보다 살짝 크다는 점도 자연스럽습니다. 어떤 카드를 뽑아도 짝 후보가 이미 $7$ 장 중 $4$ 장이니까요.

대안 접근: 도구 #11(변하지 않는 것 찾기): 첫 카드를 무엇으로 뽑든 짝이 되는 카드 수는 항상 $3 + 1 = 4$ 로 일정합니다. 이 개수가 첫 카드와 무관하다는 것 자체가 답을 보장하므로, 별도의 경우 나눔 없이 $\dfrac{4}{7}$ 가 바로 나옵니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)

7.SP.C.7 확률 모형을 세우고 그것을 이용해 사건의 확률 구하기 (두 번째 카드를 남은 $7$ 장 중에서 균등하게 뽑힌다고 모형화하여 확률 $=$ (유리한 카드 수) $\div\, 7$ 로 설정.)
7.SP.C.8 조직화된 목록·표·나무 그림·시뮬레이션으로 복합 사건의 확률 구하기 (유리한 두 번째 카드를 "같은 색" $3$ 장과 "같은 문자" $1$ 장으로 나열하고, 겹치지 않는 두 개수를 더해 $4$ 를 얻는 데 사용.)

⭐ 첫 카드를 기준 삼고 남은 $7$ 장 중 짝을 세 보면 — 같은 색 $3$ 장 + 같은 문자 $1$ 장 = 총 $4$ 장. 답은 $\tfrac{4}{7}$.

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: D

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)

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