AMC 8 · 2007 · #6

학년 6 rate-ratio

유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Linear Rate Accumulation

percentagefraction-decimal-conversionestimation identify-subproblems ↑ 선수 지식: percentagefraction-arithmetic

📏 짧은 풀이 💡 1 개 인사이트

문제

The average cost of a long-distance call in the USA in $1985$ was
$41$ cents per minute, and the average cost of a long-distance
call in the USA in $2005$ was $7$ cents per minute. Find the
approximate percent decrease in the cost per minute of a long-
distance call.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 8 2007 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 미국의 장거리 전화 요금이 $1985$ 년에는 분당 $41$ 센트, $2005$ 년에는 분당 $7$ 센트였습니다. 분당 요금이 대략 몇 퍼센트 감소했는지 구하세요.

주어진 것: $1985$ 년 요금: 분당 $41$ 센트; $2005$ 년 요금: 분당 $7$ 센트; 선택지: (A) $7$, (B) $17$, (C) $34$, (D) $41$, (E) $80$

구하는 것: $41$ 센트에서 $7$ 센트로 떨어진 대략의 감소율(%)

이해

주어진 것: $1985$ 년 요금: 분당 $41$ 센트; $2005$ 년 요금: 분당 $7$ 센트; 선택지: (A) $7$, (B) $17$, (C) $34$, (D) $41$, (E) $80$

계획

주요 도구: #7 부분 문제로 나누기

보조 도구: #6 추측하고 확인하기

도구 #7(부분 문제로 나누기)로 문제를 세 단계로 쪼갭니다: (a) 감소량을 구하고, (b) 그 값을 원래 가격으로 나눠 비율을 만들고, (c) 그 비율을 퍼센트로 바꿉니다. 각 단계는 한 번의 계산입니다. 도구 #6(추측하고 확인하기)는 "대략"이라는 표현을 처리합니다 — 선택지들이 $7,\,17,\,34,\,41,\,80$ 으로 멀리 떨어져 있어서 $\tfrac{34}{41}$ 을 어림만 해도 가장 가까운 답이 한눈에 보입니다. 변수를 도입할 필요가 없으므로 도구 #13(대수)은 쓰지 않습니다.

실행 — 정답: E

#7 부분 문제로 나누기 4.NBT.B.4 단계 1

감소량을 구합니다.
가격이 $41$ 센트에서 $7$ 센트로 떨어졌으므로 감소량은 두 가격의 차입니다.

$$\text{감소량} = 41 - 7 = 34 \text{ 센트}$$

💡 "얼마나 내렸나?"는 두 가격을 빼면 바로 나옵니다.

#7 부분 문제로 나누기 6.RP.A.3 단계 2

감소율의 비를 만듭니다.
감소율은 떨어진 양을 새 가격이 아니라 처음 가격($1985$ 년)에 비교하므로 분모는 $41$ 입니다.

$$\text{감소율} = \dfrac{\text{감소량}}{\text{원래 값}} = \dfrac{34}{41}$$

💡 퍼센트 변화는 항상 처음 값을 "전체"로 보므로 $41$ 이 분모에 들어갑니다.

#7 부분 문제로 나누기 6.RP.A.3 단계 3

$\dfrac{34}{41}$ 을 퍼센트로 어림합니다.
$34$ 가 $41$ 보다 조금 작으므로 비율은 $1$ 보다 약간 작습니다.
쉬운 기준값 $\tfrac{34}{40} = 0.85 = 85\%$ 와 비교하면, 분모가 $40$ 이 아니라 $41$ 이므로 실제 값은 그것보다 약간 작습니다.

$$\dfrac{34}{41} \approx 0.83 = 83\%$$

💡 분자에 가까운 수로 나누면 결과가 $100\%$ 에 가깝지만 조금 작은 값이 나옵니다 — 좋은 확인 포인트입니다.

#6 추측하고 확인하기 6.RP.A.3 단계 4

가장 가까운 선택지를 고릅니다.
선택지는 $7,\,17,\,34,\,41,\,80$ 으로 서로 멀리 떨어져 있습니다.
$83\%$ 와 그나마 가까운 것은 $80$ 뿐이고, 나머지는 $40$ 포인트 이상 차이가 납니다.

$$83\% \;\text{과 가장 가까운 값}\; 80\% \;\Rightarrow\; \textbf{(E)}$$

💡 선택지 간격이 넓을 때는 어림만 해도 충분합니다 — 정확한 소수까지 갈 필요 없음.

[1] #7 4.NBT.B.4 감소량을 구합니다. 가격이 $41$ 센트에서 $7$ 센트로 떨어졌으므로 감소량은 두 가격의 차입니다.

[2] #7 6.RP.A.3 감소율의 비를 만듭니다. 감소율은 떨어진 양을 새 가격이 아니라 처음 가격($1985$ 년)에 비교하므로 분모는 $41$ 입니다.

[3] #7 6.RP.A.3 $\dfrac{34}{41}$ 을 퍼센트로 어림합니다. $34$ 가 $41$ 보다 조금 작으므로 비율은 $1$ 보다 약간 작습니다. 쉬운 기준값

[4] #6 6.RP.A.3 가장 가까운 선택지를 고릅니다. 선택지는 $7,\,17,\,34,\,41,\,80$ 으로 서로 멀리 떨어져 있습니다. $83\%$ 와 그나마 가

검토

합리성 확인: 정답으로 거꾸로 확인해 봅시다. $1985$ 년 가격이 $80\%$ 떨어지면 남는 가격은 $41$ 의 $20\%$, 즉 $0.20 \times 41 = 8.2$ 센트입니다. 실제 $2005$ 년 가격은 $7$ 센트로, $8.2$ 와 약 $1$ 센트 차이 — 매우 가깝습니다. 다른 선택지는 어림없는 값이 됩니다: $41\%$ 감소면 남는 가격이 $24.2$ 센트, $17\%$ 감소면 $34$ 센트로 모두 실제 $7$ 센트에서 한참 멀어요. 따라서 $80\%$ 가 유일하게 말이 됩니다.

대안 접근: 도구 #6(추측하고 확인하기)을 선택지에 바로 적용: 감소율 $p$ 에 대해 예측되는 $2005$ 년 가격은 $41 \times (1 - p/100)$ 입니다. (A) $7\%$: $41 \times 0.93 \approx 38$. (C) $34\%$: $41 \times 0.66 \approx 27$. (D) $41\%$: $41 \times 0.59 \approx 24$. (E) $80\%$: $41 \times 0.20 = 8.2$ — 실제 $7$ 센트에 가장 가까운 유일한 값. 답은 (E).

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

4.NBT.B.4 표준 알고리즘으로 여러 자리 정수를 능숙하게 더하고 빼기 (감소량 $41 - 7 = 34$ 센트를 계산하는 데 사용.)
6.RP.A.3 백분율 문제를 포함해 비와 비율 추론으로 실생활·수학 문제 해결 (원래 값 $41$ 을 분모로 한 퍼센트 변화 비 $\tfrac{34}{41}$ 를 만들고, 이를 약 $83\%$ 로 어림해 가장 가까운 선택지를 고르는 데 사용.)

⭐ 감소율은 "얼마나 떨어졌는지"를 "처음 값"으로 나눈 것 — 한 번 빼고 한 번 나누면 끝납니다.

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: E

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

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