AMC 8 · 2025 · #25

학년 8 countinggeometry-2d

유형 Overlap / Complement Counting └ 세부 유형 Geometric Area via Inclusion-Exclusion or Area Balance

combinations-basicreflection-symmetryarea-rectanglessystematic-enumeration complementary-countingeasier-related-problempattern-recognition ↑ 선수 지식: combinations-basicarea-rectanglesreflection-symmetry

📏 긴 풀이 💡 4 개 인사이트 📊 도형

문제

마카일라는 $5 \times 5$ 의 다이아몬드 모양 격자 위에 그릴 수 있는 모든 경로를 찾고 있습니다. 각 경로는 격자의 가장 아래쪽 꼭짓점에서 출발하여 가장 위쪽 꼭짓점에 도착하며, 매 단계마다 북동쪽 또는 북서쪽으로 한 단위씩만 이동합니다. 그녀는 각 경로와 격자의 오른쪽 변 사이에 있는 영역의 넓이를 계산합니다. 두 가지 예가 아래 그림에 나와 있습니다. 가능한 모든 경로에 대해 정해지는 영역들의 넓이를 모두 더한 값은 얼마입니까?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

2520

(B)

3150

(C)

3840

(D)

4730

(E)

5050

AMC 8 2025 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: $5 \times 5$ 다이아몬드 모양의 격자(정사각형을 $45°$ 회전시킨 모양) 위에서, 모든 격자 경로는 가장 아래 꼭짓점에서 출발해 가장 위 꼭짓점에 도착합니다. 각 단계마다 북동(NE) 또는 북서(NW) 방향으로 한 칸씩 이동합니다. 경로마다 그 경로와 다이아몬드의 오른쪽 변 사이에 갇힌 영역의 넓이를 잰 다음, 가능한 모든 경로에 대해 이 넓이를 모두 더한 값을 구해야 합니다.

주어진 것: $5 \times 5$ 다이아몬드 격자(단위 정사각형 $25$ 개); 각 단계는 NE 한 칸 또는 NW 한 칸; 경로는 항상 가장 아래 꼭짓점에서 가장 위 꼭짓점까지 이어짐; 그림 속 두 예시 경로의 오른쪽 넓이는 각각 $11$ 과 $13$; 선택지: (A) $2520$, (B) $3150$, (C) $3840$, (D) $4730$, (E) $5050$

구하는 것: 가능한 모든 아래$\to$위 경로에 대한 오른쪽 영역 넓이의 총합

이해

계획

주요 도구: #16 관점 바꾸기 / 여사건 세기

보조 도구: #9 더 쉬운 문제로 줄이기, #2 빠짐없이 나열하기, #1 그림 그리기

$252$ 개 경로의 오른쪽 넓이를 하나씩 더해 가는 방법은 비현실적입니다. 도구 #16(관점 바꾸기)을 쓰면 깔끔해집니다 — 각 경로 $P$ 마다 NE 와 NW 를 모두 뒤바꾼 거울 경로 $P'$ 와 짝을 지으면, $A_R(P') = A_L(P) = 25 - A_R(P)$ 이므로 어떤 한 쌍이든 넓이 합이 정확히 $25$ 가 되어 개별 넓이를 몰라도 됩니다. 도구 #9(더 쉬운 문제)는 $1\times1$, $2\times2$ 다이아몬드에서 먼저 이 발상을 검증해 보는 용도이고, 도구 #2(빠짐없이 나열하기)는 $10$ 단계 수열을 $\binom{10}{5} = 252$ 가지로 세는 데 사용합니다. 도구 #1(그림 그리기)은 "다이아몬드, 한 경로, 오른쪽 영역" 을 헷갈리지 않게 잡아 줍니다.

실행 — 정답: B

#1 그림 그리기 4.G.A.3 단계 1

다이아몬드와 경로 하나를 그려 봅니다.
$5\times5$ 정사각형을 $45°$ 돌린 모양이므로, NE 와 NW 는 회전 전 정사각형의 두 격자 방향에 해당합니다.
경로는 NE $5$ 번 + NW $5$ 번으로 아래 꼭짓점에서 위 꼭짓점까지 올라가고, "오른쪽 영역" 은 경로 오른쪽이면서 다이아몬드 오른쪽 변 왼쪽인 부분입니다.

$$5 \text{ NE} + 5 \text{ NW} = 10 \text{ 단계}$$

💡 다이아몬드와 예시 경로를 그려 보면, 위·아래 꼭짓점을 지나는 수직선이 자연스러운 대칭축이라는 점이 한눈에 들어옵니다.

#2 빠짐없이 나열하기 7.SP.C.8 단계 2

전체 경로의 수를 셉니다.
각 경로는 $10$ 단계 중 어디에 NE 를 둘지 정하는 문제이므로, NE 자리 $5$ 개를 고르는 조합의 수가 곧 경로 수입니다.

$$\binom{10}{5} = \dfrac{10!}{5!\,5!} = \dfrac{10\cdot 9\cdot 8\cdot 7\cdot 6}{5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1} = 252$$

💡 NE/NW 글자 $5$ 개씩으로 이루어진 길이 $10$ 인 문자열을 빠짐없이 나열해 세는 것은 7학년 "복합 사건을 표로 정리해 세기" 그대로입니다.

#9 더 쉬운 문제로 줄이기 4.OA.C.5 단계 3

대칭 발상을 더 작은 다이아몬드에서 먼저 검증합니다.
$1 \times 1$ 다이아몬드에는 경로가 NE-NW, NW-NE 두 가지뿐이고 오른쪽 넓이는 $1, 0$ 이라 합이 $1 = 2 \times \tfrac{1}{2}$.
$2 \times 2$ 다이아몬드에서는 $\binom{4}{2}=6$ 개 경로의 오른쪽 넓이가 $\{0,1,1,3,3,4\}$ 이고 합이 $12 = 6 \times \tfrac{4}{2}$.
두 경우 모두 "합 = 경로 수 $\times$ 격자 전체 넓이의 절반" 이 성립하므로, $5 \times 5$ 에서도 같은 전략을 신뢰할 수 있습니다.

$1 \times 1: \sum A_R = 0+1 = 1 = 2 \times \tfrac{1}{2}.$ $\quad 2 \times 2: \sum A_R = 0+1+1+3+3+4 = 12 = 6 \times \tfrac{4}{2}.$

💡 같은 설정을 아주 작은 격자에서 먼저 풀어 보면, "합 = 경로 수 $\times$ 격자 넓이의 절반" 이라는 규칙이 보이고 큰 격자에서도 안심하고 쓸 수 있습니다.

#16 관점 바꾸기 / 여사건 세기 8.G.A.1 단계 4

이제 도구 #16(관점 바꾸기)을 적용합니다.
임의의 경로 $P$ 에 대해, 모든 NE 를 NW 로 바꿔서 거울 경로 $P'$ 를 정의합니다.
$P'$ 도 똑같이 유효한 경로이고, $P'$ 의 오른쪽 넓이는 $P$ 의 왼쪽 넓이와 같습니다.
또한 한 경로의 오른쪽과 왼쪽 영역은 다이아몬드 전체를 덮으므로 $A_R(P) + A_L(P) = 25$ 입니다.

$$A_R(P) + A_L(P) = 25, \qquad A_R(P') = A_L(P)$$

💡 도형을 거울처럼 뒤집는 반사(8학년 강체 변환)는 좌우를 바꾸지만 길이와 넓이는 그대로 둡니다.

#16 관점 바꾸기 / 여사건 세기 6.EE.A.3 단계 5

위 두 식을 합쳐서 짝을 이룹니다.
순서 없는 짝 $\{P, P'\}$ 마다 $A_R(P) + A_R(P') = A_R(P) + A_L(P) = 25$ 가 됩니다.
혹시 $P$ 자체가 자기 대칭이라 $P=P'$ 인 경우에도 같은 식이 $2A_R(P) = 25$ 를 강제하므로 그 경로 역시 자기 짝과 함께 셀 때 $25$ 를 기여합니다.
결국 $252$ 개 경로 모두 짝 합이 $25$ 가 되도록 묶을 수 있습니다.

$$A_R(P) + A_R(P') = 25 \quad (\text{모든 경로 } P)$$

💡 두 넓이 식을 더하면 모르는 값 $A_R(P)$ 가 상쇄되고 상수 $25$ 만 남는다는 점이 "관점 바꾸기" 의 핵심 수확입니다.

#16 관점 바꾸기 / 여사건 세기 7.NS.A.3 단계 6

$252$ 개 경로 전체에 대해 합을 구합니다.
각 경로의 오른쪽 넓이와 그 거울 경로의 오른쪽 넓이가 항상 $25$ 를 이루므로, 평균 오른쪽 넓이는 $\tfrac{25}{2}$ 이고 총합은 경로 수 $\times$ 평균입니다.

$$\displaystyle\sum_{P} A_R(P) = 252 \cdot \dfrac{25}{2} = 126 \cdot 25 = 3150 \;\Rightarrow\; \textbf{(B)}$$

💡 개수에 평균(격자 넓이의 절반)을 곱해 총합을 구하는 것은 7학년 유리수 사칙연산 그대로입니다.

[1] #1 4.G.A.3 다이아몬드와 경로 하나를 그려 봅니다. $5\times5$ 정사각형을 $45°$ 돌린 모양이므로, NE 와 NW 는 회전 전 정사각형의 두 격자

[2] #2 7.SP.C.8 전체 경로의 수를 셉니다. 각 경로는 $10$ 단계 중 어디에 NE 를 둘지 정하는 문제이므로, NE 자리 $5$ 개를 고르는 조합의 수가 곧

[3] #9 4.OA.C.5 대칭 발상을 더 작은 다이아몬드에서 먼저 검증합니다. $1 \times 1$ 다이아몬드에는 경로가 NE-NW, NW-NE 두 가지뿐이고 오른쪽

[4] #16 8.G.A.1 이제 도구 #16(관점 바꾸기)을 적용합니다. 임의의 경로 $P$ 에 대해, 모든 NE 를 NW 로 바꿔서 거울 경로 $P'$ 를 정의합니다.

[5] #16 6.EE.A.3 위 두 식을 합쳐서 짝을 이룹니다. 순서 없는 짝 $\{P, P'\}$ 마다 $A_R(P) + A_R(P') = A_R(P) + A_L(P) =

[6] #16 7.NS.A.3 $252$ 개 경로 전체에 대해 합을 구합니다. 각 경로의 오른쪽 넓이와 그 거울 경로의 오른쪽 넓이가 항상 $25$ 를 이루므로, 평균 오른쪽

검토

합리성 확인: 그림에 주어진 두 예시 경로의 오른쪽 넓이가 $11$ 과 $13$ 으로 모두 $25$ 의 절반 부근입니다. 대칭성에 의해 $252$ 개 경로의 평균 오른쪽 넓이는 정확히 $25$ 의 절반인 $\tfrac{25}{2} = 12.5$ 가 되어야 하는데, 이는 $11$ 과 $13$ 사이에 깔끔하게 자리 잡습니다. 따라서 $252 \times 12.5 = 3150$ 이고, 이는 3단계에서 작은 격자로 확인한 규칙("합 = 경로 수 $\times$ 넓이의 절반")과도 일치하는 선택지 (B) 입니다. 다른 선택지로는 (A) $2520$ 이면 평균 $10$, (C) $3840$ 이면 평균 $15.24$ 가 되어야 하는데, 거울 대칭 아래에서는 둘 다 성립할 수 없습니다.

대안 접근: 도구 #5(패턴 찾기)와 도구 #14(차이의 규칙)로도 같은 답을 얻을 수 있습니다. $n \times n$ 다이아몬드의 총합을 $n = 1, 2, 3, 4, 5$ 에 대해 계산하면 $1, 12, 90, 560, 3150$ 의 수열이 나오고, 각 값은 $\binom{2n}{n} \cdot \tfrac{n^2}{2}$ (경로 수 $\times$ 격자 넓이의 절반) 로 정리됩니다. $n=5$ 대입 시 $\binom{10}{5} \cdot \tfrac{25}{2} = 252 \cdot 12.5 = 3150$ 으로 확인됩니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

4.G.A.3 이차원 도형의 대칭축 인식 (다이아몬드의 위·아래 꼭짓점을 지나는 수직 대칭축을 찾아내고, 이를 경로를 거울처럼 뒤집는 축으로 활용.)
4.OA.C.5 주어진 규칙에 따라 수·도형 패턴 생성 ($1\times1$, $2\times2$ 다이아몬드의 작은 사례에서 "합 = 경로 수 $\times$ 넓이의 절반" 규칙을 직접 만들어 검증한 뒤 $5\times5$ 에 적용.)
6.EE.A.3 연산의 성질을 이용해 동치식 만들기 ($A_R(P)+A_L(P)=25$ 와 $A_R(P')=A_L(P)$ 를 대입·결합해 $A_R(P)+A_R(P')=25$ 라는 깔끔한 식으로 변형.)
7.SP.C.8 표·목록·시뮬레이션으로 복합 사건의 경우의 수 구하기 (NE 와 NW 가 각 $5$ 개인 길이 $10$ 수열을 체계적으로 나열해 $\binom{10}{5}=252$ 가지 경로를 셈.)
7.NS.A.3 유리수의 사칙연산으로 실생활·수학 문제 해결 ($252 \times \tfrac{25}{2} = 3150$ 의 유리수 곱셈으로 $252$ 개 넓이의 총합을 계산.)
8.G.A.1 회전·반사·평행이동의 성질 실험적 확인 (각 경로를 다이아몬드의 수직축에 대해 반사해 오른쪽·왼쪽 넓이가 맞바뀌는 짝 경로를 만드는, 대칭 짝짓기의 핵심 동작.)

⭐ 이 AMC 8 문제는 사실 8학년 때 배운 "반사 대칭" 만 알면 풀 수 있어요 — 각 경로를 가운데 축으로 뒤집어 짝을 지으면 두 넓이의 합이 항상 $25$ 가 되거든요!

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: B

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

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