AMC 8 · 2008 · #15

학년 6 arithmeticnumber-theory

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Factor-Pair Enumeration

divisibility-rulesmodular-arithmeticmean-median-mode-rangesystematic-enumeration modular-arithmeticsystematic-enumeration ↑ 선수 지식: divisibility-rulesmean-median-mode-range

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

In Theresa's first $8$ basketball games, she scored $7, 4, 3, 6, 8, 3, 1$ and $5$ points. In her ninth game, she scored fewer than $10$ points and her points-per-game average for the nine games was an integer. Similarly in her tenth game, she scored fewer than $10$ points and her points-per-game average for the $10$ games was also an integer. What is the product of the number of points she scored in the ninth and tenth games?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 8 2008 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 테레사는 처음 $8$ 경기에서 $7, 4, 3, 6, 8, 3, 1, 5$ 점을 얻었습니다. 9번째 경기에서는 $10$ 점 미만을 얻었고 $9$ 경기 평균이 정수였습니다. 10번째 경기에서도 $10$ 점 미만을 얻었고 $10$ 경기 평균 역시 정수였습니다. 9번째 경기와 10번째 경기 점수의 곱을 구하세요.

주어진 것: 처음 $8$ 경기 점수: $7, 4, 3, 6, 8, 3, 1, 5$; 9번째 경기 점수는 $0$ 이상 $9$ 이하의 정수; 10번째 경기 점수는 $0$ 이상 $9$ 이하의 정수; $9$ 경기 평균이 정수; $10$ 경기 평균이 정수; 선택지: (A) $35$, (B) $40$, (C) $48$, (D) $56$, (E) $72$

구하는 것: (9번째 경기 점수) $\times$ (10번째 경기 점수)

이해

계획

주요 도구: #12 나머지(모듈러) 사용하기

보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기

"평균이 정수" 라는 말은 사실 "총점이 그 경기 수의 배수" 라는 나눗셈 조건이에요. 그래서 도구 #12(나머지·배수) 가 딱 맞습니다. 도구 #7 로는 문제를 깔끔하게 두 단계로 쪼개요. 먼저 $9$ 의 배수 조건으로 9번째 경기 점수를 정하고, 그 다음 $10$ 의 배수 조건으로 10번째 경기 점수를 정합니다. 두 경우 모두 "$10$ 점 미만" 이라는 상한이 답을 한 가지로 좁혀줍니다.

실행 — 정답: B

#7 작은 문제로 쪼개기 4.OA.A.3 단계 1

먼저 처음 $8$ 경기 점수를 모두 더해 출발 총점을 구합니다.

$$7+4+3+6+8+3+1+5 = 37$$

💡 배수 이야기 전에, 일단 누적 합을 계산하는 4학년 수준의 다단계 계산입니다.

#12 나머지(모듈러) 사용하기 6.SP.B.5 단계 2

"$9$ 경기 평균이 정수" 를 나눗셈 조건으로 옮깁니다.
평균 $=$ 총점 $\div 9$ 이므로, $9$ 경기 총점은 $9$ 의 배수여야 합니다.

$$37 + (\text{9번째 경기 점수}) \equiv 0 \pmod{9}$$

💡 평균 $=$ 합 $\div$ 개수이므로, 평균이 정수면 합이 개수의 배수가 됩니다.

#12 나머지(모듈러) 사용하기 4.OA.B.4 단계 3

$37$ 이상이면서 $9$ 의 배수인 가장 작은 수를 찾습니다.
$37$ 근처의 $9$ 의 배수는 $36$ 과 $45$.
9번째 경기 점수는 $0$ 이상이므로 새 총점은 $37$ 이상이고, 게다가 점수가 $9$ 이하이므로 총점은 최대 $46$ 까지만 갑니다.
이 구간에 들어가는 $9$ 의 배수는 $45$ 뿐입니다.

$$9 \text{의 배수: } \ldots, 36, 45, 54, \ldots \;\Rightarrow\; \text{새 총점} = 45$$

💡 구간 안에서 배수 찾기 — $[37,\,46]$ 에 들어가는 $9$ 의 배수는 $45$ 하나뿐입니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 4.OA.A.3 단계 4

빼서 9번째 경기 점수를 읽어냅니다.

$$\text{9번째 점수} = 45 - 37 = 8 \;\;(8 < 10 \checkmark)$$

💡 첫 번째 작은 문제 해결 — 9번째 경기는 $8$ 점.

#12 나머지(모듈러) 사용하기 4.OA.B.4 단계 5

같은 방식을 10번째 경기에도 적용합니다.
$10$ 경기 총점은 $10$ 의 배수여야 하고, 새 총점은 $45 + (\text{10번째 점수})$ 인데 10번째 점수는 $0$ 이상 $9$ 이하입니다.
$[45,\,54]$ 구간에서 $10$ 의 배수는 $50$ 뿐입니다.

$$45 + (\text{10번째 경기 점수}) \equiv 0 \pmod{10} \;\Rightarrow\; \text{새 총점} = 50$$

💡 $10$ 의 배수는 일의 자리가 $0$, $45$ 다음 $10$ 의 배수는 $50$.

#7 작은 문제로 쪼개기 4.OA.A.3 단계 6

다시 빼서 10번째 경기 점수를 구한 뒤, 두 점수를 곱해 답을 냅니다.

$$\text{10번째 점수} = 50 - 45 = 5,\quad 8 \times 5 = 40 \;\Rightarrow\; \textbf{(B)}$$

💡 두 번째 작은 문제 해결 — 두 점수의 곱이 최종 답.

[1] #7 4.OA.A.3 먼저 처음 $8$ 경기 점수를 모두 더해 출발 총점을 구합니다.

[2] #12 6.SP.B.5 "$9$ 경기 평균이 정수" 를 나눗셈 조건으로 옮깁니다. 평균 $=$ 총점 $\div 9$ 이므로, $9$ 경기 총점은 $9$ 의 배수여야 합

[3] #12 4.OA.B.4 $37$ 이상이면서 $9$ 의 배수인 가장 작은 수를 찾습니다. $37$ 근처의 $9$ 의 배수는 $36$ 과 $45$. 9번째 경기 점수는 $

[4] #7 4.OA.A.3 빼서 9번째 경기 점수를 읽어냅니다.

[5] #12 4.OA.B.4 같은 방식을 10번째 경기에도 적용합니다. $10$ 경기 총점은 $10$ 의 배수여야 하고, 새 총점은 $45 + (\text{10번째 점수})

[6] #7 4.OA.A.3 다시 빼서 10번째 경기 점수를 구한 뒤, 두 점수를 곱해 답을 냅니다.

검토

합리성 확인: 두 평균을 직접 확인해 봅시다. $9$ 경기 총점 $45$ 이므로 평균은 $45 \div 9 = 5$, 정수입니다. $10$ 경기 총점은 $45 + 5 = 50$ 이므로 평균은 $50 \div 10 = 5$, 역시 정수입니다. 9번째·10번째 점수 ($8$ 과 $5$) 모두 $10$ 점 미만 조건을 만족하고, 곱 $8 \times 5 = 40$ 은 선택지 (B) 와 일치합니다. 답의 유일성도 확인: $37$ 이상인 그 다음 $9$ 의 배수는 $54$ 인데, 그러려면 9번째 점수가 $17$ 이어야 해서 "$10$ 점 미만" 조건이 깨집니다. 그러니 $45$ 가 강제됩니다.

대안 접근: 도구 #6(추측·확인): 9번째 점수를 $0,1,2,\ldots,9$ 로 하나씩 넣어 봅니다. 그러면 새 총점은 $37,38,\ldots,46$ 인데 그중 $9$ 의 배수는 $45$ 뿐, 즉 9번째 점수 $= 8$. 같은 방법으로 10번째 점수를 $0,1,\ldots,9$ 까지 넣으면 새 총점은 $45,46,\ldots,54$, 그중 $10$ 의 배수는 $50$ 뿐, 즉 10번째 점수 $= 5$. 곱 $= 40$. 배수 논증보다는 느리지만 답은 같습니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

4.OA.A.3 사칙연산을 이용한 다단계 문장제 해결 (처음 $8$ 경기 점수를 더해 $37$ 을 얻고, 총점에서 빼서 각 경기 점수를 복원하는 데 사용.)
4.OA.B.4 약수쌍 찾기와 배수 인식 ($37$ 위의 첫 $9$ 의 배수($45$) 와 $45$ 위의 첫 $10$ 의 배수($50$) 를 찾는 데 사용.)
6.SP.B.5 관측 개수와 중심 측도 등을 포함한 수치 자료 요약 ("$n$ 경기 평균이 정수" 라는 조건을 "총점이 $n$ 의 배수" 라는 나눗셈 조건으로 옮기는 데 사용.)

⭐ 평균이 정수 $=$ 총점이 배수. $9$ 의 배수까지 한 번, $10$ 의 배수까지 한 번 — 두 번의 도약이 두 경기 점수를 알려줍니다.

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: B

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

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