AMC 8 · 2007 · #25

학년 7 probabilitygeometry-2d

유형 Overlap / Complement Counting └ 세부 유형 Parity Partition: Complement via Odd-Even Split

probability-basicarea-circlesfraction-arithmeticparity caseworkidentify-subproblems ↑ 선수 지식: area-circlesprobability-basicparity

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트 📊 도형

문제

On the dart board shown in the figure below, the outer circle has radius $6$ and the inner circle has radius $3$ . Three radii divide each circle into three congruent regions, with point values shown. The probability that a dart will hit a given region is proportional to the area of the region. When two darts hit this board, the score is the sum of the point values of the regions hit. What is the probability that the score is odd?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\frac{17}{36}$

(B)

$\frac{35}{72}$

(C)

$\frac{1}{2}$

(D)

$\frac{37}{72}$

(E)

$\frac{19}{36}$

AMC 8 2007 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 다트판은 반지름 $6$ 인 바깥 원과 반지름 $3$ 인 안쪽 원으로 이루어져 있습니다. 세 개의 반지름이 각 원을 합동인 세 영역으로 나누고, 각 영역에는 점수 $1$ 또는 $2$ 가 적혀 있습니다. 안쪽 원에는 $1, 2, 2$ ($1$ 하나, $2$ 둘), 바깥 링에는 $2, 1, 1$ ($2$ 하나, $1$ 둘) 이 적혀 있습니다. 다트가 어떤 영역에 맞을 확률은 그 영역의 넓이에 비례합니다. 다트를 독립적으로 두 번 던질 때, 두 점수의 합이 홀수일 확률을 구하세요.

주어진 것: 바깥 원 반지름 $R = 6$; 안쪽 원 반지름 $r = 3$; 안쪽 원의 합동인 세 영역의 점수: $1, 2, 2$; 바깥 링의 합동인 세 영역의 점수: $2, 1, 1$; 어떤 영역에 맞을 확률은 그 영역의 넓이에 비례; 두 다트는 독립적으로 던진다; 선택지: (A) $\tfrac{17}{36}$, (B) $\tfrac{35}{72}$, (C) $\tfrac{1}{2}$, (D) $\tfrac{37}{72}$, (E) $\tfrac{19}{36}$

구하는 것: 두 다트 점수의 합이 홀수일 확률

이해

계획

주요 도구: #7 작은 문제로 쪼개기

보조 도구: #1 그림 그리기, #2 빠짐없이 나열하기

두 다트 확률은 한 번에 풀기 부담스럽지만 작은 문제들로 깔끔하게 쪼개집니다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 (1) 각 영역의 넓이 구하기 → (2) 단일 다트의 $P(\text{홀})$, $P(\text{짝})$ 구하기 → (3) 두 다트 결합 의 세 단계로 나눕니다. 도구 #1(그림 그리기)은 여섯 영역과 점수를 헷갈리지 않게 정리해 주고 — 안쪽 영역과 바깥 링 영역의 넓이가 다르기 때문에 $1$ 과 $2$ 가 같은 확률로 나오지 않는다는 점을 보여 줍니다. 도구 #2(빠짐없이 나열하기)는 (3) 단계에서 두 다트의 홀·짝 조합(OO, OE, EO, EE) 네 가지 중 합이 홀수인 두 가지를 골라내는 데 사용합니다.

실행 — 정답: B

#1 그림 그리기 7.G.B.4 단계 1

다트판을 그리고 여섯 영역에 점수를 표시합니다.
바깥 원의 넓이는 $\pi R^2 = 36\pi$, 안쪽 원의 넓이는 $\pi r^2 = 9\pi$, 바깥 링(원환)의 넓이는 $36\pi - 9\pi = 27\pi$ 입니다.
안쪽 영역 하나의 넓이는 $\tfrac{9\pi}{3} = 3\pi$, 바깥 링 영역 하나의 넓이는 $\tfrac{27\pi}{3} = 9\pi$ 입니다.

$$A_{\text{바깥 원}} = 36\pi,\; A_{\text{안쪽 원}} = 9\pi,\; A_{\text{링}} = 27\pi,\; A_{\text{안쪽 영역}} = 3\pi,\; A_{\text{링 영역}} = 9\pi$$

💡 그림을 그리면 바깥 링 영역(넓이 $9\pi$)이 안쪽 영역(넓이 $3\pi$)의 세 배라는 점이 한눈에 보입니다 — 같은 확률로 맞히는 게 아니라는 뜻이죠.

#7 작은 문제로 쪼개기 7.SP.C.7 단계 2

작은 문제 1: 한 번 던져서 홀수 점수가 나올 확률.
점수가 $1$ 인 영역을 모두 모읍니다.
안쪽 영역 하나(넓이 $3\pi$) 와 바깥 링 영역 둘($2 \times 9\pi = 18\pi$) 입니다.
홀수 점수의 총 넓이는 $3\pi + 18\pi = 21\pi$.
이를 전체 넓이 $36\pi$ 로 나눕니다.

$$P(\text{홀}) = \dfrac{21\pi}{36\pi} = \dfrac{21}{36} = \dfrac{7}{12}$$

💡 결과가 같은 확률이 아닐 때, 7학년 확률 모델은 "유리한 넓이 합 $\div$ 전체 넓이" 입니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 7.SP.C.7 단계 3

작은 문제 2: 한 번 던져서 짝수 점수가 나올 확률.
점수가 $2$ 인 영역을 모읍니다.
안쪽 영역 둘($2 \times 3\pi = 6\pi$) 과 바깥 링 영역 하나($9\pi$) 입니다.
짝수 총 넓이는 $15\pi$.
검산: $P(\text{홀}) + P(\text{짝}) = \tfrac{7}{12} + \tfrac{5}{12} = 1$.

$$P(\text{짝}) = \dfrac{6\pi + 9\pi}{36\pi} = \dfrac{15}{36} = \dfrac{5}{12}$$

💡 $P(\text{짝})$ 을 따로 계산해서 두 확률이 $1$ 로 합쳐지는지 확인하면 산술 오류를 바로 잡을 수 있습니다.

#2 빠짐없이 나열하기 7.SP.C.8 단계 4

작은 문제 3: 두 다트의 홀·짝 조합을 빠짐없이 나열하고 합이 홀수인 경우만 고릅니다.
독립적으로 두 번 던졌을 때 두 점수의 홀·짝 조합은 OO, OE, EO, EE 네 가지.
합의 홀·짝: O+O = 짝, E+E = 짝, O+E = 홀, E+O = 홀.
따라서 두 점수의 홀·짝이 서로 다른 두 경우만 홀수 합을 만듭니다.

$$\text{합이 홀} \iff \text{두 점수 중 하나만 홀수}$$

💡 표본 공간을 깔끔히 나열하면 누락 없이 필요한 두 경우만 골라낼 수 있습니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 7.SP.C.8 단계 5

각 경우 안에서는 곱하고(독립), 서로 배타적인 두 경우는 더합니다.

$$P(\text{합이 홀}) = P(\text{홀})\,P(\text{짝}) + P(\text{짝})\,P(\text{홀}) = 2 \cdot \dfrac{7}{12} \cdot \dfrac{5}{12} = \dfrac{70}{144} = \dfrac{35}{72} \;\Rightarrow\; \textbf{(B)}$$

💡 독립이면 곱하고, 배타적이면 더한다 — 작은 문제 1, 2 의 결과를 작은 문제 3 의 식에 그대로 대입하면 끝납니다.

[1] #1 7.G.B.4 다트판을 그리고 여섯 영역에 점수를 표시합니다. 바깥 원의 넓이는 $\pi R^2 = 36\pi$, 안쪽 원의 넓이는 $\pi r^2 = 9\p

[2] #7 7.SP.C.7 작은 문제 1: 한 번 던져서 홀수 점수가 나올 확률. 점수가 $1$ 인 영역을 모두 모읍니다. 안쪽 영역 하나(넓이 $3\pi$) 와 바깥 링

[3] #7 7.SP.C.7 작은 문제 2: 한 번 던져서 짝수 점수가 나올 확률. 점수가 $2$ 인 영역을 모읍니다. 안쪽 영역 둘($2 \times 3\pi = 6\pi

[4] #2 7.SP.C.8 작은 문제 3: 두 다트의 홀·짝 조합을 빠짐없이 나열하고 합이 홀수인 경우만 고릅니다. 독립적으로 두 번 던졌을 때 두 점수의 홀·짝 조합은

[5] #7 7.SP.C.8 각 경우 안에서는 곱하고(독립), 서로 배타적인 두 경우는 더합니다.

검토

합리성 확인: 답 $\tfrac{35}{72} \approx 0.486$ 은 $\tfrac{1}{2}$ 보다 살짝 작습니다. 단일 다트에서 홀($\tfrac{7}{12}$)이 짝($\tfrac{5}{12}$)보다 잘 나오는 약간 "기울어진 동전" 이므로, 같은 결과(둘 다 홀, 또는 둘 다 짝)가 다른 결과보다 약간 더 잦아 합이 짝수일 확률이 살짝 더 큰 게 자연스럽습니다. 여집합 검산: $P(\text{합이 짝}) = P(\text{홀})^2 + P(\text{짝})^2 = \tfrac{49}{144} + \tfrac{25}{144} = \tfrac{74}{144} = \tfrac{37}{72}$, 그리고 $\tfrac{35}{72} + \tfrac{37}{72} = \tfrac{72}{72} = 1$. 선택지 (C) $\tfrac{1}{2}$ 는 단일 다트에서 홀·짝이 같은 확률일 때만 가능하지만 여기서는 $\tfrac{7}{12} \neq \tfrac{5}{12}$ 이므로 답이 될 수 없습니다.

대안 접근: 도구 #2(빠짐없이 나열하기) 를 영역 수준에서 적용: 여섯 영역 각각을 넓이 비례 가중치로 본 다음, $6 \times 6$ 결과 표를 만들어 각 칸의 점수 합이 홀인지 짝인지 표시합니다. 단일 다트 가중치는 안쪽 세 영역이 $\tfrac{3}{36}$, 바깥 링 세 영역이 $\tfrac{9}{36}$. 홀 합 칸들의 곱-합을 모두 더하면 $\tfrac{35}{72}$ 로 정리되어 같은 답 (B) 가 나옵니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)

7.G.B.4 원의 넓이와 둘레 공식을 알고 문제 해결에 사용 (바깥 원 넓이 $36\pi$, 안쪽 원 넓이 $9\pi$, 바깥 링 넓이 $27\pi$, 그리고 여섯 영역 각각의 넓이($3\pi$ 안쪽, $9\pi$ 링)를 계산하는 데 사용.)
7.SP.C.7 확률 모형을 만들어 사건의 확률 구하기 (각 영역의 확률을 그 영역의 넓이를 전체 넓이로 나눈 값으로 두는 단일 다트 확률 모형을 세워 $P(\text{홀}) = \tfrac{7}{12}$, $P(\text{짝}) = \tfrac{5}{12}$ 를 얻는 데 사용.)
7.SP.C.8 조직적인 목록·표·시뮬레이션으로 복합 사건의 확률 구하기 (두 독립 다트의 네 가지 홀·짝 조합(OO, OE, EO, EE)을 나열하고, 유리한 두 경우 안에서 곱·경우 사이에서 더해 $\tfrac{35}{72}$ 를 얻는 데 사용.)

⭐ 겁나는 두 다트 확률도 세 개의 작은 문제로 쪼개면 됩니다 — 각 영역 넓이, 한 번 던질 때의 $P(\text{홀})$ 과 $P(\text{짝})$, 그리고 네 가지 홀·짝 조합. 합이 홀인 두 경우만 더하면 답은 $\tfrac{35}{72}$.

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: B

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)

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