AMC 8 · 2006 · #14

학년 6 rate-ratio

유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Weighted Group Aggregation

ratemulti-digit-arithmeticformula-substitution identify-subproblems ↑ 선수 지식: ratemulti-digit-arithmetic

📏 짧은 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

Problems 14, 15 and 16 involve Mrs. Reed's English assignment.

A Novel Assignment

The students in Mrs. Reed's English class are reading the same $760$ -page novel. Three friends, Alice, Bob and Chandra, are in the class. Alice reads a page in 20 seconds, Bob reads a page in $45$ seconds and Chandra reads a page in $30$ seconds.

If Bob and Chandra both read the whole book, Bob will spend how many more seconds reading than Chandra?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

7,600

(B)

11,400

(C)

12,500

(D)

15,200

(E)

22,800

AMC 8 2006 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: $760$ 쪽짜리 소설을 밥(Bob)과 챈드라(Chandra)가 각각 처음부터 끝까지 읽습니다. 밥은 한 쪽에 $45$ 초, 챈드라는 한 쪽에 $30$ 초가 걸립니다. 밥이 챈드라보다 책을 읽는 데 몇 초를 더 쓰는지 구하세요.

주어진 것: 책은 $760$ 쪽이다; 밥(Bob)은 한 쪽을 $45$ 초에 읽는다; 챈드라(Chandra)는 한 쪽을 $30$ 초에 읽는다; 선택지: (A) $7{,}600$, (B) $11{,}400$, (C) $12{,}500$, (D) $15{,}200$, (E) $22{,}800$

구하는 것: 밥의 총 독서 시간에서 챈드라의 총 독서 시간을 뺀 값 (초)

이해

계획

주요 도구: #8 단위 살펴보기

보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기

전형적인 비율 문제이므로 도구 #8(단위 살펴보기)이 출발점입니다. 쪽수 $\times$ (초 $/$ 쪽) 에서 "쪽" 단위가 약분되어 "초" 만 남고, 이는 문제에서 묻는 단위와 정확히 일치합니다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기) 로는 "밥의 총 시간" 과 "챈드라의 총 시간" 이라는 두 부분문제로 나누고, 그 차이를 구하면 끝입니다. 두 곱셈이 $760$ 이라는 공통 인수를 갖는다는 점은 분배법칙 $760 \cdot 45 - 760 \cdot 30 = 760(45-30)$ 으로 자연스럽게 정리되므로 별도의 대수 도구가 필요 없습니다.

실행 — 정답: B

#8 단위 살펴보기 6.RP.A.3 단계 1

단위를 추적해서 각자의 총 시간 식을 세웁니다.
"쪽" $\times$ "쪽당 초" 를 곱하면 "쪽" 단위가 약분되고 "초" 만 남아 문제가 묻는 단위와 같아집니다.

$$\text{총 초} \;=\; \text{쪽수} \times \dfrac{\text{초}}{\text{쪽}}$$

💡 6학년 단위 비율 사고: "쪽" 단위가 사라지고 "초" 만 남으므로 식의 단위가 묻는 단위와 일치합니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 5.NBT.B.5 단계 2

전체 문제를 두 개의 작은 문제로 쪼갭니다.
작은 문제 1: 밥의 총 시간은 얼마인가?
작은 문제 2: 챈드라의 총 시간은 얼마인가?
최종 답은 "1 - 2" 입니다.

$$\text{밥의 시간} = 760 \times 45,\quad \text{챈드라의 시간} = 760 \times 30$$

💡 두 작은 문제를 따로 적어 두면 공통 인수 $760$ 이 한눈에 드러나고, 다음 단계에서 이걸 그대로 활용하게 됩니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 5.OA.A.1 단계 3

두 시간을 뺍니다.
두 곱셈이 $760$ 을 공통으로 가지므로 분배법칙으로 묶어 빼면 됩니다.
큰 두 곱셈을 따로 계산할 필요가 없어집니다.

$$760 \times 45 - 760 \times 30 \;=\; 760 \times (45 - 30) \;=\; 760 \times 15$$

💡 분배법칙은 $a \cdot c - b \cdot c = (a - b) \cdot c$ 형태로, 공통 인수를 묶으면 곱셈 두 번이 한 번으로 줄어듭니다.

#8 단위 살펴보기 5.NBT.B.5 단계 4

산수를 마무리합니다.
$760 \times 15 = 760 \times 10 + 760 \times 5 = 7600 + 3800 = 11{,}400$.
선택지와 맞춰 보면 (B) 입니다.

$$760 \times 15 \;=\; 7600 + 3800 \;=\; 11{,}400 \;\Rightarrow\; \textbf{(B)}$$

💡 $15 = 10 + 5$ 로 쪼개 곱하는 것은 5학년 "부분 곱셈" 전략으로, 암산하기에 편합니다.

[1] #8 6.RP.A.3 단위를 추적해서 각자의 총 시간 식을 세웁니다. "쪽" $\times$ "쪽당 초" 를 곱하면 "쪽" 단위가 약분되고 "초" 만 남아 문제가 묻

[2] #7 5.NBT.B.5 전체 문제를 두 개의 작은 문제로 쪼갭니다. 작은 문제 1: 밥의 총 시간은 얼마인가? 작은 문제 2: 챈드라의 총 시간은 얼마인가? 최종 답은

[3] #7 5.OA.A.1 두 시간을 뺍니다. 두 곱셈이 $760$ 을 공통으로 가지므로 분배법칙으로 묶어 빼면 됩니다. 큰 두 곱셈을 따로 계산할 필요가 없어집니다.

[4] #8 5.NBT.B.5 산수를 마무리합니다. $760 \times 15 = 760 \times 10 + 760 \times 5 = 7600 + 3800 = 11{,}4

검토

합리성 확인: 크기 감을 확인해 봅시다. 밥이 한 쪽마다 $15$ 초 늦으니, $760$ 쪽이면 총 차이는 대략 $760 \times 15 \approx 11{,}000$ 초가 되어야 합니다. 정확한 값 $11{,}400$ 과 잘 맞습니다. 밥의 총 시간은 $760 \times 45 = 34{,}200$ 초, 챈드라의 총 시간은 $760 \times 30 = 22{,}800$ 초이고 그 차는 $34{,}200 - 22{,}800 = 11{,}400$ 초로, 묶어서 계산한 결과와 일치합니다. 단위도 문제가 요구한 "초" 그대로입니다.

대안 접근: 도구 #13(대수로 바꾸기): 쪽수를 $p = 760$, 쪽당 속도를 각각 $b = 45$, $c = 30$ 이라 하면 구하는 차는 $pb - pc = p(b - c) = 760(45 - 30) = 760 \cdot 15 = 11{,}400$. 대수로 쓰면 공통 인수 구조가 한 줄로 드러나지만, 위의 산술 풀이도 문자 없이 같은 곳에 도착합니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

6.RP.A.3 비와 비율 추론으로 실생활 및 수학 문제 해결하기 ("쪽당 $45$ 초", "쪽당 $30$ 초" 를 단위 비율로 읽고 $760$ 쪽을 곱해 각자의 총 시간을 초 단위로 구하는 데 사용.)
5.NBT.B.5 표준 알고리즘으로 여러 자릿수 자연수 곱셈 능숙하게 수행하기 ($15$ 를 $10 + 5$ 로 쪼개 $760 \times 15 = 7600 + 3800 = 11{,}400$ 을 계산하는 데 사용.)
5.OA.A.1 괄호 등을 사용해 수식을 쓰고 계산하기 ($760 \times 45 - 760 \times 30$ 을 분배법칙으로 $760 \times (45 - 30)$ 으로 다시 쓰고 괄호 안 뺄셈을 먼저 처리하는 데 사용.)

⭐ 두 곱셈이 $760$ 같은 공통 인수를 가지면 먼저 묶어 내세요: $760 \times 45 - 760 \times 30 = 760 \times 15$. 어려워 보이던 뺄셈이 곱셈 한 번으로 끝납니다.

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: B

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

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