AMC 8 · 2007 · #22

학년 6 geometry-2d

유형 Pair-Sum Invariant └ 세부 유형 Rectilinear Perimeter Closure

coordinate-geometryspatial-visualizationpattern-recognition identify-subproblemspattern-recognition ↑ 선수 지식: coordinate-geometry

📏 짧은 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

A lemming sits at a corner of a square with side length $10$ meters. The lemming runs $6.2$ meters along a diagonal toward the opposite corner. It stops, makes a $90^{\circ}$ right turn and runs $2$ more meters. A scientist measures the shortest distance between the lemming and each side of the square. What is the average of these four distances in meters?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

4.5

(C)

(D)

6.2

(E)

AMC 8 2007 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 한 변의 길이가 $10$ 미터인 정사각형의 한 꼭짓점에서 레밍이 출발합니다. 대각선 방향으로 $6.2$ 미터를 달린 뒤 오른쪽으로 $90^{\circ}$ 꺾어서 $2$ 미터를 더 달립니다. 도착한 지점에서 정사각형의 네 변까지 잰 수직 거리 네 개의 평균은 얼마인가요?

주어진 것: 정사각형의 한 변의 길이는 $10$ 미터; 레밍은 대각선 방향으로 $6.2$ 미터를 간 뒤 오른쪽으로 $90^{\circ}$ 꺾어 $2$ 미터를 더 간다; 어떤 점에서 변까지의 최단 거리는 그 변에 내린 수선의 길이; 선택지: (A) $2$, (B) $4.5$, (C) $5$, (D) $6.2$, (E) $7$

구하는 것: 레밍의 최종 위치에서 정사각형의 네 변까지 수직 거리 네 개의 평균

이해

계획

주요 도구: #11 변하지 않는 것 찾기

보조 도구: #1 그림 그리기, #4 변수 도입하기

경로 정보($6.2$ 미터 → $90^{\circ}$ 회전 → $2$ 미터)는 사실 함정이에요. 한 변이 $10$ 인 정사각형 안 어떤 점에서든 마주 보는 두 변까지의 거리의 합은 항상 $10$ 입니다 — 이게 불변량(invariant)이죠. 도구 #11(변하지 않는 것 찾기)이 바로 이 신호를 잡아 줍니다. 도구 #1(그림 그리기)로 최종 위치에서 네 변에 수선을 내리면 구조가 한눈에 보이고, 도구 #4(변수 도입하기)로 그 점을 $(x, y)$ 라 두면 식에서 $x, y$ 가 자연스럽게 소거됩니다.

실행 — 정답: C

#1 그림 그리기 6.G.A.3 단계 1

좌표를 잡고 그림을 그립니다.
출발 꼭짓점을 원점에 두고 정사각형의 네 꼭짓점을 $(0,0)$, $(10,0)$, $(10,10)$, $(0,10)$ 으로 둡니다.
레밍의 최종 위치를 $(x, y)$ 라 하면 $0 < x < 10$, $0 < y < 10$.
네 변으로 수선을 내립니다.

$$\text{네 거리} = x,\ 10 - x,\ y,\ 10 - y$$

💡 좌표를 도입하면 "변까지의 최단 거리"가 단순한 뺄셈 한 번이 됩니다. 6학년 좌표 기하 그대로.

#4 변수 도입하기 6.EE.A.2 단계 2

미지 좌표에 이름을 붙입니다.
$x, y$ 의 실제 값은 필요 없어요 — 마주 보는 짝의 합만 알면 됩니다.
도구 #4 로 네 거리를 식으로 정리합니다.

$$\text{왼쪽까지} = x,\ \text{오른쪽까지} = 10 - x,\ \text{아래쪽까지} = y,\ \text{위쪽까지} = 10 - y$$

💡 마주 보는 두 변은 정확히 $10$ 떨어져 있으니, 두 거리의 합도 자동으로 $10$ 입니다.

#11 변하지 않는 것 찾기 6.EE.A.3 단계 3

불변량을 찾습니다.
네 거리를 더하면 $x$ 항끼리, $y$ 항끼리 소거되고, 합은 점의 위치와 상관없이 항상 $20$ 입니다.

$$x + (10 - x) + y + (10 - y) = 20$$

💡 $x$ 와 $-x$ 가, $y$ 와 $-y$ 가 사라지고 두 개의 $10$ 만 남아요. 경로 숫자 $6.2$ 와 $2$ 는 계산에 끼어들지 않습니다.

#11 변하지 않는 것 찾기 6.SP.B.5 단계 4

$4$ 로 나눠 평균을 구합니다.
합이 $20$ 이므로 네 거리의 평균은 $20 / 4 = 5$.

$$\text{평균} = \dfrac{20}{4} = 5 \;\Rightarrow\; \textbf{(C)}$$

💡 평균 = 합 ÷ 개수. 합이 불변량이라 답은 레밍의 최종 위치와 무관합니다.

[1] #1 6.G.A.3 좌표를 잡고 그림을 그립니다. 출발 꼭짓점을 원점에 두고 정사각형의 네 꼭짓점을 $(0,0)$, $(10,0)$, $(10,10)$, $(0,1

[2] #4 6.EE.A.2 미지 좌표에 이름을 붙입니다. $x, y$ 의 실제 값은 필요 없어요 — 마주 보는 짝의 합만 알면 됩니다. 도구 #4 로 네 거리를 식으로 정

[3] #11 6.EE.A.3 불변량을 찾습니다. 네 거리를 더하면 $x$ 항끼리, $y$ 항끼리 소거되고, 합은 점의 위치와 상관없이 항상 $20$ 입니다.

[4] #11 6.SP.B.5 $4$ 로 나눠 평균을 구합니다. 합이 $20$ 이므로 네 거리의 평균은 $20 / 4 = 5$.

검토

합리성 확인: 정사각형 안 아무 점이나 골라 확인해 봅시다. 중심 $(5, 5)$ 는 네 거리가 모두 $5$ 이므로 평균은 $5$. 점 $(2, 9)$ 는 거리가 $2, 8, 9, 1$ 이고 합이 $20$, 평균도 $5$. 레밍이 실제로 어디에 떨어지는지는 중요하지 않아요 — 내부의 모든 점이 같은 평균을 줍니다. 경로 숫자 $6.2$ 와 $2$ 는 의도된 미끼이고, 답은 (C) 와 일치합니다.

대안 접근: 도구 #1(그림 그리기)으로 짝지어 보기: 네 거리를 (왼쪽, 오른쪽)과 (아래쪽, 위쪽) 짝으로 묶습니다. 각 짝의 합은 마주 보는 변이 $10$ 만큼 떨어져 있으니 자동으로 $10$. 두 짝 합쳐 $20$, 평균은 $5$. 좌표 없이 그림만으로도 결론이 납니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

6.G.A.3 좌표평면 위에서 꼭짓점 좌표로 다각형 그리기와 변의 길이 구하기 (정사각형을 좌표평면에 올려, 내부 점에서 네 변까지의 수직 거리를 좌표식으로 단순화하는 데 사용.)
6.EE.A.2 문자가 수를 대신하는 식을 쓰고, 읽고, 계산하기 (레밍의 최종 위치를 $(x, y)$ 로 두고 네 수직 거리를 $x$, $10 - x$, $y$, $10 - y$ 로 표현하는 데 사용.)
6.EE.A.3 연산의 성질을 이용해 동치인 식 만들기 ($x + (10 - x) + y + (10 - y)$ 에서 변수 항들이 소거되어 상수 $20$ 만 남는 정리에 사용.)
6.SP.B.5 관측 개수와 중심 측도 등을 포함한 수치 자료 요약 (네 거리의 평균을 합 $20$ 을 개수 $4$ 로 나누어 구하는 데 사용.)

⭐ 한 변이 $10$ 인 정사각형 안 어디에 있든, 네 변까지 수직 거리의 합은 늘 $20$ 이고 평균은 $5$ 입니다. 경로의 $6.2$ 와 $2$ 는 풀이에 끼지 않는 미끼예요.

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: C

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

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