AMC 8 · 2008 · #25

학년 7 geometry-2d

유형 Compound Area by Decomposition / Difference └ 세부 유형 Nested Frame / Concentric Difference

area-circlesfraction-arithmeticpercentagepattern-recognition area-differenceidentify-subproblems ↑ 선수 지식: area-circlespercentage

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트 📊 도형

문제

Margie's winning art design is shown. The smallest circle has radius 2 inches, with each successive circle's radius increasing by 2 inches. Which of the following is closest to the percent of the design that is black?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 8 2008 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 여섯 개의 원으로 만든 과녁 모양 디자인입니다. 가장 작은 원의 반지름은 $2$ 인치이고, 다음 원마다 반지름이 $2$ 인치씩 커집니다. 색은 검정·흰색이 번갈아 나오고, 가장 바깥쪽 고리는 흰색입니다. 디자인 전체에서 검은색이 차지하는 비율(%)은 얼마이고, 선택지 중 가장 가까운 값은 무엇인가요?

주어진 것: 여섯 개 원의 반지름은 작은 것부터 $2, 4, 6, 8, 10, 12$ 인치; 색이 번갈아 칠해져 있고, 그림에서 가장 바깥쪽 고리는 흰색, 가장 안쪽 원은 검은색; 선택지: (A) $42$, (B) $44$, (C) $45$, (D) $46$, (E) $48$

구하는 것: 디자인 전체 넓이 중 검은색 영역이 차지하는 비율(%)

이해

계획

주요 도구: #7 작은 문제로 쪼개기

보조 도구: #15 시각화하기

검은 부분은 하나의 도형이 아니라 가장 안쪽 원판 한 개와 검은 고리 두 개로 나뉘어 있어요. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 각 검은 조각의 넓이를 따로 구한 뒤 더하면 됩니다. 도구 #15(시각화하기)는 그림 읽기에 씁니다. 바깥부터 안쪽으로 색을 따라가면 흰·검·흰·검·흰·검 순서이고, 그래야 어떤 반지름들이 어떤 검은 영역의 경계인지 정확히 잡힙니다. 검은 넓이와 전체 넓이를 손에 쥐면 비율은 나눗셈 한 번.

실행 — 정답: A

#7 작은 문제로 쪼개기 7.G.B.4 단계 1

여섯 개 원의 반지름과 넓이를 정리합니다.
반지름은 $2$ 씩 커지므로 $2, 4, 6, 8, 10, 12$.
각 원의 넓이는 $A = \pi r^2$.

$$A_1=4\pi,\; A_2=16\pi,\; A_3=36\pi,\; A_4=64\pi,\; A_5=100\pi,\; A_6=144\pi$$

💡 7학년 원의 넓이 공식을 여섯 번 적용. 짝수의 제곱은 $4, 16, 36, 64, 100, 144$ 로 간단합니다.

#15 시각화하기 7.G.B.4 단계 2

그림을 보고 어디가 검은색인지 확인합니다.
바깥에서 안쪽으로 색이 흰·검·흰·검·흰·검 으로 번갈아 나타나므로, 검은 부분은 세 조각입니다.
(i) 원 $5$ (반지름 $10$) 와 원 $4$ (반지름 $8$) 사이 고리, (ii) 원 $3$ (반지름 $6$) 와 원 $2$ (반지름 $4$) 사이 고리, (iii) 가장 안쪽 원 (반지름 $2$).

$$\text{검정} = (A_5 - A_4) + (A_3 - A_2) + A_1$$

💡 도구 #15: 바깥부터 고리를 W, B, W, B, W, B 로 표시. 고리 넓이는 바깥 원판에서 안쪽 원판을 빼면 됩니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 7.NS.A.3 단계 3

각 검은 조각의 넓이를 계산해서 더합니다.
1단계의 원판 넓이를 그대로 사용.

$$(100\pi - 64\pi) + (36\pi - 16\pi) + 4\pi = 36\pi + 20\pi + 4\pi = 60\pi$$

💡 공통 인수 $\pi$ 는 그대로 두고 7학년 수준의 덧셈·뺄셈.

#7 작은 문제로 쪼개기 7.NS.A.3 단계 4

디자인 전체는 가장 바깥 원 안에 들어 있으므로 총 넓이는 $A_6 = 144\pi$.
검은 넓이를 총 넓이로 나누어 검은색이 차지하는 분수를 구합니다.

$$\dfrac{60\pi}{144\pi} = \dfrac{60}{144} = \dfrac{5}{12}$$

💡 $\pi$ 는 분자·분모에서 약분. $60$ 과 $144$ 의 공약수 $12$ 로 줄이면 $\tfrac{5}{12}$.

#7 작은 문제로 쪼개기 6.RP.A.3 단계 5

$\tfrac{5}{12}$ 를 백분율로 바꾸고 가장 가까운 선택지를 고릅니다.

$$\dfrac{5}{12} = 0.41\overline{6} \approx 41.7\% \;\Rightarrow\; \textbf{(A) } 42$$

💡 6학년 백분율: 분수에 $100\%$ 를 곱합니다. $41.7\%$ 에 가장 가까운 보기는 $42$.

[1] #7 7.G.B.4 여섯 개 원의 반지름과 넓이를 정리합니다. 반지름은 $2$ 씩 커지므로 $2, 4, 6, 8, 10, 12$. 각 원의 넓이는 $A = \pi

[2] #15 7.G.B.4 그림을 보고 어디가 검은색인지 확인합니다. 바깥에서 안쪽으로 색이 흰·검·흰·검·흰·검 으로 번갈아 나타나므로, 검은 부분은 세 조각입니다. (

[3] #7 7.NS.A.3 각 검은 조각의 넓이를 계산해서 더합니다. 1단계의 원판 넓이를 그대로 사용.

[4] #7 7.NS.A.3 디자인 전체는 가장 바깥 원 안에 들어 있으므로 총 넓이는 $A_6 = 144\pi$. 검은 넓이를 총 넓이로 나누어 검은색이 차지하는 분수를

[5] #7 6.RP.A.3 $\tfrac{5}{12}$ 를 백분율로 바꾸고 가장 가까운 선택지를 고릅니다.

검토

합리성 확인: 감각 체크. 흰 고리 세 개의 넓이는 $144\pi - 100\pi = 44\pi$, $64\pi - 36\pi = 28\pi$, $16\pi - 4\pi = 12\pi$ 이고 합은 $84\pi$. 검정 $60\pi$ + 흰색 $84\pi$ = 전체 $144\pi$ 로 딱 들어맞습니다. 가장 넓은 바깥 고리가 흰색이라서 흰색이 조금 더 많은 게 자연스럽고, 비율로 보면 흰 $58.3\%$ 대 검정 $41.7\%$. 보기 중 $50\%$ 보다 작은 값은 (A) $42$ 뿐이고, 그림이 가리키는 위치와 정확히 맞습니다.

대안 접근: 도구 #5(규칙 찾기): $\pi$ 는 떼고 $r^2$ 만 추적해 봅니다. 검은 부분은 바깥부터 부호를 번갈아 가며 $r^2 = 100 - 64 + 36 - 16 + 4 = 60$. 전체는 $r^2 = 144$. 비율 $\tfrac{60}{144} = \tfrac{5}{12} \approx 41.7\%$ — $\pi$ 한 번 쓰지 않고 같은 답 (A).

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)

7.G.B.4 원의 넓이와 둘레 공식을 알고, 문제 해결에 활용하기 ($r = 2, 4, 6, 8, 10, 12$ 인 각 원의 넓이를 $\pi r^2$ 로 구하고, 검은 고리를 (바깥 원판) $-$ (안쪽 원판) 으로 표현하는 데 사용.)
7.NS.A.3 유리수의 사칙연산을 포함한 실생활 및 수학 문제 해결 ($\pi$ 가 붙은 값들을 더하고 빼서 검은 넓이 $60\pi$ 를 구하고, $\tfrac{60}{144}$ 을 $\tfrac{5}{12}$ 로 약분하는 데 사용.)
6.RP.A.3 비와 비율 추론으로 백분율 등 실생활 문제 해결 (분수 $\tfrac{5}{12}$ 을 백분율 $41.7\%$ 로 바꾸고 가장 가까운 보기를 선택하는 데 사용.)

⭐ 검은 영역을 한 번에 재려고 하지 마세요. 작은 원 하나와 고리 두 개로 잘라 $\pi r^2$ 로 각각 구하면 비율이 깔끔하게 떨어집니다.

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: A

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)

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