AMC 8 · 2006 · #23

학년 6 number-theory

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Answer-Choice Plug-In

modular-arithmeticlcmdivisibility-rulessystematic-enumeration systematic-enumerationpattern-recognition ↑ 선수 지식: modular-arithmeticlcmdivisibility-rules

📏 짧은 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

A box contains gold coins. If the coins are equally divided among six people, four coins are left over. If the coins are equally divided among five people, three coins are left over. If the box holds the smallest number of coins that meets these two conditions, how many coins are left when equally divided among seven people?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 8 2006 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: $6$ 으로 나누면 나머지 $4$, $5$ 로 나누면 나머지 $3$ 인 가장 작은 양의 정수 $N$ 을 구한 뒤, 그 $N$ 을 $7$ 로 나눈 나머지를 구하세요.

주어진 것: $N$ 을 $6$ 으로 나누면 나머지는 $4$; $N$ 을 $5$ 로 나누면 나머지는 $3$; $N$ 은 두 조건을 만족하는 가장 작은 양의 정수; 선택지: (A) $0$, (B) $1$, (C) $2$, (D) $3$, (E) $5$

구하는 것: 두 나머지 조건을 만족하는 가장 작은 $N$; 그 $N$ 을 $7$ 로 나눈 나머지

이해

문제 재정리: $6$ 으로 나누면 나머지 $4$, $5$ 로 나누면 나머지 $3$ 인 가장 작은 양의 정수 $N$ 을 구한 뒤, 그 $N$ 을 $7$ 로 나눈 나머지를 구하세요.

계획

주요 도구: #2 빠짐없이 나열하기

보조 도구: #5 패턴 찾기

두 조건은 각각 깔끔한 등차수열을 정해 줍니다. 첫 조건은 "$4$ 에서 시작해 $6$ 씩 더하기", 둘째 조건은 "$3$ 에서 시작해 $5$ 씩 더하기". 그래서 도구 #2(빠짐없이 나열하기)로 두 수열을 적고 가장 먼저 만나는 수가 곧 가장 작은 $N$ 입니다. 도구 #5(패턴 찾기)는 검색을 더 짧게 만들어 줍니다 — $6$ 의 다음 배수까지 부족분이 $2$, $5$ 의 다음 배수까지 부족분도 $2$ 이므로 $N + 2$ 가 $5$ 와 $6$ 의 공배수가 되어야 합니다. 따라서 $5, 6$ 의 최소공배수 $30$ 만 알면 $N = 30 - 2 = 28$ 이 바로 나오죠. 두 도구 모두 같은 $N$ 에 도달하고, 마지막에 $7$ 로 한 번 나누면 끝입니다.

실행 — 정답: A

#2 빠짐없이 나열하기 4.OA.C.5 단계 1

첫 조건의 수열을 적습니다.
$6$ 으로 나누어 나머지가 $4$ 인 수는 $4$ 에서 시작해 $6$ 씩 늘어납니다.

$$4,\; 10,\; 16,\; 22,\; 28,\; 34,\; 40,\; \ldots$$

💡 "규칙으로 수열 만들기"는 4학년 표준 그대로 — 여기 규칙은 "$4$ 부터 +6".

#2 빠짐없이 나열하기 4.OA.C.5 단계 2

둘째 조건의 수열을 적습니다.
$5$ 로 나누어 나머지가 $3$ 인 수는 $3$ 에서 시작해 $5$ 씩 늘어납니다.

$$3,\; 8,\; 13,\; 18,\; 23,\; 28,\; 33,\; \ldots$$

💡 같은 4학년 패턴 표준, 이번 규칙은 "$3$ 부터 +5".

#2 빠짐없이 나열하기 4.OA.B.4 단계 3

두 수열에서 가장 먼저 공통으로 나오는 수를 찾습니다.
작은 쪽부터 차례로 비교하면 첫 일치는 $28$ 이므로 가장 작은 $N$ 은 $28$ 입니다.

$$\{4, 10, 16, 22, \mathbf{28}, \ldots\} \cap \{3, 8, 13, 18, 23, \mathbf{28}, \ldots\} \ni 28$$

💡 짧은 두 목록의 교집합 찾기는 두 "배수 조건"을 동시에 만족하는 가장 작은 수를 찾는 가장 깨끗한 4학년 방법.

#2 빠짐없이 나열하기 4.NBT.B.6 단계 4

$N = 28$ 을 $7$ 로 나누어 마지막 나머지를 구합니다.
$28 = 7 \times 4$ 이므로 나머지는 $0$ 입니다.

$$28 \div 7 = 4 \text{ 나머지 } 0 \;\Rightarrow\; \textbf{(A)}$$

💡 4학년 "나눗셈과 나머지" 한 줄로 마무리: $7$ 은 $28$ 을 정확히 나누므로 남는 게 없습니다.

[1] #2 4.OA.C.5 첫 조건의 수열을 적습니다. $6$ 으로 나누어 나머지가 $4$ 인 수는 $4$ 에서 시작해 $6$ 씩 늘어납니다.

[2] #2 4.OA.C.5 둘째 조건의 수열을 적습니다. $5$ 로 나누어 나머지가 $3$ 인 수는 $3$ 에서 시작해 $5$ 씩 늘어납니다.

[3] #2 4.OA.B.4 두 수열에서 가장 먼저 공통으로 나오는 수를 찾습니다. 작은 쪽부터 차례로 비교하면 첫 일치는 $28$ 이므로 가장 작은 $N$ 은 $28$ 입

[4] #2 4.NBT.B.6 $N = 28$ 을 $7$ 로 나누어 마지막 나머지를 구합니다. $28 = 7 \times 4$ 이므로 나머지는 $0$ 입니다.

검토

합리성 확인: $N = 28$ 이 원래 두 조건을 만족하는지 확인합니다. $28 = 6 \times 4 + 4$ 이므로 $6$ 으로 나눈 나머지는 $4$ — 일치. $28 = 5 \times 5 + 3$ 이므로 $5$ 로 나눈 나머지는 $3$ — 일치. 두 수열을 비교해 보면 $28$ 보다 작은 공통값은 없으니 가장 작은 값도 맞습니다. 그리고 $28 = 7 \times 4$ 라 $7$ 로 나눈 나머지는 $0$, 따라서 답 (A) 와 잘 맞습니다.

대안 접근: 도구 #5(패턴 찾기)를 쓰면 더 빠릅니다. $4$ 는 $6$ 보다 $2$ 작고, $3$ 도 $5$ 보다 $2$ 작습니다. 즉 동전이 $2$ 개만 더 있다면 그 수는 $5$ 와 $6$ 으로 모두 나누어떨어집니다. $5$ 와 $6$ 의 최소공배수는 $30$ 이므로 $N + 2 = 30$, 따라서 $N = 28$. 다시 $28 \div 7$ 의 나머지는 $0$, 답 (A).

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

4.OA.C.5 주어진 규칙에 따라 수 또는 도형의 패턴 만들기 (나머지 조건을 두 등차수열 ($4, 10, 16, \ldots$ 과 $3, 8, 13, \ldots$) 로 적어 내는 데 사용.)
4.OA.B.4 모든 인수 쌍과 배수 찾기, 소수·합성수 판별 (두 목록을 "$6$ 의 배수를 $4$ 만큼 옮긴 것", "$5$ 의 배수를 $3$ 만큼 옮긴 것" 으로 보고 첫 공통값 $28$ 을 찾는 데 사용.)
4.NBT.B.6 네 자릿수 이하의 나눗셈의 몫과 나머지 구하기 ($28 \div 7 = 4$ 나머지 $0$ 을 계산하고, 검토 단계에서 $28 \div 6$, $28 \div 5$ 도 검증.)
6.NS.B.4 두 수의 최대공약수와 최소공배수 구하기 (지름길의 핵심: $5$ 와 $6$ 의 최소공배수 $30$ 에서 $N + 2 = 30$, $N = 28$ 을 얻는 데 사용.)

⭐ 두 어색한 나머지가 동시에 등장하면, 두 등차수열이 보통 몇 항 안에 만나요 — 두 조건의 "부족분이 같다" 는 것까지 보이면 최소공배수 한 번으로 답이 나옵니다.

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: A

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

비슷한 유형 더 풀어보기