AMC 8 · 2024 · #14

학년 2 geometry-2d

유형 Path Length Comparison & Shortest Path └ 세부 유형 Shortest Route in Weighted Network

systematic-enumerationmulti-digit-arithmetic shortest-pathidentify-subproblems ↑ 선수 지식: multi-digit-arithmeticmental-arithmetic

📏 중간 풀이 💡 4 개 인사이트 📊 도형

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문제

마을 $A, M, C, X, Y, Z$ 를 연결하는 일방통행로가 아래 그림과 같이 주어져 있습니다(그림은 실제 비율과 다를 수 있습니다). 각 경로 옆에는 길이가 킬로미터 단위로 표시되어 있습니다. 이 경로들을 따라 이동할 때, $A$ 에서 $Z$ 까지의 최단 거리는 몇 킬로미터입니까?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 8 2024 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 여섯 마을 $A, M, C, X, Y, Z$ 사이에 일방통행 도로가 그려져 있고 각 도로의 길이(km)가 표시되어 있습니다. 이 도로들만 이용해서 $A$ 에서 $Z$ 까지 갈 때 **가장 짧은 총 거리(km)** 가 얼마인지를 묻는 문제입니다.

주어진 것: 노드(마을): $A, M, C, X, Y, Z$; 방향성 간선(거리): $A\to M = 8$, $A\to X = 5$, $X\to M = 2$, $X\to Y = 10$, $M\to Y = 6$, $M\to C = 14$, $Y\to C = 5$, $C\to Z = 10$, $Y\to Z = 17$, $M\to Z = 25$; 모든 길은 일방통행(화살표 방향으로만 이동 가능); 선택지: (A) 28, (B) 29, (C) 30, (D) 31, (E) 32

구하는 것: $A$ 에서 $Z$ 까지 가는 가장 짧은 경로의 총 거리 (km)

이해

계획

주요 도구: #1 그림 그리기

보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기, #2 빠짐없이 나열하기, #3 가능성 지우기

이 문제는 위치와 길의 연결을 다루는 전형적인 **지도 문제**입니다. 그래서 가장 먼저 할 일은 도구 #1 — 마을과 화살표·거리를 한눈에 보이게 **그림으로 정리**하는 것입니다. 그런 다음 "$A$ 에서 $Z$ 까지"라는 큰 문제를 **"$A$ 에서 각 중간 마을까지의 최단 거리"라는 작은 문제들로 쪼개면**(도구 #7), 같은 덧셈을 반복하지 않고도 답을 찾을 수 있습니다. 마지막 단계에서는 $Z$ 에 닿는 후보 경로들을 **빠짐없이 나열**(도구 #2)해 가장 짧은 것을 고르고, 그 값이 선택지에 있는지 도구 #3으로 확인합니다.

실행 — 정답: A

#1 그림 그리기 K.G.A.1 단계 1

먼저 화살표가 어느 방향으로 흐르는지를 그림으로 정리해 둡니다.
$A$ 에서 직접 나가는 화살표는 두 개($A\to X = 5$, $A\to M = 8$)이고, $Z$ 로 직접 들어오는 화살표는 세 개($M\to Z = 25$, $Y\to Z = 17$, $C\to Z = 10$)입니다.
즉 어떤 경로든 마지막 한 걸음은 $M$, $Y$, $C$ 중 하나에서 $Z$ 로 들어와야 합니다.
이 사실이 풀이의 뼈대를 잡아 줍니다.

$$A \xrightarrow{5} X,\ A \xrightarrow{8} M,\quad M \xrightarrow{25} Z,\ Y \xrightarrow{17} Z,\ C \xrightarrow{10} Z$$

💡 마을과 화살표의 위치 관계를 "위·아래·옆"으로 정리하는 것은 유치원 수준의 공간 표현 능력에서 출발합니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 2.NBT.B.5 단계 2

큰 문제("$A\to Z$ 최단 거리")를 **작은 문제들**로 쪼갭니다: 먼저 $A$ 에 가까운 마을 $X$ 와 $M$ 까지의 최단 거리를 구합니다.
$X$ 로 가는 방법은 $A\to X = 5$ 뿐이므로 $A\to X$ 최단 거리 = $5$ 입니다.
$M$ 으로 가는 방법은 두 가지: 직접 $A\to M = 8$, 또는 $A\to X\to M = 5 + 2 = 7$.
둘을 비교하면 $7 < 8$ 이므로 $A\to M$ 최단 거리 = $7$ 입니다.

$$A\to X:\ 5.\quad A\to M:\ \min(8,\ 5+2) = \min(8, 7) = 7$$

💡 두 자리 수 두 개의 합 $5+2=7$ 을 구하고 $7$ 과 $8$ 을 비교하는 일은 2학년의 100 이내 덧셈·비교 단원에 해당합니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 2.OA.A.1 단계 3

같은 방식으로 다음 층인 $Y$ 와 $C$ 까지의 최단 거리를 구합니다.
$Y$ 로 들어오는 화살표는 $X\to Y = 10$ 과 $M\to Y = 6$ 의 두 가지: $A\to X\to Y = 5 + 10 = 15$, $A\to \cdots \to M\to Y = 7 + 6 = 13$.
따라서 $A\to Y$ 최단 거리 = $13$.
$C$ 로 들어오는 화살표는 $M\to C = 14$ 와 $Y\to C = 5$ 의 두 가지: $A\to \cdots \to M\to C = 7 + 14 = 21$, $A\to \cdots \to Y\to C = 13 + 5 = 18$.
따라서 $A\to C$ 최단 거리 = $18$.

$$A\to Y:\ \min(5+10,\ 7+6) = \min(15, 13) = 13.\quad A\to C:\ \min(7+14,\ 13+5) = \min(21, 18) = 18$$

💡 두 단계 덧셈으로 거리를 더하고 더 작은 쪽을 고르는 일은 2학년의 두 단계 덧셈·뺄셈 문제에서 다루는 활동입니다.

#2 빠짐없이 나열하기 2.OA.A.1 단계 4

이제 $Z$ 로 들어오는 마지막 한 걸음 — $M\to Z$, $Y\to Z$, $C\to Z$ — 의 세 가지 경우를 **빠짐없이** 따져 봅니다.
각각의 총 거리는: ① $M$ 경유: $7 + 25 = 32$, ② $Y$ 경유: $13 + 17 = 30$, ③ $C$ 경유: $18 + 10 = 28$.
세 값을 비교하면 $28 < 30 < 32$ 이므로 최단 거리는 $28$ 입니다.

$$\min(7+25,\ 13+17,\ 18+10) = \min(32, 30, 28) = 28$$

💡 $Z$ 로 들어오는 모든 경로를 한 번씩 나열하고 더한 값을 비교하는 일은 2학년의 100 이내 두 단계 덧셈 문제에서 다루는 능력입니다.

#3 가능성 지우기 1.NBT.B.3 단계 5

구한 값 $28$ 을 선택지와 맞춰 봅니다.
후보 $28, 29, 30, 31, 32$ 중 $28$ 은 정확히 (A) 입니다.
$30$ 과 $32$ 는 우리가 이미 더 긴 경로($Y$ 경유, $M$ 직행)의 길이로 확인한 값이고, $29$ 와 $31$ 은 모든 변의 길이가 정수이고 우리가 만든 총합 어디에도 등장하지 않으므로 답이 될 수 없습니다.

$$28 \;\Rightarrow\; \textbf{(A)}$$

💡 두 자리 수 다섯 개를 크기순으로 비교해 가장 작은 것을 찾는 일은 1학년의 두 자리 수 비교에서 익히는 기능입니다.

[1] #1 K.G.A.1 먼저 화살표가 어느 방향으로 흐르는지를 그림으로 정리해 둡니다. $A$ 에서 직접 나가는 화살표는 두 개($A\to X = 5$, $A\to M

[2] #7 2.NBT.B.5 큰 문제("$A\to Z$ 최단 거리")를 **작은 문제들**로 쪼갭니다: 먼저 $A$ 에 가까운 마을 $X$ 와 $M$ 까지의 최단 거리를 구

[3] #7 2.OA.A.1 같은 방식으로 다음 층인 $Y$ 와 $C$ 까지의 최단 거리를 구합니다. $Y$ 로 들어오는 화살표는 $X\to Y = 10$ 과 $M\to Y

[4] #2 2.OA.A.1 이제 $Z$ 로 들어오는 마지막 한 걸음 — $M\to Z$, $Y\to Z$, $C\to Z$ — 의 세 가지 경우를 **빠짐없이** 따져 봅

[5] #3 1.NBT.B.3 구한 값 $28$ 을 선택지와 맞춰 봅니다. 후보 $28, 29, 30, 31, 32$ 중 $28$ 은 정확히 (A) 입니다. $30$ 과 $3

검토

합리성 확인: 최적 경로 $A \to X \to M \to Y \to C \to Z$ 의 길이를 한 번에 다시 더해 보면 $5 + 2 + 6 + 5 + 10 = 28$ 으로, 단계별로 누적한 값과 정확히 일치합니다. 또 $A$ 에서 가장 가까운 $X$($5$)로 출발해 모든 중간 마을을 거치며 짧은 변만 모은 결과이므로 $28$ 이라는 값은 크기 감각으로도 합리적입니다. $Z$ 로 직접 들어오는 단일 화살표 중 가장 짧은 것이 $C\to Z = 10$ 이라는 사실이 우리가 고른 마지막 한 걸음과 일치한다는 점도 좋은 검산이 됩니다.

대안 접근: 다른 방법으로는 도구 #2(빠짐없이 나열하기)만 단독으로 사용해 $A\to Z$ 의 모든 단순 경로를 처음부터 끝까지 직접 나열할 수도 있습니다. 다만 이 그래프에서는 가능한 경로가 7~8개나 되어 같은 부분합을 여러 번 더하게 됩니다. 그래서 #7(작은 문제로 쪼개기)을 함께 쓰는 본 풀이가 훨씬 효율적이고, 같은 답 $28$ 을 더 적은 계산으로 얻을 수 있습니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 2)

K.G.A.1 물체의 위치를 위·아래·옆·앞 등을 사용해 묘사한다 (마을과 화살표의 연결 관계를 그림으로 정리하고 $A$ 에서 나가는 길, $Z$ 로 들어오는 길을 파악하는 데 사용.)
1.NBT.B.3 두 자리 수 두 개를 기호로 비교한다 (세 경로의 총 거리 $32, 30, 28$ 을 비교해 가장 작은 값을 고르고 선택지와 맞추는 데 사용.)
2.NBT.B.5 100 이내의 덧셈과 뺄셈을 능숙하게 한다 ($5+2=7$, $5+10=15$ 같은 두 자리 수 덧셈과 $7$ 대 $8$ 의 비교에 사용.)
2.OA.A.1 100 이내의 덧셈·뺄셈을 사용한 한 단계·두 단계 문장제를 푼다 (여러 단계에 걸친 거리 누적($7+6=13$, $13+5=18$, $18+10=28$ 등)을 더하고 더 짧은 경로를 고르는 데 사용.)

⭐ 이 AMC 8 문제는 사실 2학년 때 배운 100 이내 덧셈과 두 자리 수 비교만 알면 풀려요!

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: A

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 2)

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