AMC 8 · 2008 · #24

학년 8 counting

유형 Overlap / Complement Counting └ 세부 유형 Complement by Subtracting Forbidden Arrangements

probability-basicperfect-squaressystematic-enumerationfraction-arithmetic caseworksystematic-enumeration ↑ 선수 지식: probability-basicperfect-squares

📏 짧은 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

Ten tiles numbered $1$ through $10$ are turned face down. One tile is turned up at random, and a die is rolled. What is the probability that the product of the numbers on the tile and the die will be a square?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\frac{1}{10}$

(B)

$\frac{1}{6}$

(C)

$\frac{11}{60}$

(D)

$\frac{1}{5}$

(E)

$\frac{7}{30}$

AMC 8 2008 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: $1$ 부터 $10$ 까지 번호가 적힌 타일 $10$ 장이 뒤집어져 있습니다. 한 장을 무작위로 뒤집고 주사위를 한 번 굴립니다. (타일 번호) $\times$ (주사위 눈)이 완전제곱수가 될 확률은 얼마일까요?

주어진 것: 타일 번호는 $1, 2, 3, \ldots, 10$ (타일 결과 $10$ 가지, 모두 동등); 주사위 눈은 $1, 2, 3, 4, 5, 6$ (눈 결과 $6$ 가지, 모두 동등); 두 시행은 서로 독립; 선택지: (A) $\tfrac{1}{10}$, (B) $\tfrac{1}{6}$, (C) $\tfrac{11}{60}$, (D) $\tfrac{1}{5}$, (E) $\tfrac{7}{30}$

구하는 것: 곱이 완전제곱수가 될 확률

이해

계획

주요 도구: #13 꼼꼼히 세기

보조 도구: #7 더 작은 문제로 나누기

유한하고 동등한 표본공간에서 확률은 $\dfrac{\text{성공}}{\text{전체}}$ 이므로 결국 "세기" 문제예요 — 도구 #13의 자리입니다. 전체 $10 \times 6 = 60$ 은 바로 보이지만, 성공 쌍의 개수는 도구 #7로 타일별로 나눠 풀어요: 타일 $T$ 를 고정하고 $\{1, \ldots, 6\}$ 중 어떤 $D$ 가 $T \cdot D$ 를 완전제곱수로 만드는지 봅니다. $T$ 의 "제곱이 아닌 부분"을 보면 가능한 $D$ 가 한눈에 정해집니다.

실행 — 정답: C

#13 꼼꼼히 세기 7.SP.C.8 단계 1

동등한 전체 경우의 수를 세요.
타일이 $10$ 가지, 주사위가 $6$ 가지이고 둘은 독립이에요.

$$\text{전체 쌍의 수} = 10 \times 6 = 60$$

💡 7학년에서 복합 사건의 확률은 표본공간 크기로 시작합니다. 여기서는 $60$ 이에요.

#7 더 작은 문제로 나누기 8.EE.A.2 단계 2

완전제곱 판정 도구를 세웁니다.
$T = s \cdot k^2$ 로 쓰면 ($s$ 는 "제곱이 아닌 부분", 즉 같은 소수가 두 번 들어 있지 않은 부분) $T \cdot D$ 가 완전제곱수 $\Longleftrightarrow$ $D$ 도 같은 $s$ 를 가져야 합니다.
다시 말해 $D = s \cdot m^2$ 꼴이어야 해요.
그러니 각 타일마다 $\{1, \ldots, 6\}$ 안에서 $s$ 의 배수 중 몫이 완전제곱인 것만 찾으면 됩니다.

$$T = s \cdot k^2, \; D = s \cdot m^2 \;\Longrightarrow\; T \cdot D = s^2 \cdot (km)^2 = (skm)^2$$

💡 8학년 "제곱근 다루기"의 핵심: 두 수의 곱이 완전제곱이려면 두 수의 "제곱이 아닌 부분"이 똑같아야 합니다.

#7 더 작은 문제로 나누기 7.SP.C.8 단계 3

타일을 하나씩 봅니다.
각 $T$ 의 제곱이 아닌 부분 $s$ 를 구한 뒤 $\{1, \ldots, 6\}$ 중 $s \cdot m^2$ 꼴인 $D$ 를 모두 적어요.

$$\begin{array}{l|l|l} T & s & \text{가능한 } D \\\hline 1 & 1 & 1, 4 \\ 2 & 2 & 2 \\ 3 & 3 & 3 \\ 4 & 1 & 1, 4 \\ 5 & 5 & 5 \\ 6 & 6 & 6 \\ 7 & 7 & \text{없음} \\ 8 & 2 & 2 \\ 9 & 1 & 1, 4 \\ 10 & 10 & \text{없음} \end{array}$$

💡 각 행이 작은 부분 문제예요: "$T$ 를 완전제곱으로 만들려면 주사위가 무엇을 보태야 할까?" $s > 6$ 이면 답이 없습니다.

#13 꼼꼼히 세기 7.SP.C.8 단계 4

성공 쌍을 모두 모아 더한 뒤 전체로 나눕니다.
가능한 $(T, D)$ 쌍은 $(1,1), (1,4), (2,2), (3,3), (4,1), (4,4), (5,5), (6,6), (8,2), (9,1), (9,4)$ — 모두 $11$ 개예요.

$$P = \dfrac{11}{60} \;\Rightarrow\; \textbf{(C)}$$

💡 성공 ÷ 전체 = $\tfrac{11}{60}$. $\gcd(11, 60) = 1$ 이라 더 줄지 않아요.

[1] #13 7.SP.C.8 동등한 전체 경우의 수를 세요. 타일이 $10$ 가지, 주사위가 $6$ 가지이고 둘은 독립이에요.

[2] #7 8.EE.A.2 완전제곱 판정 도구를 세웁니다. $T = s \cdot k^2$ 로 쓰면 ($s$ 는 "제곱이 아닌 부분", 즉 같은 소수가 두 번 들어 있지

[3] #7 7.SP.C.8 타일을 하나씩 봅니다. 각 $T$ 의 제곱이 아닌 부분 $s$ 를 구한 뒤 $\{1, \ldots, 6\}$ 중 $s \cdot m^2$ 꼴인

[4] #13 7.SP.C.8 성공 쌍을 모두 모아 더한 뒤 전체로 나눕니다. 가능한 $(T, D)$ 쌍은 $(1,1), (1,4), (2,2), (3,3), (4,1), (

검토

합리성 확인: 몇 쌍만 직접 확인해 봐요: $1 \cdot 4 = 4 = 2^2$ (성공), $8 \cdot 2 = 16 = 4^2$ (성공), $9 \cdot 4 = 36 = 6^2$ (성공). 타일 $7$ 과 $10$ 의 제곱이 아닌 부분은 각각 $7, 10$ 으로 $6$ 보다 크니까 어떤 주사위 눈도 못 막아요 — 표의 "없음" 칸과 일치합니다. 또 $\tfrac{11}{60} \approx 0.183$ 이므로 선택지 (B) $\tfrac{1}{6} \approx 0.167$ 과 (D) $\tfrac{1}{5} = 0.20$ 사이예요. 정확히 $11$ 개를 표현하는 분수는 (C) 뿐입니다.

대안 접근: 도구 #2(체계적인 목록 만들기): $10 \times 6$ 표에 $60$ 개의 곱을 모두 적고 완전제곱수($1, 4, 9, 16, 25, 36$)에 동그라미를 칩니다. 똑같이 $11$ 칸이 표시되어 같은 답이 나오지만 시간은 더 걸려요.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

7.SP.C.8 체계적인 목록, 표, 시뮬레이션을 이용해 복합 사건의 확률 구하기 (표본공간 크기($60$ 개 쌍)와 성공 사건의 크기($11$ 개 쌍)를 세어 $P = \tfrac{11}{60}$ 을 얻는 데 사용.)
8.EE.A.2 제곱근·세제곱근 기호 사용하기; 작은 완전제곱수의 제곱근 다루기 ($T \cdot D$ 가 완전제곱 $\Longleftrightarrow$ $T$ 와 $D$ 의 제곱이 아닌 부분이 같다는 사실을 통해 완전제곱 판정 조건을 세우는 데 사용.)

⭐ 어림하지 말고 빠짐없이 세요. 타일을 하나씩 잡고 주사위 눈 중 어떤 것이 곱을 완전제곱수로 만드는지 확인해 표시합니다. $60$ 개 쌍 중 성공 $11$ 개라서 $\tfrac{11}{60}$ 이에요.

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: C

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

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