AMC 8 · 2007 · #15

학년 6 logic

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Factor-Pair Enumeration

if-then-reasoninglogical-deductioninterval-arithmetic caseworkcontradiction-elementary ↑ 선수 지식: interval-arithmeticif-then-reasoning

📏 중간 풀이 💡 1 개 인사이트

문제

Let $a, b$ and $c$ be numbers with $0 < a < b < c$ . Which of the following is
impossible?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$a + c < b$

(B)

$$a \cdot b < c$$

(C)

$a + b < c$

(D)

$$a \cdot c < b$$

(E)

$$\dfrac{b}{c} = a$$

AMC 8 2007 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 세 수 $a$, $b$, $c$ 가 $0 < a < b < c$ 를 만족합니다. 보기 중 절대 성립할 수 없는 것은 무엇일까요?

주어진 것: $a$, $b$, $c$ 는 $0 < a < b < c$ 를 만족하는 수; 선택지: (A) $a + c < b$, (B) $a \cdot b < c$, (C) $a + b < c$, (D) $a \cdot c < b$, (E) $\dfrac{b}{c} = a$

구하는 것: $0 < a < b < c$ 조건에서 다섯 보기 중 불가능한 것

이해

문제 재정리: 세 수 $a$, $b$, $c$ 가 $0 < a < b < c$ 를 만족합니다. 보기 중 절대 성립할 수 없는 것은 무엇일까요?

주어진 것: $a$, $b$, $c$ 는 $0 < a < b < c$ 를 만족하는 수; 선택지: (A) $a + c < b$, (B) $a \cdot b < c$, (C) $a + b < c$, (D) $a \cdot c < b$, (E) $\dfrac{b}{c} = a$

계획

주요 도구: #3 가능성 지우기

보조 도구: #6 추측하고 확인하기

문제가 "불가능한 것"을 묻고 있으니 도구 #3(가능성 지우기)이 그대로 들어맞아요. 성립하는 보기는 하나씩 지워 나가고, 끝까지 안 지워지는 하나가 답입니다. 보기를 "가능"으로 판정해서 지우는 데에는 도구 #6(추측하고 확인하기) — $0 < a < b < c$ 와 그 보기를 모두 만족하는 구체적인 수를 직접 잡아보면 충분해요. "불가능"으로 남는 (A) 는 부등식의 기본 성질(양수를 더하면 더 커진다)로 증명합니다. 식을 세우는 도구 #13(대수로 바꾸기)을 굳이 쓸 필요는 없습니다.

실행 — 정답: A

#6 추측하고 확인하기 6.EE.B.8 단계 1

(B) $a \cdot b < c$ 를 자연수로 시험합니다.
$a = 1$, $b = 2$, $c = 5$ 로 잡으면 $0 < 1 < 2 < 5$ 이고 $a \cdot b = 1 \cdot 2 = 2 < 5 = c$.
가능하니까 (B) 는 지웁니다.

$a = 1,\ b = 2,\ c = 5 \;\Rightarrow\; a \cdot b = 2 < 5 = c$ ✓

💡 $a = 1$ 이면 $a \cdot b = b$ 이고, $b$ 는 자연히 $c$ 보다 작아요. 가장 쉬운 케이스.

#6 추측하고 확인하기 6.EE.B.8 단계 2

(C) $a + b < c$ 를 자연수로 시험합니다.
$a = 1$, $b = 2$, $c = 10$ 으로 잡으면 $0 < 1 < 2 < 10$ 이고 $a + b = 3 < 10 = c$.
가능하니까 (C) 도 지웁니다.

$a = 1,\ b = 2,\ c = 10 \;\Rightarrow\; a + b = 3 < 10 = c$ ✓

💡 $c$ 만 충분히 크게 잡으면 $a + b$ 가 그 안에 쏙 들어옵니다.

#6 추측하고 확인하기 5.NF.B.5 단계 3

(D) $a \cdot c < b$ 는 자연수로는 안 됩니다 — $a \geq 1$ 이면 $a \cdot c \geq c > b$ 이기 때문이죠.
그러니 $a$ 를 작은 분수로 잡습니다.
$a = \dfrac{1}{2}$, $b = 1$, $c = \dfrac{3}{2}$ 면 $0 < \tfrac{1}{2} < 1 < \tfrac{3}{2}$ 이고 $a \cdot c = \tfrac{1}{2} \cdot \tfrac{3}{2} = \tfrac{3}{4} < 1 = b$.
가능하니까 (D) 도 지웁니다.

$a = \tfrac{1}{2},\ b = 1,\ c = \tfrac{3}{2} \;\Rightarrow\; a \cdot c = \tfrac{3}{4} < 1 = b$ ✓

💡 $1$ 보다 작은 분수를 곱하면 결과가 작아집니다. $a < 1$ 이면 $a \cdot c$ 가 $b$ 아래로 떨어질 수 있어요.

#6 추측하고 확인하기 6.RP.A.1 단계 4

(E) $\dfrac{b}{c} = a$ 도 시험합니다.
$b < c$ 이므로 $\dfrac{b}{c}$ 는 $1$ 보다 작은 수이고, 따라서 $a$ 도 분수여야 해요.
$a = \dfrac{1}{2}$, $c = 4$ 로 잡고 $b = a \cdot c = 2$ 로 두면 $0 < \tfrac{1}{2} < 2 < 4$ 이고 $\dfrac{b}{c} = \dfrac{2}{4} = \dfrac{1}{2} = a$.
가능하니까 (E) 도 지웁니다.

$a = \tfrac{1}{2},\ b = 2,\ c = 4 \;\Rightarrow\; \tfrac{b}{c} = \tfrac{2}{4} = \tfrac{1}{2} = a$ ✓

💡 $a$ 와 $c$ 를 먼저 정한 뒤 $b = a \cdot c$ 로 맞추면 식이 자동으로 성립해요.

#3 가능성 지우기 6.EE.B.8 단계 5

남은 건 (A) 하나입니다.
(A) 는 예시 대신 부등식 성질로 "불가능"을 보입니다.
$b < c$ 는 주어져 있고, $a > 0$ 이니 부등식 $b < c$ 의 큰 쪽에 양수 $a$ 를 더해도 부등호가 유지되어 $b < c + a$, 즉 $b < a + c$.
이건 (A) 의 $a + c < b$ 와 정반대이므로, 조건을 만족하는 어떤 $a, b, c$ 로도 (A) 는 성립할 수 없습니다.

$$\underbrace{b < c}_{\text{주어짐}}\ \text{이고}\ \underbrace{a > 0}_{\text{주어짐}}\ \Rightarrow\ b < c < c + a = a + c \;\Rightarrow\; b < a + c \;\Rightarrow\; \textbf{(A)}$$

💡 큰 쪽에 양수를 더하면 더 커집니다. 그래서 $a + c$ 는 $c$ 보다 크고, $c$ 는 이미 $b$ 보다 크니, $a + c$ 가 $b$ 아래로 내려갈 자리가 없어요.

[1] #6 6.EE.B.8 (B) $a \cdot b < c$ 를 자연수로 시험합니다. $a = 1$, $b = 2$, $c = 5$ 로 잡으면 $0 < 1 < 2 < 5

[2] #6 6.EE.B.8 (C) $a + b < c$ 를 자연수로 시험합니다. $a = 1$, $b = 2$, $c = 10$ 으로 잡으면 $0 < 1 < 2 < 10$

[3] #6 5.NF.B.5 (D) $a \cdot c < b$ 는 자연수로는 안 됩니다 — $a \geq 1$ 이면 $a \cdot c \geq c > b$ 이기 때문이죠

[4] #6 6.RP.A.1 (E) $\dfrac{b}{c} = a$ 도 시험합니다. $b < c$ 이므로 $\dfrac{b}{c}$ 는 $1$ 보다 작은 수이고, 따라서

[5] #3 6.EE.B.8 남은 건 (A) 하나입니다. (A) 는 예시 대신 부등식 성질로 "불가능"을 보입니다. $b < c$ 는 주어져 있고, $a > 0$ 이니 부등

검토

합리성 확인: (A) 가 정말 불가능한지 숫자로 확인해 봅시다. $a = 1$, $b = 2$, $c = 3$ 이면 $a + c = 4 > b = 2$. $a = \tfrac{1}{10}$, $b = \tfrac{1}{2}$, $c = 1$ 이어도 $a + c = 1.1 > b = 0.5$. $a$ 를 아무리 작게 잡아도 $c$ 자체가 이미 $b$ 보다 크고 거기에 양수를 더하기만 하니, $a + c < b$ 는 영영 만들 수 없어요. 나머지 네 보기는 모두 구체적 예가 나왔으니 남은 (A) 가 답입니다.

대안 접근: 도구 #5(패턴 찾기): (B), (C), (D), (E) 는 모두 "한쪽을 작게 만드는" 방법(분수로 곱하기 또는 비율 맞추기)으로 만들 수 있는데, (A) 는 "두 양수의 합"을 그 중 한 부분보다 작게 만들려고 합니다. 양수에서는 $a + c$ 가 $c$ 보다 클 수밖에 없고, $c$ 는 이미 $b$ 보다 크니, 구조적으로 (A) 만 어긋난다는 패턴이 바로 보입니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

6.EE.B.8 $x > c$ 또는 $x < c$ 형태의 부등식으로 조건이나 상황을 표현하기 ($0 < a < b < c$ 라는 부등식을 읽고, "부등식의 큰 쪽에 양수를 더하면 부등호는 유지된다"는 성질로 $b < a + c$ 를 보이는 데 사용.)
5.NF.B.5 곱셈을 크기 조절(스케일링)로 해석하기 ($1$ 보다 작은 분수를 곱하면 수가 작아진다는 점을 이용해 (D) 의 예 $a = \tfrac{1}{2}, c = \tfrac{3}{2}$ 를 구성.)
6.RP.A.1 비의 개념을 이해하고 비의 관계를 설명하기 ($\dfrac{b}{c} = a$ 를 비례 관계로 읽고 $a = \tfrac{1}{2}, b = 2, c = 4$ 라는 예를 만드는 데 사용.)

⭐ 양수를 더하면 항상 더 커진다 — 그래서 $a + c$ 는 $b$ 아래로 절대 내려가지 않아요. 이 한 가지 규칙만 보이면 이 AMC 8 부등식 문제는 결판이 납니다.

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: A

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

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