AMC 8 · 2009 · #11

학년 6 number-theory

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Factor / Divisibility Constraint

gcdprime-factorizationfactorsdivisibility-rules identify-subproblemssystematic-enumeration ↑ 선수 지식: multi-digit-arithmeticfactors

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

The Amaco Middle School bookstore sells pencils costing a whole number of cents. Some seventh graders each bought a pencil, paying a total of $1.43$ dollars. Some of the $30$ sixth graders each bought a pencil, and they paid a total of $1.95$ dollars. How many more sixth graders than seventh graders bought a pencil?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 8 2009 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 아마코 중학교 서점에서 연필 한 자루는 정수 센트(cent)에 팔립니다. 7학년 학생 몇 명이 각자 한 자루씩 사서 총 $\$1.43$ 을 냈고, $30$ 명의 6학년 학생 중 몇 명도 각자 한 자루씩 사서 총 $\$1.95$ 를 냈습니다. 연필을 산 6학년 학생은 7학년 학생보다 몇 명 더 많을까요?

주어진 것: 연필 한 자루의 값은 정수 센트; 7학년 전체 지출 $= \$1.43 = 143$ 센트; 6학년 전체 지출 $= \$1.95 = 195$ 센트; 6학년은 총 $30$ 명이므로, 연필을 산 6학년 수는 $30$ 명 이하; 선택지: (A) $1$, (B) $2$, (C) $3$, (D) $4$, (E) $5$

구하는 것: (연필을 산 6학년 수) $-$ (연필을 산 7학년 수)

이해

계획

주요 도구: #7 작은 문제로 쪼개기

보조 도구: #2 체계적인 목록 만들기, #3 가능성 지우기

구하는 것은 인원 차이지만, 연필 값을 먼저 알아야 인원을 셀 수 있습니다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 (1) 연필 값 $c$ 정하기 → (2) $(195 - 143) / c$ 계산 두 단계로 깔끔히 나눕니다. (1)은 수론 문제 — $c$ 가 $143$ 과 $195$ 를 모두 나누어떨어뜨려야 하므로 각각의 약수를 도구 #2(체계적인 목록 만들기) 로 정리해 공약수만 남깁니다. 도구 #3(가능성 지우기) 은 $c = 1$ 처럼 "6학년이 $195$ 명" 이 되는 무리한 후보를 떨어뜨려 연필 값을 하나로 확정해 줍니다.

실행 — 정답: D

#7 작은 문제로 쪼개기 4.OA.A.3 단계 1

달러를 센트로 바꿔서 연필 값을 그냥 정수로 다룹니다.
$\$1.43 = 143$ 센트, $\$1.95 = 195$ 센트.
두 합계 모두 연필 값 $c$ 의 배수여야 하므로, $c$ 는 $143$ 과 $195$ 의 공약수입니다.

$$c \mid 143 \quad \text{이고} \quad c \mid 195$$

💡 "어떤 $c$ 가 가능한가" 와 "몇 명이 샀나" 두 작은 문제로 이름을 붙이는 것이 도구 #7 의 핵심 동작 — 문장제가 2단계 계산으로 정리됩니다.

#2 체계적인 목록 만들기 4.OA.B.4 단계 2

두 합계를 소인수분해해서 약수를 정리합니다.
$143$ 은 $143 / 11 = 13$ 이므로 $143 = 11 \times 13$.
$195$ 는 $195 / 5 = 39 = 3 \times 13$ 이므로 $195 = 3 \times 5 \times 13$.

$$143 = 11 \times 13, \quad 195 = 3 \times 5 \times 13$$

💡 소인수분해를 적어 두는 것이 도구 #2 의 체계적인 약수 목록이고, $11$ 과 $13$ 을 소수로 알아보는 것은 4학년 약수·배수 표준입니다.

#2 체계적인 목록 만들기 6.NS.B.4 단계 3

최대공약수를 읽어 냅니다.
$143 = 11 \times 13$ 과 $195 = 3 \times 5 \times 13$ 이 공유하는 소수는 $13$ 뿐이므로, $143$ 과 $195$ 의 공약수는 $1$ 과 $13$ 두 개뿐입니다.

$$\gcd(143, 195) = 13 \;\Rightarrow\; \text{공약수} = \{1, 13\}$$

💡 소인수분해에서 최대공약수를 바로 읽어 내는 것은 6학년 수론 표준이고, 그 결과 후보를 두 개로 줄여 줍니다.

#3 가능성 지우기 4.OA.A.3 단계 4

$c = 1$ 후보를 떨어뜨립니다.
연필이 $1$ 센트라면 6학년은 $195 / 1 = 195$ 자루를 산 셈인데, 6학년은 총 $30$ 명뿐입니다.
따라서 $c = 1$ 은 불가능하고, 남는 값은 $c = 13$ 센트.

$$c = 1 \;\Rightarrow\; 195 / 1 = 195 > 30 \;\text{명}\;\Rightarrow\; \text{탈락. 따라서 } c = 13$$

💡 "6학년 $\leq 30$ 명" 이라는 조건을 깨는 후보를 지우는 것이 도구 #3(가능성 지우기) 의 동작입니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 4.NBT.B.6 단계 5

이제 $c = 13$ 으로 두 번째 작은 문제를 풉니다.
6학년이 낸 돈은 7학년보다 $195 - 143 = 52$ 센트 많고, 연필 한 자루가 $13$ 센트이므로 인원 차이는 $52 / 13$.

$$\dfrac{195 - 143}{13} = \dfrac{52}{13} = 4 \;\Rightarrow\; \textbf{(D)}$$

💡 각 학년 인원을 따로 구하지 않고 합계의 차이부터 빼는 것이 도구 #7 의 가장 깔끔한 경로이며, 마지막 $52 \div 13 = 4$ 는 4학년 정수 나눗셈입니다.

[1] #7 4.OA.A.3 달러를 센트로 바꿔서 연필 값을 그냥 정수로 다룹니다. $\$1.43 = 143$ 센트, $\$1.95 = 195$ 센트. 두 합계 모두 연필

[2] #2 4.OA.B.4 두 합계를 소인수분해해서 약수를 정리합니다. $143$ 은 $143 / 11 = 13$ 이므로 $143 = 11 \times 13$. $195$

[3] #2 6.NS.B.4 최대공약수를 읽어 냅니다. $143 = 11 \times 13$ 과 $195 = 3 \times 5 \times 13$ 이 공유하는 소수는 $1

[4] #3 4.OA.A.3 $c = 1$ 후보를 떨어뜨립니다. 연필이 $1$ 센트라면 6학년은 $195 / 1 = 195$ 자루를 산 셈인데, 6학년은 총 $30$ 명뿐입

[5] #7 4.NBT.B.6 이제 $c = 13$ 으로 두 번째 작은 문제를 풉니다. 6학년이 낸 돈은 7학년보다 $195 - 143 = 52$ 센트 많고, 연필 한 자루가

검토

합리성 확인: 각 학년 인원을 직접 세서 교차 확인해 봅니다. 연필을 산 6학년 $= 195 / 13 = 15$ 명, 7학년 $= 143 / 13 = 11$ 명. 차이 $= 15 - 11 = 4$ 로 (D) 와 일치. 6학년 $15$ 명은 학급 $30$ 명 한도 안에 들어와 있으므로 $c = 13$ 이라는 연필 값도 일관됩니다.

대안 접근: 도구 #6(추측하고 확인하기) 로 선택지를 직접 대입. 후보 차이 $d$ 각각에 대해 연필 값은 $c = (195 - 143) / d = 52 / d$ 이어야 합니다. $d = 1, 2, 3, 4, 5$ 를 차례로 시도하면 $52/d$ 가 정수가 되는 건 $d = 1, 2, 4$ 뿐이라 $c = 52, 26, 13$. 이 중 $c = 52$ 는 $195/52$ 가 정수가 아니라 탈락, $c = 26$ 도 $143/26$ 이 정수가 아니라 탈락. 살아남는 것은 $c = 13$ 하나뿐이고, 이는 $d = 4$, 즉 (D).

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

4.OA.A.3 정수의 사칙연산을 이용해 여러 단계의 문장제 해결 (달러 합계를 정수 센트 조건($c \mid 143$ 과 $c \mid 195$) 으로 옮기고, 6학년 학급 인원 $\leq 30$ 조건으로 $c = 1$ 후보를 떨어뜨리는 단계.)
4.OA.B.4 약수쌍과 배수 찾기, 소수·합성수 판별 (작은 소수로 시험 나눗셈을 해서 $143 = 11 \times 13$, $195 = 3 \times 5 \times 13$ 으로 분해하고 $11, 13$ 이 소수임을 확인.)
6.NS.B.4 두 수의 최대공약수와 최소공배수 구하기 (소인수분해에서 $\gcd(143, 195) = 13$ 을 읽어 내고 공약수 $\{1, 13\}$ 을 후보 연필 값으로 정리.)
4.NBT.B.6 최대 네 자리 피제수의 정수 몫과 나머지 구하기 (최종 나눗셈 $52 \div 13 = 4$ 와 교차 확인용 $195 \div 13 = 15$, $143 \div 13 = 11$ 을 수행.)

⭐ 연필 값이 $143$ 과 $195$ 의 최대공약수라는 사실만 알아채면, 이 AMC 8 문제는 6학년 GCF 한 번에 4학년 나눗셈을 얹은 수준으로 풀려요.

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: D

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

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