AMC 8 · 2008 · #18

학년 7 geometry-2d

유형 Path Length Comparison & Shortest Path └ 세부 유형 Sum Known Path Segments

perimeterarea-circlesfraction-arithmeticspatial-visualization path-length-comparisonidentify-subproblems ↑ 선수 지식: area-circlesfraction-arithmetic

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트 📊 도형

문제

Two circles that share the same center have radii $10$ meters and $20$ meters. An aardvark runs along the path shown, starting at $A$ and ending at $K$ . How many meters does the aardvark run?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$10\pi+20$

(B)

$10\pi+30$

(C)

$10\pi+40$

(D)

$20\pi+20$

(E)

$20\pi+40$

AMC 8 2008 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 중심이 같은 두 원이 있습니다. 작은 원의 반지름은 $10$ m, 큰 원의 반지름은 $20$ m 입니다. 땅돼지(aardvark)가 큰 원의 꼭대기 $A$ 에서 출발해 큰 원의 오른쪽 점 $K$ 까지, 그림의 화살표를 따라 움직입니다. 이 경로의 전체 길이를 구하세요.

주어진 것: 반지름이 $10$ m, $20$ m 인 동심원 두 개; 출발점 $A = (0, 20)$ 은 큰 원 위에 있음; 도착점 $K = (20, 0)$ 도 큰 원 위에 있음; 경로는 호와 직선 구간이 번갈아 나오는 화살표를 따라감; 선택지: (A) $10\pi+20$, (B) $10\pi+30$, (C) $10\pi+40$, (D) $20\pi+20$, (E) $20\pi+40$

구하는 것: $A$ 에서 $K$ 까지 경로의 전체 길이

이해

계획

주요 도구: #7 작은 문제로 나누기

보조 도구: #1 그림 그리기

경로는 구불구불해 보이지만 깔끔한 여섯 조각, 즉 세 개의 사분원 호와 세 개의 직선 구간으로 이루어져 있습니다. 도구 #7(작은 문제로 나누기)에 따라 각 조각의 길이를 따로 구해 모두 더하면 됩니다. 도구 #1(그림 그리기)로 각 조각의 양 끝점을 좌표로 표시하면, 어느 원 위의 호인지, 어느 반지름을 따라가는 직선인지가 분명해집니다.

실행 — 정답: E

#1 그림 그리기 6.G.A.3 단계 1

경로에 이름을 붙입니다.
화살표를 따라 $A=(0,20)$ 에서 $K=(20,0)$ 으로 가는 길은 여섯 조각입니다: 큰 원 위 $(0,20) \to (-20,0)$ 호; $(-20,0) \to (-10,0)$ 직선; 작은 원 위 $(-10,0) \to (0,-10)$ 호; $(0,-10) \to (0,10)$ 직선; 작은 원 위 $(0,10) \to (10,0)$ 호; $(10,0) \to (20,0)$ 직선.

$$\text{경로} = \text{호}_1 + \text{직선}_1 + \text{호}_2 + \text{직선}_2 + \text{호}_3 + \text{직선}_3$$

💡 좌표평면 위에 끝점을 찍어 보는 것은 6학년 방식 그대로입니다. 각 조각은 어느 원 위의 호이거나, 축 위의 직선이라는 점이 한눈에 보입니다.

#7 작은 문제로 나누기 7.G.B.4 단계 2

큰 호의 길이.
첫 조각은 큰 원의 꼭대기에서 왼쪽 끝까지 가므로 큰 원의 사분원입니다.
큰 원의 둘레는 $2\pi(20) = 40\pi$.

$$\text{호}_1 = \dfrac{1}{4}(2\pi \cdot 20) = \dfrac{1}{4}(40\pi) = 10\pi$$

💡 7학년 원 둘레 공식 $C = 2\pi r$ 이 한 바퀴 길이입니다. $90^\circ$ 만큼만 가니까 그 $\tfrac{1}{4}$.

#7 작은 문제로 나누기 7.G.B.4 단계 3

작은 두 호의 길이.
각각 작은 원의 사분원이고, 작은 원 둘레는 $2\pi(10) = 20\pi$.
두 호의 길이는 같습니다.

$$\text{호}_2 = \text{호}_3 = \dfrac{1}{4}(2\pi \cdot 10) = 5\pi$$

💡 같은 공식, 반지름만 작아졌습니다. 같은 길이의 사분원 두 개를 더하면 $10\pi$.

#7 작은 문제로 나누기 6.NS.C.8 단계 4

세 직선 구간의 길이.
두 개는 $x$ 축을 따라 큰 원에서 작은 원으로 가므로 각각 $20 - 10 = 10$.
나머지 하나는 $y$ 축을 따라 $(0,-10)$ 에서 $(0,10)$ 까지 — 작은 원의 지름이므로 $2 \cdot 10 = 20$.

$$\text{직선}_1 = 10, \quad \text{직선}_2 = 20, \quad \text{직선}_3 = 10$$

💡 축 위의 거리는 좌표 차이만 보면 됩니다. 6학년 수직선 거리 개념을 $x$ 축과 $y$ 축에 그대로 적용합니다.

#7 작은 문제로 나누기 6.EE.A.3 단계 5

여섯 조각을 모두 더합니다.
$\pi$ 가 붙은 항과 그냥 숫자를 따로 묶어 정리합니다.

$$10\pi + 10 + 5\pi + 20 + 5\pi + 10 = (10\pi + 5\pi + 5\pi) + (10 + 20 + 10) = 20\pi + 40 \;\Rightarrow\; \textbf{(E)}$$

💡 동류항 정리는 6학년 식 다루기 그대로입니다. $\pi$ 끼리, 상수끼리 모읍니다.

[1] #1 6.G.A.3 경로에 이름을 붙입니다. 화살표를 따라 $A=(0,20)$ 에서 $K=(20,0)$ 으로 가는 길은 여섯 조각입니다: 큰 원 위 $(0,20)

[2] #7 7.G.B.4 큰 호의 길이. 첫 조각은 큰 원의 꼭대기에서 왼쪽 끝까지 가므로 큰 원의 사분원입니다. 큰 원의 둘레는 $2\pi(20) = 40\pi$.

[3] #7 7.G.B.4 작은 두 호의 길이. 각각 작은 원의 사분원이고, 작은 원 둘레는 $2\pi(10) = 20\pi$. 두 호의 길이는 같습니다.

[4] #7 6.NS.C.8 세 직선 구간의 길이. 두 개는 $x$ 축을 따라 큰 원에서 작은 원으로 가므로 각각 $20 - 10 = 10$. 나머지 하나는 $y$ 축을 따

[5] #7 6.EE.A.3 여섯 조각을 모두 더합니다. $\pi$ 가 붙은 항과 그냥 숫자를 따로 묶어 정리합니다.

검토

합리성 확인: 크기 확인. 큰 사분원 한 개($10\pi \approx 31.4$) + 작은 사분원 두 개($5\pi + 5\pi \approx 31.4$) + 직선 세 구간($10 + 20 + 10 = 40$) = $62.8 + 40 \approx 102.8$ m. 이는 $20\pi + 40 \approx 102.8$ 과 일치합니다. 큰 원 한 바퀴가 $40\pi \approx 125.7$ m 이므로, 그보다 짧으면서 직선 구간이 더해진 길이는 자연스럽습니다. 선택지 중 큰 사분원과 작은 사분원 둘을 합쳐 $20\pi$ 가 되는 보기는 (E) 뿐입니다.

대안 접근: 도구 #5(규칙 찾기) + 도구 #11(변하지 않는 것 찾기): 작은 사분원 두 개를 합치면 작은 원의 반원과 같으므로 길이는 $\pi(10) = 10\pi$. 큰 사분원 하나는 $10\pi$. 직선 구간 합은 $10 + 20 + 10 = 40$. 따라서 전체 길이는 $10\pi + 10\pi + 40 = 20\pi + 40$, 답 (E).

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)

6.G.A.3 좌표평면 위에 다각형을 그리고, 좌표를 이용해 가로·세로 변의 길이 구하기 (경로의 여섯 끝점을 좌표로 표시해, 각 조각이 어느 원의 호이고 어느 축 위의 직선인지 구분하는 데 사용.)
6.NS.C.8 같은 $x$ 좌표 또는 같은 $y$ 좌표를 갖는 두 점 사이의 거리 구하기 ($x$ 축, $y$ 축 위 직선 구간 세 개의 길이 $10$, $20$, $10$ 을 좌표 차이로 구하는 데 사용.)
6.EE.A.3 연산의 성질을 이용해 동치인 식 만들기 ($10\pi + 10 + 5\pi + 20 + 5\pi + 10$ 의 동류항을 모아 $20\pi + 40$ 으로 정리하는 데 사용.)
7.G.B.4 원의 넓이·둘레 공식을 알고 문제 해결에 사용 (두 원 모두에 $C = 2\pi r$ 을 적용한 뒤, 둘레의 $\tfrac{1}{4}$ 로 호의 길이 $10\pi$, $5\pi$ 를 구하는 데 사용.)

⭐ 구불구불한 경로도 조각을 내면 쉬워집니다 — 각 호는 그 원 둘레의 사분의 일, 각 직선 구간은 좌표 차이로 바로 구할 수 있어요.

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: E

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)

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