AMC 8 · 2007 · #17

학년 6 rate-ratio

유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Fraction / Expression Sum Evaluation

percentageratio-proportionfraction-arithmetic identify-subproblems ↑ 선수 지식: percentagefraction-arithmetic

📏 짧은 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

A mixture of $30$ liters of paint is $25\%$ red tint, $30\%$ yellow
tint and $45\%$ water. Five liters of yellow tint are added to
the original mixture. What is the percent of yellow tint
in the new mixture?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 8 2007 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: $30$ 리터의 페인트 혼합물이 빨간색 안료 $25\%$, 노란색 안료 $30\%$, 물 $45\%$ 로 이루어져 있습니다. 여기에 순수한 노란색 안료 $5$ 리터를 더 넣었어요. 새 혼합물에서 노란색 안료가 차지하는 비율은 몇 퍼센트일까요?

주어진 것: 원래 혼합물: 총 $30$ 리터; 원래 구성: 빨간색 안료 $25\%$, 노란색 안료 $30\%$, 물 $45\%$; 순수한 노란색 안료 $5$ 리터를 추가; 선택지: (A) $25$, (B) $35$, (C) $40$, (D) $45$, (E) $50$

구하는 것: 새 혼합물에서 노란색 안료가 차지하는 퍼센트

이해

계획

주요 도구: #7 작은 문제로 쪼개기

보조 도구: #1 그림 그리기

이 문제의 함정은 $30\%$ 라는 퍼센트로 그대로 계산하려는 것입니다. 한 부분만 더 부으면 그 부분도 늘고 전체도 늘어나니까, 퍼센트는 깔끔한 숫자로 올라가지 않아요. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 풀이를 세 단계로 나눕니다: (a) $30\%$ 를 실제 노란색 리터로 환산, (b) 추가한 뒤 노란색 리터와 전체 리터를 갱신, (c) 다시 퍼센트로 환산. 각 단계는 산수 한 줄이에요. 도구 #1(그림 그리기)은 부분-전체 막대그림으로 "노란 칸도 늘고 전체 막대도 늘어난다"는 점을 눈에 보이게 해 줍니다. 식을 세우는 도구 #13(대수로 바꾸기)은 필요 없어요 — 세 줄의 산수로 끝납니다.

실행 — 정답: C

#7 작은 문제로 쪼개기 6.RP.A.3 단계 1

시작 퍼센트를 노란색 리터로 환산합니다.
원래 혼합물 $30$ 리터의 $30\%$ 가 노란색 안료이니, "전체의 몇 퍼센트" 계산을 적용합니다.

$$\text{노란색}_{\text{원래}} = 30\% \times 30 = 0.30 \times 30 = 9 \text{ 리터}$$

💡 $30$ 의 $30\%$ 는 $\tfrac{3}{10}$ 의 $30$ 과 같으므로 $9$. 6학년 "전체의 퍼센트" 그대로입니다.

#1 그림 그리기 4.OA.A.3 단계 2

순수 노란색 $5$ 리터를 추가한 뒤 노란색 양을 갱신합니다.
빨간색과 물은 그대로이고 노란색만 늘어납니다.

$$\text{노란색}_{\text{새}} = 9 + 5 = 14 \text{ 리터}$$

💡 부분-전체 막대에서 노란 칸만 $5$ 리터 늘어나고, 빨간 칸과 물 칸은 그대로 있습니다.

#1 그림 그리기 4.OA.A.3 단계 3

전체 부피도 갱신합니다.
추가한 $5$ 리터만큼 전체가 $30$ 에서 $35$ 리터로 늘어납니다.

$$\text{전체}_{\text{새}} = 30 + 5 = 35 \text{ 리터}$$

💡 통에서 나간 건 없고 들어온 $5$ 리터만큼 막대 전체가 길어집니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 6.RP.A.3 단계 4

다시 퍼센트로 환산합니다.
새 노란색 리터를 새 전체 리터로 나눕니다.

$$\dfrac{\text{노란색}_{\text{새}}}{\text{전체}_{\text{새}}} = \dfrac{14}{35} = \dfrac{2}{5} = 40\% \;\Rightarrow\; \textbf{(C)}$$

💡 $14$ 와 $35$ 의 공약수 $7$ 로 약분하면 $\tfrac{2}{5}$ 이고, 6학년이면 $\tfrac{2}{5} = 40\%$ 는 외워두는 변환.

[1] #7 6.RP.A.3 시작 퍼센트를 노란색 리터로 환산합니다. 원래 혼합물 $30$ 리터의 $30\%$ 가 노란색 안료이니, "전체의 몇 퍼센트" 계산을 적용합니다.

[2] #1 4.OA.A.3 순수 노란색 $5$ 리터를 추가한 뒤 노란색 양을 갱신합니다. 빨간색과 물은 그대로이고 노란색만 늘어납니다.

[3] #1 4.OA.A.3 전체 부피도 갱신합니다. 추가한 $5$ 리터만큼 전체가 $30$ 에서 $35$ 리터로 늘어납니다.

[4] #7 6.RP.A.3 다시 퍼센트로 환산합니다. 새 노란색 리터를 새 전체 리터로 나눕니다.

검토

합리성 확인: 답의 크기가 적당한지 확인합니다. 노란색은 $30\%$ 에서 시작했고 노란색을 더 부었으니, 새 비율은 반드시 $30\%$ 보다 커야 합니다 — 그래서 (A) $25$ 는 탈락. 그런데 $5$ 리터를 전체 $35$ 리터 중에 부은 것이니 큰 도약은 어렵습니다 — $50\%$ 가 되려면 노란색이 $17.5$ 리터여야 하는데, 우리는 $14$ 리터뿐이에요. $30\%$ 에서 $40\%$ 로 $10$ 퍼센트포인트 오르는 것이 부은 양과 잘 맞습니다. 마지막 확인: 빨간색은 그대로 $25\% \times 30 = 7.5$ 리터, 물은 $45\% \times 30 = 13.5$ 리터, 합하면 $7.5 + 13.5 + 14 = 35$ 로 새 전체와 일치합니다.

대안 접근: 도구 #1(그림 그리기) 단독: 길이 $30$ 인 막대를 빨간 $7.5$, 노란 $9$, 물 $13.5$ 로 나눕니다. 노란 끝쪽에 $5$ 짜리 막대를 이어 붙이면 전체 막대는 $35$, 노란 부분은 $14$. 그림에서 노란 비율 $\tfrac{14}{35} = \tfrac{2}{5} = 40\%$ — 답 (C).

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

6.RP.A.3 비와 비율을 이용해 실생활 문제, 특히 퍼센트 문제를 해결하기 ($30$ 리터의 $30\%$ 를 $9$ 리터로 환산하고, 다시 $\tfrac{14}{35}$ 를 $40\%$ 로 환산하는 데 사용.)
4.OA.A.3 네 가지 연산을 이용한 여러 단계 자연수 문장제 해결하기 (노란색 양을 $9 + 5 = 14$ 로, 전체 양을 $30 + 5 = 35$ 로 갱신해 추가 후 혼합물 상태를 정리하는 데 사용.)

⭐ 혼합물의 퍼센트가 묻는 문제는 먼저 실제 양으로 바꿔서 풀어요 — $30\%$ 를 $9$ 리터로 바꾸고, 더해 준 다음, 마지막에 다시 퍼센트로. 숫자들이 알아서 결판을 냅니다.

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: C

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

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