AMC 8 · 2007 · #19
학년 6 number-theory문제
Pick two consecutive positive integers whose sum is less than 100. Square both
of those integers and then find the difference of the squares. Which of the
following could be the difference?
답을 골라 클릭하세요.
AMC 8 2007 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.
도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: 합이 $100$ 보다 작은 연속된 두 양의 정수를 고릅니다. 두 수를 각각 제곱하고 큰 제곱에서 작은 제곱을 뺀 값이 다음 보기 중 어느 것일 수 있을까요?
주어진 것: 연속된 두 양의 정수 $n$ 과 $n+1$; 두 수의 합은 $n + (n+1) < 100$ 을 만족; 구하는 값은 $(n+1)^2 - n^2$; 선택지: (A) $2$, (B) $64$, (C) $79$, (D) $96$, (E) $131$
구하는 것: 조건을 만족하는 $n$ 이 존재해서 $(n+1)^2 - n^2$ 의 값이 될 수 있는 보기
이해
문제 재정리: 합이 $100$ 보다 작은 연속된 두 양의 정수를 고릅니다. 두 수를 각각 제곱하고 큰 제곱에서 작은 제곱을 뺀 값이 다음 보기 중 어느 것일 수 있을까요?
주어진 것: 연속된 두 양의 정수 $n$ 과 $n+1$; 두 수의 합은 $n + (n+1) < 100$ 을 만족; 구하는 값은 $(n+1)^2 - n^2$; 선택지: (A) $2$, (B) $64$, (C) $79$, (D) $96$, (E) $131$
계획
주요 도구: #5 패턴 찾기
보조 도구: #9 더 쉬운 문제로 줄이기, #3 가능성 지우기
제곱해서 빼라니 무거워 보이지만, 도구 #9(더 쉬운 문제로 줄이기) 로 가장 작은 쌍부터 직접 계산해 보면 됩니다. 결과가 깔끔한 규칙으로 정렬되니까 그게 바로 도구 #5(패턴 찾기) — 연속된 두 정수의 제곱의 차는 두 수의 합과 같아서, 항상 홀수이고 $100$ 보다 작아야 합니다. 그러면 도구 #3(가능성 지우기) 으로 "홀수이고 $100$ 보다 작다" 조건에 안 맞는 보기를 전부 지웁니다. 식을 세우는 도구 #13(대수로 바꾸기) 까지 갈 필요 없이, 작은 케이스의 패턴만으로 결정됩니다.
실행 — 정답: C
6.EE.A.1 단계 1 - 연속된 작은 쌍부터 제곱의 차를 직접 구합니다.
- 도구 #9 는 구조가 드러날 때까지 문제를 줄이라고 말하죠.
💡 제곱이 부담스럽지만 작은 쌍으로 줄이면 계산이 가벼워지고 구조가 바로 드러납니다.
6.EE.A.3 단계 2 - 패턴이 보입니다.
- 결과 $3, 5, 7, 9, \dots$ 는 그대로 홀수의 나열이고, 각 값이 두 수의 합과 정확히 같아요: $1+2=3$, $2+3=5$, $3+4=7$, $4+5=9$.
- 즉 연속된 두 정수의 제곱의 차는 두 수의 합과 같습니다.
💡 어떤 $n$ 을 넣어도 답은 항상 $2n + 1$ — 홀수, 그리고 $n + (n+1)$ 그 자체입니다.
6.NS.B.4 단계 3 - 패턴에서 두 가지 필터를 뽑아냅니다.
- 첫째, $2n + 1$ 은 항상 홀수.
- 둘째, 문제에서 합 $2n + 1$ 이 $100$ 보다 작다고 했어요.
- 따라서 제곱의 차는 "$100$ 보다 작은 홀수" 여야 합니다.
💡 $2n$ 은 짝수이고 거기에 $1$ 을 더하면 항상 홀수. 그리고 $2n+1 < 100$ 은 문제의 "합이 $100$ 보다 작다" 조건 그대로입니다.
6.EE.B.5 단계 4 - 두 필터를 보기에 적용합니다(도구 #3).
- $2$, $64$, $96$ 은 짝수 — 탈락.
- $131$ 은 홀수이지만 $99$ 보다 큼 — 탈락.
- $79$ 만 "홀수" + "$100$ 미만" 을 통과합니다.
💡 "홀수인가? $100$ 보다 작은가?" 단 두 번의 확인으로 네 보기가 한꺼번에 지워집니다.
6.EE.B.7 단계 5 - $79$ 가 진짜로 만들어지는지 짝을 직접 찾습니다.
- $2n + 1 = 79$ 에서 $n = 39$.
- 짝 $39, 40$ 의 합은 $79 < 100$, 그리고 $40^2 - 39^2 = 1600 - 1521 = 79$.
- 답은 (C).
💡 실제 짝 $(39, 40)$ 을 제시하면 "아직 안 지워진" 정도가 아니라 "진짜 만들어진다" 가 확정됩니다.
6.EE.A.1 연속된 작은 쌍부터 제곱의 차를 직접 구합니다. 도구 #9 는 구조가 드러날 때까지 문제를 줄이라고 말하죠. 6.EE.A.3 패턴이 보입니다. 결과 $3, 5, 7, 9, \dots$ 는 그대로 홀수의 나열이고, 각 값이 두 수의 합과 정확히 같아요: $1+2=3$, 6.NS.B.4 패턴에서 두 가지 필터를 뽑아냅니다. 첫째, $2n + 1$ 은 항상 홀수. 둘째, 문제에서 합 $2n + 1$ 이 $100$ 보다 작다고 했어 6.EE.B.5 두 필터를 보기에 적용합니다(도구 #3). $2$, $64$, $96$ 은 짝수 — 탈락. $131$ 은 홀수이지만 $99$ 보다 큼 — 탈락. 6.EE.B.7 $79$ 가 진짜로 만들어지는지 짝을 직접 찾습니다. $2n + 1 = 79$ 에서 $n = 39$. 짝 $39, 40$ 의 합은 $79 < 1 검토
합리성 확인: 제곱의 차 공식으로 다시 확인합시다: $(n+1)^2 - n^2 = (n+1+n)(n+1-n) = (2n+1)(1) = 2n+1$. 즉 제곱의 차는 두 수의 합과 같고, 문제 조건상 그 합은 $100$ 보다 작으며, 연속된 두 정수 중 하나는 짝수·하나는 홀수이므로 합은 항상 홀수입니다. 보기 중 $100$ 보다 작은 홀수는 $79$ 뿐이고, 짝 $39, 40$ 이 실제로 그 값을 만들어 줍니다. 답 (C) 가 일관됩니다.
대안 접근: 도구 #3(가능성 지우기) 만 단독으로: $(n+1)^2 - n^2 = (n+1+n)(n+1-n) = 2n+1$ 로 인수분해 한 번이면 "제곱의 차 = 두 수의 합" 이 바로 보입니다. 문제가 그 합을 $100$ 보다 작게 제한하고, 연속된 두 정수의 합은 항상 홀수이므로 짝수인 $2, 64, 96$ 과 너무 큰 $131$ 이 일제히 탈락, (C) $79$ 만 남습니다.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)
6.EE.A.1자연수 지수를 포함한 수치 식을 쓰고 계산하기 ($2^2 - 1^2$, $3^2 - 2^2$ 등 작은 쌍의 제곱의 차를 계산해 패턴을 드러내는 데 사용.)6.EE.A.3연산의 성질을 이용해 동등한 식 만들기 ($(n+1)^2 - n^2$ 을 $2n + 1$ 로 다시 써서 "두 수의 합" 과 같다는 것을 확인.)6.NS.B.4공약수·공배수를 찾고 홀수와 짝수를 구분하기 ($2n + 1$ 이 항상 홀수임을 근거로 짝수 보기 세 개를 일괄 제거.)6.EE.B.5방정식이나 부등식을 푸는 것은 어떤 값이 식을 참으로 만드는지 답하는 과정임을 이해하기 (각 보기를 "홀수" + "$100$ 미만" 조건에 대입해 가능한 값을 가려내는 데 사용.)6.EE.B.7$x + p = q$, $px = q$ 형태의 방정식을 세워 풀기 ($2n + 1 = 79$ 를 풀어 $n = 39$ 라는 실제 짝을 찾고 $79$ 가 정말 만들어짐을 확인.)
⭐ 연속된 두 정수의 제곱의 차는 그냥 두 수의 합 — 항상 홀수이고, 여기서는 $100$ 보다 작아야 해요. 이 한 가지 사실로 네 보기가 떨어지고 (C) $79$ 가 남습니다.
⭐ 연속된 두 정수의 제곱의 차는 그냥 두 수의 합 — 항상 홀수이고, 여기서는 $100$ 보다 작아야 해요. 이 한 가지 사실로 네 보기가 떨어지고 (C) $79$ 가 남습니다.
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