AMC 8 · 2008 · #13

학년 6 arithmetic

유형 Pair-Sum Invariant └ 세부 유형 Uniform Pair-Sum Recovery

systems-of-equationslinear-equations-two-varmulti-digit-arithmetic identify-subproblems ↑ 선수 지식: linear-equations-one-varmulti-digit-arithmetic

📏 짧은 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

Mr. Harman needs to know the combined weight in pounds of three boxes he wants to mail. However, the only available scale is not accurate for weights less than $100$ pounds or more than $150$ pounds. So the boxes are weighed in pairs in every possible way. The results are $122$ , $125$ and $127$ pounds. What is the combined weight in pounds of the three boxes?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

160

(B)

170

(C)

187

(D)

195

(E)

354

AMC 8 2008 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 상자 세 개를 두 개씩 짝지어 무게를 재면 짝의 합이 각각 $122$, $125$, $127$ 파운드가 나옵니다. 세 상자의 무게를 모두 합하면 얼마일까요?

주어진 것: 상자는 세 개이고 각각의 무게는 모릅니다; 두 상자씩 짝지어 무게를 재므로 짝의 합은 모두 세 가지입니다; 짝의 합은 $122$, $125$, $127$ 파운드입니다; 선택지: (A) $160$, (B) $170$, (C) $187$, (D) $195$, (E) $354$

구하는 것: 세 상자의 총합 $x + y + z$

이해

계획

주요 도구: #11 변하지 않는 것 찾기

보조 도구: #4 변수 도입하기

문제는 각 상자의 무게가 아니라 "총합"만 묻고 있어요. 도구 #11(변하지 않는 것 찾기)은 어떤 짝을 골라 보든 흔들리지 않는 양을 찾으라는 신호입니다. 여기서 그 불변은 횟수입니다 — 세 짝의 무게를 모두 더하면 각 상자가 정확히 두 번씩 세어집니다. 도구 #4(변수 도입하기)로 상자 무게를 $x$, $y$, $z$ 로 부르면 이 관찰을 깔끔한 식으로 적을 수 있고, 총합 $x + y + z$ 는 $2$ 로 나누기만 하면 바로 나옵니다. 각 상자를 따로 구할 필요가 없습니다.

실행 — 정답: C

#4 변수 도입하기 6.EE.B.6 단계 1

상자 무게에 이름을 붙입니다.
세 상자의 무게를 $x$, $y$, $z$ 파운드라고 합시다.
짝 무게 세 개가 각각 한 식이 됩니다.

$$x + y = 122,\ \ x + z = 125,\ \ y + z = 127$$

💡 모르는 값을 문자로 두는 것은 6학년의 "실생활 문제를 풀 때 수를 나타내는 변수와 식 사용" 그대로입니다.

#11 변하지 않는 것 찾기 6.EE.A.3 단계 2

세 식을 모두 더합니다.
왼쪽에서 각 문자가 몇 번 나오는지 보세요.
$x$ 는 첫 번째와 두 번째 식, $y$ 는 첫 번째와 세 번째 식, $z$ 는 두 번째와 세 번째 식에 들어갑니다.
모든 문자가 정확히 두 번씩 나옵니다.

$$(x + y) + (x + z) + (y + z) = 122 + 125 + 127$$

💡 "각 상자가 두 번 세어진다"는 패턴이 바로 불변량입니다. 짝의 무게가 어떤 값인지와는 무관하고, 모든 짝을 다 잰다는 사실에서만 옵니다.

#11 변하지 않는 것 찾기 6.EE.A.3 단계 3

왼쪽 동류항을 정리하고 오른쪽을 더합니다.
왼쪽은 $2x + 2y + 2z$ 가 되고, 이는 $2(x + y + z)$ 로 묶을 수 있습니다.

$$2x + 2y + 2z = 374 \;\Rightarrow\; 2(x + y + z) = 374$$

💡 $2$ 를 밖으로 빼면 우리가 원하던 총합 $x + y + z$ 가 한 덩어리로 드러납니다.

#4 변수 도입하기 6.EE.B.7 단계 4

양변을 $2$ 로 나누어 총합만 남깁니다.

$$x + y + z = \dfrac{374}{2} = 187 \;\Rightarrow\; \textbf{(C)}$$

💡 한 단계 방정식 — 양변을 같은 수로 나누면 됩니다. 답은 세 상자의 총 무게(파운드)입니다.

[1] #4 6.EE.B.6 상자 무게에 이름을 붙입니다. 세 상자의 무게를 $x$, $y$, $z$ 파운드라고 합시다. 짝 무게 세 개가 각각 한 식이 됩니다.

[2] #11 6.EE.A.3 세 식을 모두 더합니다. 왼쪽에서 각 문자가 몇 번 나오는지 보세요. $x$ 는 첫 번째와 두 번째 식, $y$ 는 첫 번째와 세 번째 식, $

[3] #11 6.EE.A.3 왼쪽 동류항을 정리하고 오른쪽을 더합니다. 왼쪽은 $2x + 2y + 2z$ 가 되고, 이는 $2(x + y + z)$ 로 묶을 수 있습니다.

[4] #4 6.EE.B.7 양변을 $2$ 로 나누어 총합만 남깁니다.

검토

합리성 확인: 각 상자 무게를 구해 다시 확인해 봅시다. $x + z = 125$ 에서 $x + y = 122$ 를 빼면 $z - y = 3$. 이를 $y + z = 127$ 와 합치면 $z = 65$, $y = 62$, 그리고 $x = 60$. 합은 $60 + 62 + 65 = 187$. 짝 무게도 $60 + 62 = 122$, $60 + 65 = 125$, $62 + 65 = 127$ 로 모두 맞습니다. 또한 모든 상자가 $60$ ~ $65$ 파운드라 한 상자만으로는 $100$ 파운드가 안 되니, 하먼 씨가 짝으로 잰 이유도 자연스럽습니다.

대안 접근: 도구 #7(작은 문제로 쪼개기): 연립방정식을 끝까지 풉니다. $x + z = 125$ 에서 $x + y = 122$ 를 빼면 $z - y = 3$. 이를 $y + z = 127$ 와 더하면 $2z = 130$, 즉 $z = 65$, 이어서 $y = 62$, $x = 60$. 합은 $187$. 결과는 같지만 계산이 더 많습니다. 도구 #11 은 개별 무게를 거치지 않고 곧장 총합으로 갑니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

6.EE.B.6 실생활 문제를 풀 때 수를 나타내는 변수와 식 사용 (세 상자의 모르는 무게를 $x$, $y$, $z$ 로 두고 각 짝 무게를 식으로 옮기는 데 사용.)
6.EE.A.3 연산의 성질을 적용해 동치인 식 만들기 ($(x + y) + (x + z) + (y + z)$ 의 동류항을 정리하고 $2$ 를 묶어 $2(x + y + z)$ 를 드러내는 데 사용.)
6.EE.B.7 $x + p = q$, $px = q$ 형태의 일차방정식을 세우고 푸는 실생활·수학 문제 해결 ($2(x + y + z) = 374$ 의 양변을 $2$ 로 나누어 총합을 구하는 데 사용.)

⭐ 모든 짝을 다 재면 짝 무게의 합은 각 상자를 두 번씩 더한 값 — 그러니 짝 무게 합의 절반이 정답입니다.

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: C

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

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