AMC 8 · 2009 · #25

• 네 슬랩의 높이 합이 원래 정육면체의 높이 $1$ 피트라는 불변량을 써서 $h_D$ 를 구합니다.
• 앞·뒷면 계산에는 이 값이 굳이 필요하지 않지만 옆면 계산에서 사용합니다.

💡 분모가 서로 다른 분수($2, 3, 17$) 를 공통분모 $102$ 로 더하는 것은 5학년의 분수 덧셈 그대로입니다.

• 새 입체의 겉면을 다섯 개의 작은 문제로 쪼갭니다 — (1) 위, (2) 아래, (3) 앞, (4) 뒤, (5) 양 끝과 슬랩 사이에 생기는 계단 모양 옆면.
• 각각 구해서 합산할 계획입니다.

💡 입체 도형의 면을 묶어 겉넓이를 구하는 것은 6학년 "전개도와 겉넓이" 그대로입니다.

• 윗면과 밑면.
• 각 슬랩은 원래 정육면체의 윗면·밑면을 그대로 가져갑니다 — 모두 $1 \times 1$ 피트 정사각형이고, 슬랩 네 개가 한 줄로 놓이므로 윗면도 네 개, 밑면도 네 개입니다.

💡 직사각형 넓이를 가로 $\times$ 세로 로 구하고 합동인 면들의 넓이를 더하는 것은 3학년 넓이 학습 그대로입니다.

• 앞면과 뒷면.
• 한 줄로 늘어선 슬랩들을 정면에서 보면, 폭 $1$ 피트인 직사각형 네 개가 옆으로 붙어 있고 그 높이 $h_D, h_A, h_B, h_C$ 의 합은 $1$ 피트입니다.
• 따라서 앞면 전체 넓이는 (높이 합) $\times 1 = 1$ ft$^2$ — 까다로운 개별 높이 값이 자동으로 사라집니다.
• 뒷면도 같습니다.

💡 네 높이의 합이 반드시 $1$ 이라는 "불변량" 을 잡으면 개별 높이 계산을 통째로 건너뛸 수 있습니다.

• 옆면.
• 배치 순서가 D, A, B, C 이므로 행에 수직으로 드러난 면은 — 왼쪽 끝(높이 $h_D$), 이웃한 슬랩 사이의 계단 세 개(높이 차 $|h_A - h_D|$, $|h_B - h_A|$, $|h_C - h_B|$), 오른쪽 끝(높이 $h_C$) — 총 다섯 조각이고, 모두 깊이 $1$ 피트입니다.

💡 옆에서 본 그림을 그리면 어떤 직사각형이 드러나는지 빠뜨리지 않고 셀 수 있습니다.

• 옆면의 각 직사각형 높이를 공통분모 $102$ 로 바꾸어 더합니다.
• 분자는 $11, 40, 17, 28, 6$ 이고, 합이 정확히 $102$ 가 됩니다.

💡 분모가 같은 분수 여러 개를 더하는 것은 5학년의 기본 분수 계산입니다.

다섯 묶음을 모두 더해 겉넓이를 구합니다.

💡 구한 부분 넓이를 더해 마무리하는 것은 3학년 넓이 문제의 마지막 단계입니다.