AMC 8 · 2008 · #22
학년 6 number-theory문제
For how many positive integer values of n are both 3n and 3n three-digit whole numbers?
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AMC 8 2008 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.
도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: $\dfrac{n}{3}$ 과 $3n$ 이 모두 세 자리 자연수가 되는 양의 정수 $n$ 은 몇 개일까요?
주어진 것: $n$ 은 양의 정수; $\dfrac{n}{3}$ 은 세 자리 자연수 (즉 $100$ 이상 $999$ 이하의 정수); $3n$ 은 세 자리 자연수 (즉 $100$ 이상 $999$ 이하의 정수); 선택지: (A) $12$, (B) $21$, (C) $27$, (D) $33$, (E) $34$
구하는 것: 두 조건을 모두 만족하는 양의 정수 $n$ 의 개수
이해
문제 재정리: $\dfrac{n}{3}$ 과 $3n$ 이 모두 세 자리 자연수가 되는 양의 정수 $n$ 은 몇 개일까요?
주어진 것: $n$ 은 양의 정수; $\dfrac{n}{3}$ 은 세 자리 자연수 (즉 $100$ 이상 $999$ 이하의 정수); $3n$ 은 세 자리 자연수 (즉 $100$ 이상 $999$ 이하의 정수); 선택지: (A) $12$, (B) $21$, (C) $27$, (D) $33$, (E) $34$
계획
주요 도구: #7 작은 문제로 나누기
보조 도구: #13 세는 방법 정리하기
같은 $n$ 에 두 조건이 겹쳐 있으니, 도구 #7(작은 문제로 나누기)이 자연스럽습니다 — 조건 하나씩 따로 처리한 다음 합치는 거죠. 조건 1($\tfrac{n}{3}$ 이 세 자리 자연수)은 $n$ 의 범위 한 개와 "$n$ 이 $3$ 의 배수" 라는 규칙을 줍니다. 조건 2($3n$ 이 세 자리 자연수)는 $n$ 의 또 다른 범위를 줍니다. 두 범위를 겹친 뒤, 도구 #13(세는 방법 정리하기)으로 그 구간 안의 $3$ 의 배수를 셉니다.
실행 — 정답: A
6.EE.B.8 단계 1 - 첫 번째 조건을 $n$ 에 대한 부등식으로 바꿉니다.
- $\dfrac{n}{3}$ 이 세 자리 자연수라는 말은 $100 \le \dfrac{n}{3} \le 999$ 라는 뜻.
- 각 변에 $3$ 을 곱합니다.
💡 크기 조건을 부등식으로 옮기는 것은 6학년 "조건을 부등식으로 쓰기" 그대로입니다.
4.OA.B.4 단계 2 - 같은 조건은 "$\dfrac{n}{3}$ 이 자연수" 라는 뜻도 포함하므로, $n$ 은 $3$ 의 배수여야 합니다.
- 이 나눗셈 규칙은 범위와 함께 가져갑니다.
💡 4학년 배수 개념: $\tfrac{n}{3}$ 이 자연수가 되는 $n$ 은 정확히 $3, 6, 9, 12, \ldots$ 의 배수들입니다.
6.EE.B.8 단계 3 - 두 번째 조건도 $n$ 에 대한 부등식으로 바꿉니다.
- $3n$ 이 세 자리 자연수라는 말은 $100 \le 3n \le 999$.
- 각 변을 $3$ 으로 나눕니다.
💡 $n$ 이 정수이고 $\tfrac{100}{3} \approx 33.3$ 이므로 가능한 가장 작은 정수는 $34$. ($n$ 이 정수면 $3n$ 은 자동으로 자연수.)
6.EE.B.5 단계 4 - 두 범위를 겹칩니다.
- $n$ 은 $300 \le n \le 2997$ 과 $34 \le n \le 333$ 을 동시에 만족해야 하므로, 두 구간의 공통 부분에 들어갑니다.
💡 6학년 부등식 사고: 모든 조건을 동시에 만족하는 값만 남깁니다.
4.OA.C.5 단계 5 - $[300, 333]$ 안의 $3$ 의 배수를 셉니다.
- 목록은 $300, 303, 306, \ldots, 333$.
- 등차수열 항 개수 공식 $\dfrac{\text{끝} - \text{시작}}{\text{간격}} + 1$ 을 사용합니다.
💡 일정 간격으로 늘어선 수를 세는 것은 4학년 "규칙이 있는 수 배열" 개념: 이 구간 안에 $3$ 의 배수가 $12$ 개 들어갑니다.
6.EE.B.8 첫 번째 조건을 $n$ 에 대한 부등식으로 바꿉니다. $\dfrac{n}{3}$ 이 세 자리 자연수라는 말은 $100 \le \dfrac{n}{ 4.OA.B.4 같은 조건은 "$\dfrac{n}{3}$ 이 자연수" 라는 뜻도 포함하므로, $n$ 은 $3$ 의 배수여야 합니다. 이 나눗셈 규칙은 범위와 함 6.EE.B.8 두 번째 조건도 $n$ 에 대한 부등식으로 바꿉니다. $3n$ 이 세 자리 자연수라는 말은 $100 \le 3n \le 999$. 각 변을 $3 6.EE.B.5 두 범위를 겹칩니다. $n$ 은 $300 \le n \le 2997$ 과 $34 \le n \le 333$ 을 동시에 만족해야 하므로, 두 구간 4.OA.C.5 $[300, 333]$ 안의 $3$ 의 배수를 셉니다. 목록은 $300, 303, 306, \ldots, 333$. 등차수열 항 개수 공식 $\ 검토
합리성 확인: 양 끝값을 확인해 봅시다. $n = 300$ 일 때: $\tfrac{n}{3} = 100$ (세 자리 수 중 가장 작음), $3n = 900$ (여전히 세 자리). $n = 333$ 일 때: $\tfrac{n}{3} = 111$ (여전히 세 자리), $3n = 999$ (세 자리 수 중 가장 큼). 양 끝이 모두 통과하므로 구간 $[300, 333]$ 이 정확히 맞고, 그 안의 $3$ 의 배수 $12$ 개가 모두 답이 됩니다.
대안 접근: 도구 #4(변수 도입하기): $x = \tfrac{n}{3}$ 으로 두면 $n = 3x$, $3n = 9x$ 가 됩니다. 조건은 "$x$ 가 세 자리 자연수" 와 "$9x$ 가 세 자리 자연수" 로 바뀌고, 첫 조건은 $100 \le x \le 999$, 둘째 조건은 $100 \le 9x \le 999$, 즉 $12 \le x \le 111$. 겹치면 $100 \le x \le 111$, 이 범위의 정수 $x$ 는 $111 - 100 + 1 = 12$ 개. 답 (A) 와 일치합니다.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)
4.OA.B.4자연수의 약수쌍 구하기 및 배수 알아보기 ("$\tfrac{n}{3}$ 이 자연수" 를 "$n$ 이 $3$ 의 배수" 로 옮기는 데 사용.)4.OA.C.5주어진 규칙을 따르는 수 배열·도형 배열 만들기 (최종 구간 안의 $3$ 의 배수를 $300, 303, 306, \ldots, 333$ 으로 나열하고 등차수열 개수 공식으로 세는 데 사용.)6.EE.B.8조건을 $x > c$ 또는 $x < c$ 형태의 부등식으로 나타내기 (세 자리 조건으로부터 $100 \le \tfrac{n}{3} \le 999$ 와 $100 \le 3n \le 999$ 를 세우는 데 사용.)6.EE.B.5부등식의 해를 "부등식을 참으로 만드는 값을 찾는 과정" 으로 이해하기 (두 범위를 겹쳐 $300 \le n \le 333$ 을 양쪽 조건을 모두 만족하는 $n$ 의 집합으로 얻는 데 사용.)
⭐ 같은 $n$ 에 규칙이 두 개? 규칙마다 범위를 따로 만들고, 둘 다 통과하는 $n$ 만 남기세요 — 분수 조건이 주는 배수 규칙도 잊지 말고요. 그러면 이 AMC 8 문제는 $300$ 부터 $333$ 까지의 $3$ 의 배수를 세는 일로 줄어듭니다.
⭐ 같은 $n$ 에 규칙이 두 개? 규칙마다 범위를 따로 만들고, 둘 다 통과하는 $n$ 만 남기세요 — 분수 조건이 주는 배수 규칙도 잊지 말고요. 그러면 이 AMC 8 문제는 $300$ 부터 $333$ 까지의 $3$ 의 배수를 세는 일로 줄어듭니다.
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