AMC 8 · 2009 · #10

학년 7 probability

유형 Overlap / Complement Counting └ 세부 유형 At-Least-One Complement: 1 − P(None)

probability-basicarea-rectanglesfraction-arithmetic identify-subproblemseasier-related-problem ↑ 선수 지식: area-rectanglesfraction-arithmetic

📏 짧은 풀이 💡 3 개 인사이트 📊 도형

문제

On a checkerboard composed of 64 unit squares, what is the probability that a randomly chosen unit square does not touch the outer edge of the board?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\frac{1}{16}$

(B)

$\frac{7}{16}$

(C)

$\frac{1}2$

(D)

$\frac{9}{16}$

(E)

$\frac{49}{64}$

AMC 8 2009 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: $8 \times 8$ 체커보드는 모두 $64$ 개의 단위 정사각형으로 이루어져 있습니다. 그 중 하나를 무작위로 고를 때, 그 칸이 보드의 바깥 테두리에 닿지 $않을$ 확률은 얼마일까요?

주어진 것: 보드는 $8 \times 8$ 격자이고 단위 정사각형은 총 $64$ 개; "바깥 테두리에 닿는다" 는 칸이 맨 윗줄, 맨 아랫줄, 가장 왼쪽 열, 가장 오른쪽 열 중 하나에 속한다는 뜻; 모든 칸이 똑같은 확률로 뽑힘; 선택지: (A) $\tfrac{1}{16}$, (B) $\tfrac{7}{16}$, (C) $\tfrac{1}{2}$, (D) $\tfrac{9}{16}$, (E) $\tfrac{49}{64}$

구하는 것: 고른 칸이 바깥 테두리에 닿지 않을 확률

이해

계획

주요 도구: #1 그림 그리기

보조 도구: #9 더 쉬운 문제로 바꾸기

보드 그림이 이미 눈앞에 있으니 도구 #1(그림 그리기) 로 곧장 들어갑니다 — 바깥 테두리에 닿는 칸들은 보드를 빙 둘러싼 한 칸 두께의 "액자 테" 를 이루고, 그 안쪽에 남는 칸들이 우리가 세고 싶은 영역입니다. 다만 $8 \times 8$ 에서 바로 세기 전에 도구 #9(더 쉬운 문제로 바꾸기) 로 $4 \times 4$ 작은 보드에서 규칙을 먼저 확인합니다. $4 \times 4$ 에서 테두리를 벗기면 $2 \times 2$ 가 남고, 일반적으로 $n \times n$ 보드의 내부는 $(n-2) \times (n-2)$ 입니다. 이 규칙을 $n = 8$ 에 그대로 적용한 뒤 나눠 주면 끝납니다.

실행 — 정답: D

#1 그림 그리기 3.OA.A.1 단계 1

동일 확률인 칸의 전체 개수를 셉니다.
보드는 $8$ 행 $\times$ $8$ 열이므로 표본공간 크기는 $8 \times 8 = 64$ 입니다.

$$\text{전체} = 8 \times 8 = 64$$

💡 $8 \times 8$ 배열은 "$8$ 개씩 $8$ 묶음" 이고, 이것이 3학년에서 배우는 곱셈의 의미입니다.

#9 더 쉬운 문제로 바꾸기 3.OA.A.1 단계 2

같은 상황을 더 작은 보드에서 먼저 보면 규칙이 보입니다.
$4 \times 4$ 보드에서 바깥 테두리에 닿는 칸을 모두 칠하면, 남는 칸은 가운데 $2 \times 2$ 블록입니다.
즉 $4 \times 4$ 의 안쪽은 $(4-2) \times (4-2) = 2 \times 2$ 입니다.

$$(4 - 2) \times (4 - 2) = 2 \times 2 = 4$$

💡 $n \times n$ 보드의 테두리를 한 줄씩 벗기면 사방에서 한 칸씩 줄어서 안쪽은 $(n-2) \times (n-2)$ 가 됩니다. 작은 보드에서 확인하면 한눈에 들어옵니다.

#1 그림 그리기 3.OA.A.1 단계 3

같은 그림을 $8 \times 8$ 보드에 적용합니다.
바깥 테두리에 닿지 않는 칸은 가운데 $(8 - 2) \times (8 - 2) = 6 \times 6$ 블록에 모두 들어 있고, 그 블록 안에는 $36$ 개의 칸이 있습니다.

$$(8 - 2) \times (8 - 2) = 6 \times 6 = 36$$

💡 테두리 한 줄을 벗긴 뒤 남는 모양도 또 하나의 직사각형이므로, 다시 "행 $\times$ 열" 로 곱해 주면 됩니다.

#1 그림 그리기 7.SP.C.7 단계 4

(조건을 만족하는 칸 수) $/$ (전체 칸 수) 로 확률을 만들고 약분합니다.
분자와 분모를 최대공약수 $4$ 로 나누면 가장 간단한 형태가 나옵니다.

$$P = \dfrac{36}{64} = \dfrac{36 \div 4}{64 \div 4} = \dfrac{9}{16} \;\Rightarrow\; \textbf{(D)}$$

💡 모든 칸이 동일 확률일 때, 어떤 사건의 확률은 그 조건을 만족하는 칸이 전체에서 차지하는 비율과 같습니다. 그 다음에 약분만 해 주면 됩니다.

[1] #1 3.OA.A.1 동일 확률인 칸의 전체 개수를 셉니다. 보드는 $8$ 행 $\times$ $8$ 열이므로 표본공간 크기는 $8 \times 8 = 64$ 입니다

[2] #9 3.OA.A.1 같은 상황을 더 작은 보드에서 먼저 보면 규칙이 보입니다. $4 \times 4$ 보드에서 바깥 테두리에 닿는 칸을 모두 칠하면, 남는 칸은 가

[3] #1 3.OA.A.1 같은 그림을 $8 \times 8$ 보드에 적용합니다. 바깥 테두리에 닿지 않는 칸은 가운데 $(8 - 2) \times (8 - 2) = 6

[4] #1 7.SP.C.7 (조건을 만족하는 칸 수) $/$ (전체 칸 수) 로 확률을 만들고 약분합니다. 분자와 분모를 최대공약수 $4$ 로 나누면 가장 간단한 형태가

검토

합리성 확인: 테두리 칸을 다른 방식으로 직접 세 봐도 같습니다. $8 \times 8$ 의 바깥 테두리는 $4 \times 8 - 4 = 28$ 칸입니다(네 변의 $8$ 칸씩에서, 두 번 세어진 네 모서리를 빼 줌). 안쪽 $= 64 - 28 = 36$ 으로 $6 \times 6$ 결과와 정확히 일치합니다. 확률 $\tfrac{36}{64} = \tfrac{9}{16}$ 은 $\tfrac{1}{2}$ 보다 살짝 크고, 안쪽 영역이 테두리보다 분명히 넓다는 그림과도 맞습니다. (A) $\tfrac{1}{16}$ 와 (E) $\tfrac{49}{64}$ 는 크기가 너무 동떨어져 있고, (C) $\tfrac{1}{2}$ 라면 테두리와 안쪽 칸 수가 같아야 하는데 그림에서 그렇지 않습니다.

대안 접근: 도구 #11(가능성 줄이기) 로 선택지를 바로 추려도 됩니다. 안쪽은 $8 \times 8$ 보다 작은 $k \times k$ 정사각형이어야 하므로 분자는 $64$ 보다 작은 완전제곱수, 즉 $1, 4, 9, 16, 25, 36, 49$ 중 하나입니다. 그 값을 $64$ 위에 올려 보면 선택지와 일치하는 것은 $\tfrac{36}{64} = \tfrac{9}{16}$, 즉 (D) 뿐입니다. (E) $\tfrac{49}{64}$ 는 안쪽이 $7 \times 7$ 이라는 뜻인데, 이는 한 변에서만 한 줄을 벗긴 모양이라 "테두리" 와 맞지 않습니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)

3.OA.A.1 자연수의 곱의 의미 해석 (전체 보드 $8 \times 8 = 64$ 칸과 안쪽 $6 \times 6 = 36$ 칸을 직사각형 배열의 곱으로 셀 때 사용.)
4.NF.A.1 분수 $a/b$ 가 $(n \times a)/(n \times b)$ 와 같음을 설명(동치분수) ($\tfrac{36}{64}$ 의 분자와 분모를 공약수 $4$ 로 나눠 $\tfrac{9}{16}$ 로 약분하는 데 사용.)
7.SP.C.7 확률 모델을 만들어 사건의 확률 구하기 ($64$ 개의 단위 정사각형을 동일 확률로 보고 "테두리에 닿지 않음" 의 확률을 $\tfrac{36}{64}$ 로 계산하는 데 사용.)

⭐ 이 AMC 8 문제는 7학년 확률 — 원하는 칸 수를 전체 칸 수로 나누고 약분 — 만 알면 풀 수 있어요!

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: D

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)

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