AMC 8 · 2006 · #24
학년 6 number-theory문제
In the multiplication problem below A, B, C, D are different digits. What is A+B?
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AMC 8 2006 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.
도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: 곱셈 $\overline{ABA} \times \overline{CD} = \overline{CDCD}$ 에서 $A, B, C, D$ 는 서로 다른 네 숫자입니다. $A + B$ 의 값을 구하세요.
주어진 것: $\overline{ABA}$ 는 백의 자리와 일의 자리가 모두 $A$ 인 3자리 수; $\overline{CD}$ 는 십의 자리가 $C$, 일의 자리가 $D$ 인 2자리 수; $\overline{CDCD}$ 는 자릿수가 차례로 $C, D, C, D$ 인 4자리 수; $A, B, C, D$ 는 서로 다른 네 숫자; 선택지: (A) $1$, (B) $2$, (C) $3$, (D) $4$, (E) $9$
구하는 것: $A + B$ 의 값
이해
문제 재정리: 곱셈 $\overline{ABA} \times \overline{CD} = \overline{CDCD}$ 에서 $A, B, C, D$ 는 서로 다른 네 숫자입니다. $A + B$ 의 값을 구하세요.
주어진 것: $\overline{ABA}$ 는 백의 자리와 일의 자리가 모두 $A$ 인 3자리 수; $\overline{CD}$ 는 십의 자리가 $C$, 일의 자리가 $D$ 인 2자리 수; $\overline{CDCD}$ 는 자릿수가 차례로 $C, D, C, D$ 인 4자리 수; $A, B, C, D$ 는 서로 다른 네 숫자; 선택지: (A) $1$, (B) $2$, (C) $3$, (D) $4$, (E) $9$
계획
주요 도구: #5 패턴 찾기
보조 도구: #13 대수로 바꾸기
$\overline{CDCD}$ 는 두 자리 묶음 $\overline{CD}$ 를 두 번 이어 적은 모양입니다. 도구 #5(패턴 찾기)로 이 반복이 $\overline{abab} = \overline{ab} \times 101$ 이라는 규칙임을 알아챕니다($\overline{aa} = a \times 11$ 과 같은 자릿값 패턴). 패턴을 찾았으니 도구 #13(대수로 바꾸기)으로 곱셈 식을 $\overline{ABA} \times \overline{CD} = \overline{CD} \times 101$ 한 줄로 옮기고, 양변을 $\overline{CD}$ 로 나누면 $\overline{ABA}$ 가 곧장 읽힙니다. $C, D$ 를 따로 구할 필요도 없습니다.
실행 — 정답: A
5.NBT.A.1 단계 1 - $\overline{CDCD}$ 의 반복을 알아챕니다.
- 4자리 수가 2자리 묶음 $\overline{CD}$ 를 천·백 자리와 십·일 자리에 똑같이 한 번씩 적어 둔 모양이에요.
- 자릿값으로 풀어 씁니다.
💡 2자리 묶음이 4자리 자리에 반복되면 그 묶음에 $101$ 을 곱한 것과 같다는 5학년 자릿값 아이디어입니다 — $\overline{aa} = a \cdot 11$ 과 같은 발상이죠.
6.EE.A.2 단계 2 곱셈 식을 등식으로 적고 1단계의 패턴을 대입합니다.
💡 세로식 곱셈을 한 줄의 식으로 옮기는 것은 6학년 "문자가 들어간 식 쓰기" 그대로입니다.
6.EE.B.7 단계 3 - 양변에서 공통인 $\overline{CD}$ 로 나눕니다.
- $C \neq 0$ 이므로 $\overline{CD}$ 는 $10$ 과 $99$ 사이의 0이 아닌 수라 나눠도 안전합니다.
💡 양변을 같은 0 아닌 값으로 나누는 6학년 일차 등식 풀이로, $C, D$ 를 따로 정하지 않아도 답이 나옵니다.
4.NBT.A.2 단계 4 - $\overline{ABA} = 101$ 에서 $A, B$ 를 읽어 더합니다.
- $101$ 의 자릿수는 $1, 0, 1$ 이므로 $A = 1$, $B = 0$.
- (네 숫자가 정말 서로 다를 수 있는지도 확인: $C, D$ 는 $\{2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$ 에서 서로 다른 두 수만 고르면 되고, 예를 들어 $C = 2, D = 3$ 처럼 후보가 많습니다.)
💡 3자리 수에서 각 자리 숫자를 읽는 4학년 자릿값 그대로입니다.
5.NBT.A.1 $\overline{CDCD}$ 의 반복을 알아챕니다. 4자리 수가 2자리 묶음 $\overline{CD}$ 를 천·백 자리와 십·일 자리에 똑 6.EE.A.2 곱셈 식을 등식으로 적고 1단계의 패턴을 대입합니다. 6.EE.B.7 양변에서 공통인 $\overline{CD}$ 로 나눕니다. $C \neq 0$ 이므로 $\overline{CD}$ 는 $10$ 과 $99$ 사이 4.NBT.A.2 $\overline{ABA} = 101$ 에서 $A, B$ 를 읽어 더합니다. $101$ 의 자릿수는 $1, 0, 1$ 이므로 $A = 1$, 검토
합리성 확인: 구체적인 $C, D$ 로 확인해 봅시다. $C = 2, D = 3$ 으로 두면 $\overline{CD} = 23$ 이고 $\overline{ABA} \times 23 = 101 \times 23 = 2323 = \overline{CDCD}$ 가 되어 식이 정확히 맞습니다. 사용된 숫자 $A = 1, B = 0, C = 2, D = 3$ 도 모두 다릅니다. $A + B = 1$ 이므로 (A) 와 일치합니다. $C = 5, D = 7$ 로 다시 확인해도 $101 \times 57 = 5757$ 으로 같은 패턴이 성립하고 $A + B$ 도 그대로 $1$. $C, D$ 가 무엇이든 답이 같다는 점이 이 문제를 $C, D$ 없이 풀 수 있는 이유입니다.
대안 접근: 도구 #6(추측하고 확인하기)로 선택지를 직접 시험해 봅니다. $\overline{ABA}$ 는 백·일 자리가 같은 3자리 회문수이고 $\overline{CDCD}$ 를 정확히 나눠야 합니다. 가장 작은 후보부터, $A = 1, B = 0$ 이면 $\overline{ABA} = 101$. 모든 두 자리 $\overline{CD}$ 에 대해 $101 \times \overline{CD} = \overline{CDCD}$ 가 성립하므로(자릿수가 이동하며 더해지니까) 첫 시도에 패턴이 맞아떨어지고 $A + B = 1$ 로 (A) 가 확정됩니다.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)
4.NBT.A.210진 표기법으로 여러 자리 자연수를 읽고 쓰며, 각 자리값이 오른쪽 자리값의 10배임을 인식하기 ($\overline{ABA} = 101$ 의 각 자리를 읽어 $A = 1$, $B = 0$ 으로 확정하는 데 사용.)5.NBT.A.1여러 자리 수에서 한 자리의 값이 오른쪽 자리값의 10배임을 인식하기 ($\overline{CDCD} = (10C+D) \cdot 100 + (10C+D) = (10C+D) \cdot 101$ 로 풀어 쓰는 자릿값 전개에 사용.)6.EE.A.2문자가 수를 대신하는 식을 쓰고, 읽고, 계산하기 (세로식 곱셈을 $\overline{ABA} \times \overline{CD} = \overline{CD} \cdot 101$ 한 줄의 식으로 옮기는 데 사용.)6.EE.B.7$px = q$ 형태의 식을 세우고 풀어 실생활·수학 문제 해결하기 ($\overline{ABA} \times \overline{CD} = 101 \cdot \overline{CD}$ 양변을 0이 아닌 $\overline{CD}$ 로 나눠 $\overline{ABA} = 101$ 을 얻는 데 사용.)
⭐ 자릿수 묶음이 반복되면 — $\overline{CDCD}$ 가 $\overline{CD}$ 를 두 번 쓴 모양처럼 — 항상 그 묶음에 $101$ 을 곱한 값으로 분해됩니다. 이 패턴만 알아채면 곱셈 퍼즐이 6학년 일차 등식 한 줄로 풀려요.
⭐ 자릿수 묶음이 반복되면 — $\overline{CDCD}$ 가 $\overline{CD}$ 를 두 번 쓴 모양처럼 — 항상 그 묶음에 $101$ 을 곱한 값으로 분해됩니다. 이 패턴만 알아채면 곱셈 퍼즐이 6학년 일차 등식 한 줄로 풀려요.
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