AMC 8 · 2007 · #1

학년 6 arithmetic

유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Weighted Group Aggregation

mean-median-mode-rangelinear-equations-one-varmulti-digit-arithmetic identify-subproblemsconvert-to-algebra ↑ 선수 지식: multi-digit-arithmeticmean-median-mode-range

📏 짧은 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

Theresa's parents have agreed to buy her tickets to see her favorite band if she spends an average of $10$ hours per week helping around the house for $6$ weeks. For the first $5$ weeks she helps around the house for $8$ , $11$ , $7$ , $12$ and $10$ hours. How many hours must she work for the final week to earn the tickets?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 8 2007 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 테레사는 $6$ 주 동안 주당 평균 $10$ 시간 집안일을 해야 합니다. 처음 $5$ 주에는 각각 $8, 11, 7, 12, 10$ 시간을 일했어요. 평균 $10$ 시간을 채우려면 $6$ 주 차에는 몇 시간을 일해야 할까요?

주어진 것: $6$ 주 동안 목표 평균: 주당 $10$ 시간; 처음 $5$ 주의 시간: $8, 11, 7, 12, 10$; 선택지: (A) $9$, (B) $10$, (C) $11$, (D) $12$, (E) $13$

구하는 것: $6$ 주 차에 일해야 하는 시간 $x$

이해

주어진 것: $6$ 주 동안 목표 평균: 주당 $10$ 시간; 처음 $5$ 주의 시간: $8, 11, 7, 12, 10$; 선택지: (A) $9$, (B) $10$, (C) $11$, (D) $12$, (E) $13$

계획

주요 도구: #3 방정식 세우기

보조 도구: #4 변수 도입하기

"$6$ 주 평균 $= 10$" 이라는 조건은 미지수 하나(=$6$ 주 차 시간)에 대한 식 하나입니다. 도구 #4(변수 도입하기)로 그 미지수를 $x$ 라 부르고, 도구 #3(방정식 세우기)으로 평균 규칙(합 $\div$ 개수 $=$ 평균)을 $\dfrac{48+x}{6} = 10$ 으로 옮깁니다. 가장 깔끔한 지름길은 같은 식을 "총합 $=$ 평균 $\times$ 개수 $= 60$" 으로 바꾸는 것입니다. 그러면 $x = 60 - 48$ 로 한 번에 풀립니다.

실행 — 정답: D

#4 변수 도입하기 6.EE.A.2 단계 1

미지수에 이름을 붙입니다.
테레사가 $6$ 주 차에 일하는 시간을 $x$ 라고 합시다.

$$x = 6 \text{ 주 차 시간}$$

💡 모르는 양에 문자를 붙이는 건 6학년 "변수가 들어간 식 쓰기" 그대로입니다.

#3 방정식 세우기 6.SP.B.5 단계 2

평균 조건을 "필요한 총 시간"으로 바꿉니다.
평균 $\times$ 개수 $=$ 합 이므로, $6$ 주 동안의 총합은 $10 \times 6 = 60$ 시간이 되어야 합니다.

$$\text{필요한 총합} = 10 \times 6 = 60$$

💡 6학년 평균 공식을 뒤집으면 합 $=$ 평균 $\times$ 개수. "평균 $10$"이 "총합 $60$"이라는 구체적인 수로 바뀝니다.

#3 방정식 세우기 4.NBT.B.4 단계 3

처음 $5$ 주에 이미 채운 시간을 더해 봅니다.

$$8 + 11 + 7 + 12 + 10 = 48$$

💡 이미 알고 있는 다섯 주의 시간을 그대로 더하면 됩니다.

#3 방정식 세우기 6.EE.B.7 단계 4

총합이 $60$ 이어야 하고 이미 $48$ 을 채웠으니, $6$ 주 차에 모자란 만큼을 채우면 됩니다.

$$48 + x = 60 \;\Rightarrow\; x = 60 - 48 = 12 \;\Rightarrow\; \textbf{(D)}$$

💡 한 단계 일차방정식: 양변에서 $48$ 을 빼면 끝.

[1] #4 6.EE.A.2 미지수에 이름을 붙입니다. 테레사가 $6$ 주 차에 일하는 시간을 $x$ 라고 합시다.

[2] #3 6.SP.B.5 평균 조건을 "필요한 총 시간"으로 바꿉니다. 평균 $\times$ 개수 $=$ 합 이므로, $6$ 주 동안의 총합은 $10 \times 6 =

[3] #3 4.NBT.B.4 처음 $5$ 주에 이미 채운 시간을 더해 봅니다.

[4] #3 6.EE.B.7 총합이 $60$ 이어야 하고 이미 $48$ 을 채웠으니, $6$ 주 차에 모자란 만큼을 채우면 됩니다.

검토

합리성 확인: $x = 12$ 를 다시 평균에 넣어 확인합니다: $\dfrac{8+11+7+12+10+12}{6} = \dfrac{60}{6} = 10$. 평균이 정확히 $10$ 이 되어 목표와 일치합니다. 또 $12$ 는 기존 주간 시간 범위($7$ ~ $12$) 안에 들어가는 자연스러운 값이에요. 터무니없이 큰 값이 아니라는 점도 답을 든든히 받쳐 줍니다.

대안 접근: 도구 #11(변하지 않는 것 찾기) — 평균 $10$ 으로부터의 편차를 봅니다. 처음 $5$ 주의 편차는 $-2, +1, -3, +2, 0$ 으로 합이 $-2$. 평균이 정확히 $10$ 이 되려면 편차의 총합이 $0$ 이어야 하므로 $6$ 주 차에는 $+2$ 의 편차, 즉 $10 + 2 = 12$ 시간을 일해야 합니다. 결과는 같은 (D).

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

4.NBT.B.4 여러 자리 수를 능숙하게 더하고 빼기 ($8 + 11 + 7 + 12 + 10 = 48$ 과 $60 - 48 = 12$ 를 계산하는 데 사용.)
6.EE.A.2 문자가 수를 대신하는 식을 쓰고, 읽고, 계산하기 (모르는 $6$ 주 차 시간을 문자 $x$ 로 두는 데 사용.)
6.EE.B.7 $x + p = q$ 꼴의 방정식을 세우고 풀어 실생활 문제를 해결하기 ($48 + x = 60$ 을 한 단계로 풀어 $x$ 를 구하는 데 사용.)
6.SP.B.5 관측 개수와 중심 측도 등을 포함한 수치 자료 요약 (평균 $\times$ 개수 $=$ 총합 을 이용해 "$6$ 주 평균 $10$"을 "총합 $60$"으로 바꾸는 데 사용.)

⭐ 평균 목표는 사실 총합 목표예요. 평균 $\times$ 개수로 "채워야 할 총합"을 구하고 이미 한 만큼을 빼면, 남은 게 $6$ 주 차 시간이에요.

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: D

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

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