AMC 8 · 2006 · #22

학년 6 arithmetic

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Factor-Pair Enumeration

pattern-recognitionoptimization-countingdigit-constraintsconvert-to-algebra pattern-recognitionconvert-to-algebracasework ↑ 선수 지식: multi-digit-arithmeticpattern-recognition

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트 📊 도형

문제

Three different one-digit positive integers are placed in the bottom row of cells. Numbers in adjacent cells are added and the sum is placed in the cell above them. In the second row, continue the same process to obtain a number in the top cell. What is the difference between the largest and smallest numbers possible in the top cell?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 8 2006 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 작은 피라미드의 맨 아랫줄에 서로 다른 한 자리 양의 정수 $A$, $B$, $C$ 가 놓여 있습니다. 윗줄의 각 칸은 바로 아래 두 칸의 합이고, 그 위 꼭대기 칸도 마찬가지입니다. 가능한 모든 배치를 통틀어 꼭대기 칸이 될 수 있는 가장 큰 값과 가장 작은 값의 차를 구하세요.

주어진 것: 맨 아랫줄에는 서로 다른 한 자리 양의 정수 세 개가 들어간다 (즉 $\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$ 에서 고른다); 두 번째 줄의 각 칸은 바로 아래 두 칸의 합이다; 꼭대기 칸은 두 번째 줄 두 칸의 합이다; 선택지: (A) $16$, (B) $24$, (C) $25$, (D) $26$, (E) $35$

구하는 것: 가능한 가장 큰 꼭대기 값; 가능한 가장 작은 꼭대기 값; 그 두 값의 차

이해

계획

주요 도구: #9 더 쉬운 문제로 줄이기

보조 도구: #6 추측하고 확인하기

피라미드 규칙은 세 개의 아랫줄 수를 꼭대기 하나로 묶지만, 그 관계가 한눈에 보이지는 않습니다. 도구 #9(더 쉬운 문제로 줄이기)의 방식 그대로, 작은 구체적인 세쌍을 직접 대입해 피라미드를 끝까지 채워 보면 꼭대기 칸이 $A$, $B$, $C$ 의 식으로 어떻게 표현되는지 드러납니다. 그 한 번의 실험에서 "가운데 칸이 두 번 셈해진다" 는 사실이 보이고, 꼭대기는 $A + 2B + C$ 가 됩니다. 식이 손에 들어오면 도구 #6(추측하고 확인하기)로 아랫줄 숫자를 영리하게 고릅니다 — 최대값은 가장 큰 한 자리 수 $9$ 를 가운데에 두고 그 다음 큰 두 수 $8, 7$ 을 양 끝에, 최소값은 같은 논리로 $1, 2, 3$ 을 둡니다.

실행 — 정답: D

#9 더 쉬운 문제로 줄이기 5.OA.A.1 단계 1

구체적인 아랫줄 하나로 꼭대기가 무엇이 되는지 직접 살펴봅니다.
$A = 1$, $B = 2$, $C = 3$ 을 두고 피라미드를 위로 채웁니다.

$$\text{아랫줄: } 1, 2, 3 \;\Rightarrow\; \text{두 번째 줄: } 1+2 = 3,\; 2+3 = 5 \;\Rightarrow\; \text{꼭대기: } 3+5 = 8$$

💡 작게 시작하기. 구체적인 피라미드 한 번이면 규칙이 어떻게 작동하는지 식 없이도 보입니다.

#9 더 쉬운 문제로 줄이기 6.EE.A.3 단계 2

꼭대기를 아랫줄의 합으로 다시 읽어봅니다.
꼭대기 $8$ 은 $(A+B) + (B+C)$ 에서 나왔고, 정리하면 $A + 2B + C$ 입니다.
확인: $1 + 2 \cdot 2 + 3 = 8$.
따라서 임의의 아랫줄에 대해 $\text{꼭대기} = A + 2B + C$ 입니다.

$$\text{꼭대기} \;=\; (A+B) + (B+C) \;=\; A + 2B + C$$

💡 가운데 칸 $B$ 는 두 번째 줄 양쪽 모두에 들어가므로 두 번 셈해지고, 양 끝의 $A$, $C$ 는 한 번씩만 들어갑니다.

#6 추측하고 확인하기 6.EE.A.2 단계 3

식으로 최대값을 만듭니다.
$B$ 가 $2$ 배로 들어가니, 가장 큰 한 자리 수를 가운데에 두는 것이 가장 유리합니다.
$B = 9$, 양 끝에는 그다음 큰 두 수 $8$ 과 $7$ 을 둡니다.

$$\text{최대 꼭대기} \;=\; 8 + 2 \cdot 9 + 7 \;=\; 8 + 18 + 7 \;=\; 33$$

💡 $B = 8$, 양 끝에 $9, 7$ 로 바꿔 보면 $32$ 밖에 안 나옵니다. 가운데에 가장 큰 수가 오는 게 맞습니다.

#6 추측하고 확인하기 6.EE.A.2 단계 4

같은 논리로 최소값을 만듭니다.
가운데가 두 배가 되니, 가운데에는 가장 작은 한 자리 양의 정수를 두는 것이 가장 유리합니다.
$B = 1$, 양 끝에 $2$ 와 $3$ 을 둡니다.

$$\text{최소 꼭대기} \;=\; 2 + 2 \cdot 1 + 3 \;=\; 2 + 2 + 3 \;=\; 7$$

💡 $B = 2$, 양 끝에 $1, 3$ 으로 바꿔 보면 $1 + 4 + 3 = 8$ 로 더 커집니다. 가운데에는 가장 작은 수가 오는 게 맞습니다.

#6 추측하고 확인하기 4.NBT.B.4 단계 5

묻는 차를 구하기 위해 뺄셈을 합니다.

$$33 - 7 \;=\; 26 \;\Rightarrow\; \textbf{(D)}$$

💡 두 끝값을 알면 최대 빼기 최소는 단순한 뺄셈입니다.

[1] #9 5.OA.A.1 구체적인 아랫줄 하나로 꼭대기가 무엇이 되는지 직접 살펴봅니다. $A = 1$, $B = 2$, $C = 3$ 을 두고 피라미드를 위로 채웁니다

[2] #9 6.EE.A.3 꼭대기를 아랫줄의 합으로 다시 읽어봅니다. 꼭대기 $8$ 은 $(A+B) + (B+C)$ 에서 나왔고, 정리하면 $A + 2B + C$ 입니다.

[3] #6 6.EE.A.2 식으로 최대값을 만듭니다. $B$ 가 $2$ 배로 들어가니, 가장 큰 한 자리 수를 가운데에 두는 것이 가장 유리합니다. $B = 9$, 양 끝

[4] #6 6.EE.A.2 같은 논리로 최소값을 만듭니다. 가운데가 두 배가 되니, 가운데에는 가장 작은 한 자리 양의 정수를 두는 것이 가장 유리합니다. $B = 1$,

[5] #6 4.NBT.B.4 묻는 차를 구하기 위해 뺄셈을 합니다.

검토

합리성 확인: 두 끝값이 선택지 범위에 잘 맞는지 봅시다. 만약 중복이 허용된다면 꼭대기는 최대 $9 + 2 \cdot 9 + 9 = 36$ 까지 가능하므로 $33$ 은 충분히 가능한 값이고, 최소는 $1 + 2 \cdot 1 + 1 = 4$ 까지 가능하므로 $7$ 도 가능한 값입니다. 차 $26$ 은 답 (D) 와 일치하고, 선택지 중에서도 이 두 범위에 맞는 유일한 값입니다. 다른 배치로도 식을 다시 확인할 수 있습니다 — 아랫줄 $2, 9, 8$ 이면 두 번째 줄은 $11, 17$, 꼭대기는 $28$ 이고, 이는 $2 + 2 \cdot 9 + 8 = 28$ 과 일치합니다.

대안 접근: 도구 #13(대수로 바꾸기): 아랫줄을 $A, B, C$ 라 하고 피라미드를 식으로 직접 쌓아 올립니다. 두 번째 줄은 $A+B$ 와 $B+C$, 꼭대기는 $(A+B) + (B+C) = A + 2B + C$. $B$ 의 계수가 가장 크므로 최대값은 $B = 9$ 에 양 끝 $\{7, 8\}$ 로 $33$, 최소값은 $B = 1$ 에 양 끝 $\{2, 3\}$ 로 $7$ 이 되고 차는 $26$. 같은 답 (D). 본풀이의 "쉬운 경우 + 추측하고 확인하기" 도 결국 같은 계수 구조를 발견한 것입니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

5.OA.A.1 괄호를 사용한 수식의 작성과 계산 ($1, 2, 3 \to 3, 5 \to 8$ 처럼 작은 구체 피라미드를 직접 채워, 꼭대기가 아랫줄에서 어떻게 만들어지는지 알아내는 데 사용.)
6.EE.A.3 연산의 성질을 이용해 동치인 식 만들기 ($(A+B) + (B+C)$ 를 $A + 2B + C$ 로 묶어, 가운데 칸의 역할이 한눈에 보이게 하는 데 사용.)
6.EE.A.2 문자가 수를 대신하는 식을 쓰고, 읽고, 계산하기 (선택한 숫자를 $A + 2B + C$ 에 대입해 최대 꼭대기 $33$ 과 최소 꼭대기 $7$ 을 계산하는 데 사용.)
4.NBT.B.4 여러 자리 수의 덧셈과 뺄셈을 표준 알고리즘으로 정확히 계산하기 (최댓값에서 최솟값을 빼 $33 - 7 = 26$ 을 구하는 데 사용.)

⭐ 작은 피라미드 하나만 손으로 채워 봐도 규칙이 보입니다 — 꼭대기는 $A + 2B + C$ 이고, 가운데 자리가 두 번 셈해져요. 최대값은 가운데에 $9$, 최소값은 가운데에 $1$, 그래서 차는 $33 - 7 = 26$ 입니다.

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: D

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

비슷한 유형 더 풀어보기