AMC 8 · 2009 · #21

학년 6 arithmetic

유형 Pair-Sum Invariant └ 세부 유형 Universe Total Minus Known

mean-median-mode-rangeratio-proportionset-partition identify-subproblemspattern-recognition ↑ 선수 지식: mean-median-mode-rangeratio-proportion

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

Andy and Bethany have a rectangular array of numbers with $40$ rows and $75$ columns. Andy adds the numbers in each row. The average of his $40$ sums is $A$ . Bethany adds the numbers in each column. The average of her $75$ sums is $B$ . What is the value of $\frac{A}{B}$ ?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\frac{64}{225}$

(B)

$\frac{8}{15}$

(C)

(D)

$\frac{15}{8}$

(E)

$\frac{225}{64}$

AMC 8 2009 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: $40$ 행 $75$ 열의 직사각형 숫자 표가 있습니다. 앤디는 각 행의 합을 구한 뒤 $40$ 개 행 합의 평균을 $A$ 로 두고, 베서니는 각 열의 합을 구한 뒤 $75$ 개 열 합의 평균을 $B$ 로 둡니다. $\dfrac{A}{B}$ 의 값을 구하세요.

주어진 것: 표는 $40$ 행 $75$ 열로 이루어져 있다; $A$ = $40$ 개 행 합의 평균; $B$ = $75$ 개 열 합의 평균; 선택지: (A) $\tfrac{64}{225}$, (B) $\tfrac{8}{15}$, (C) $1$, (D) $\tfrac{15}{8}$, (E) $\tfrac{225}{64}$

구하는 것: 비율 $\dfrac{A}{B}$ 의 값

이해

계획

주요 도구: #11 변하지 않는 것 찾기

보조 도구: #4 변수 도입하기

표 안의 실제 숫자는 주어져 있지 않아요. 이건 도구 #11(변하지 않는 것 찾기)의 신호입니다 — 구체적인 칸 값과 무관하게 보존되는 양이 있어야 한다는 뜻이죠. 그 불변량은 표 전체의 총합 $S$ 입니다. 행으로 더하든 열로 더하든 모든 칸을 정확히 한 번씩 지나가니까요. 도구 #4(변수 도입하기)로 그 총합에 $S$ 라는 이름을 붙이면 $A$ 와 $B$ 를 $S$ 의 식으로 쓸 수 있고, 두 식에서 $S$ 가 같다는 점을 이용해 $A/B$ 가 단순한 행·열 개수의 비로 떨어집니다.

실행 — 정답: D

#11 변하지 않는 것 찾기 6.EE.A.2 단계 1

전체 합에 이름을 붙입니다.
표 안 모든 수의 합을 $S$ 라 합시다.
행 단위로 더하든 열 단위로 더하든 각 칸을 정확히 한 번씩 더하므로, 두 방법 모두 결과는 $S$ 입니다.

$$S = 40 \times 75 \text{ 표 안 모든 칸의 합}$$

💡 변하지 않는 총합을 문자 하나로 부르는 것은 6학년 "변수가 들어간 식 쓰기" 그대로입니다.

#4 변수 도입하기 6.SP.B.5 단계 2

$A$ 를 $S$ 로 나타냅니다.
앤디의 $40$ 개 행 합을 모두 더하면 $S$ 이고, $A$ 는 그 평균이므로 $A = \dfrac{S}{40}$.
양변에 $40$ 을 곱해 $S$ 를 따로 정리합니다.

$$A = \dfrac{S}{40} \;\Rightarrow\; S = 40A$$

💡 6학년 평균 공식에 따르면 평균 $\times$ 개수 $=$ 총합입니다. 여기서 개수는 $40$ 이므로 총합은 $40A$.

#4 변수 도입하기 6.SP.B.5 단계 3

같은 방식으로 $B$ 도 $S$ 로 나타냅니다.
베서니의 $75$ 개 열 합도 모두 더하면 같은 $S$ 이고, $B$ 는 그 평균입니다.

$$B = \dfrac{S}{75} \;\Rightarrow\; S = 75B$$

💡 같은 평균 공식, 이번에는 개수가 $75$ 이므로 같은 $S$ 가 $75B$ 와도 같습니다.

#11 변하지 않는 것 찾기 6.RP.A.1 단계 4

$S$ 에 대한 두 표현을 같다고 놓고 비율을 구합니다.
$40A$ 와 $75B$ 둘 다 같은 $S$ 이므로 서로 같습니다.

$$40A = 75B \;\Rightarrow\; \dfrac{A}{B} = \dfrac{75}{40} = \dfrac{15}{8} \;\Rightarrow\; \textbf{(D)}$$

💡 양변을 $40B$ 로 나누면 식이 6학년 비율로 바뀝니다. $\tfrac{75}{40}$ 을 공약수 $5$ 로 약분하면 $\tfrac{15}{8}$.

[1] #11 6.EE.A.2 전체 합에 이름을 붙입니다. 표 안 모든 수의 합을 $S$ 라 합시다. 행 단위로 더하든 열 단위로 더하든 각 칸을 정확히 한 번씩 더하므로,

[2] #4 6.SP.B.5 $A$ 를 $S$ 로 나타냅니다. 앤디의 $40$ 개 행 합을 모두 더하면 $S$ 이고, $A$ 는 그 평균이므로 $A = \dfrac{S}{4

[3] #4 6.SP.B.5 같은 방식으로 $B$ 도 $S$ 로 나타냅니다. 베서니의 $75$ 개 열 합도 모두 더하면 같은 $S$ 이고, $B$ 는 그 평균입니다.

[4] #11 6.RP.A.1 $S$ 에 대한 두 표현을 같다고 놓고 비율을 구합니다. $40A$ 와 $75B$ 둘 다 같은 $S$ 이므로 서로 같습니다.

검토

합리성 확인: 모든 칸이 $1$ 인 표로 확인해 봅시다. 각 행 합은 $75$, 각 열 합은 $40$ 이므로 $A = 75$, $B = 40$, 따라서 $\dfrac{A}{B} = \dfrac{75}{40} = \dfrac{15}{8}$. 답 (D) 와 일치하고, 표 안 숫자와 무관하게 같은 결과가 나오는 것도 기대했던 "불변량" 그대로입니다. 또한 한 행의 칸 수($75$)가 한 열의 칸 수($40$)보다 많으니 행 합이 더 클 수밖에 없고, 그래서 $A > B$ 인 점도 자연스럽습니다.

대안 접근: 도구 #1(간단한 경우 시도하기): 표 안 모든 수를 $1$ 로 바꿔 보면 모든 행 합이 $75$ 이므로 $A = 75$, 모든 열 합이 $40$ 이므로 $B = 40$ 이 되어 $\dfrac{A}{B} = \dfrac{75}{40} = \dfrac{15}{8}$. 문제의 답은 어떤 표를 골라도 같아야 하므로 이 간단한 경우만으로 (D) 가 확정됩니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

6.EE.A.2 문자가 수를 대신하는 식을 쓰고, 읽고, 계산하기 (표 전체 합을 문자 $S$ 로 두어 $A$ 와 $B$ 를 대수적 식으로 나타내는 데 사용.)
6.SP.B.5 관측 개수와 중심 측도 등을 포함한 수치 자료 요약 (평균의 정의(합 $\div$ 개수)를 이용해 $A = S/40$, $B = S/75$ 를 세우고 $S = 40A = 75B$ 를 얻는 데 사용.)
6.RP.A.1 비의 개념을 이해하고 비의 관계를 설명하기 ($40A = 75B$ 를 비 $\dfrac{A}{B} = \dfrac{75}{40} = \dfrac{15}{8}$ 로 읽어내는 데 사용.)

⭐ 행 합도 열 합도 결국 같은 전체 합이 된다 — 그 "변하지 않는 값" 만 보이면 이 AMC 8 문제는 6학년 평균·비 문제로 풀려요!

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: D

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

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