AMC 8 · 2010 · #18

학년 7 geometry-2d

유형 Compound Area by Decomposition / Difference └ 세부 유형 Circle-Polygon Hybrid

area-rectanglesarea-circlesratio-proportion identify-subproblemsconvert-to-algebra ↑ 선수 지식: area-rectanglesarea-circlesratio-proportion

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트 📊 도형

문제

장식용 창문이 직사각형의 양쪽 끝에 각각 반원을 붙여 만든 모양입니다. $AD$ 와 $AB$ 의 비는 $3:2$ 이고, $AB$ 는 $30$ 인치입니다. 직사각형의 넓이와 두 반원의 넓이 합의 비는 얼마일까요?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

2:3

(B)

3:2

(C)

$6:\pi$

(D)

$9:\pi$

(E)

$30:\pi$

AMC 8 2010 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 장식용 창문은 직사각형 $ABCD$ 의 짧은 두 변($AB$ 와 $CD$)에 각각 반원이 하나씩 붙어 있는 모양입니다. 변의 비는 $AD:AB = 3:2$ 이고 $AB = 30$ 인치입니다. 직사각형의 넓이와 두 반원의 넓이 합의 비를 구하세요.

주어진 것: $ABCD$ 는 직사각형이고 $AD:AB = 3:2$; $AB = 30$ 인치 (따라서 $AD = 45$ 인치); 두 반원은 각각 $AB$ 와 $CD$ 변 위에 있고, 지름이 그 변의 길이와 같음; 선택지: (A) $2:3$, (B) $3:2$, (C) $6:\pi$, (D) $9:\pi$, (E) $30:\pi$

구하는 것: $\dfrac{\text{직사각형 } ABCD \text{ 의 넓이}}{\text{두 반원의 넓이 합}}$ 의 비

이해

계획

주요 도구: #5 변수 도입하기

보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기

구체적인 $30$ 인치 값은 비를 구할 때 결국 약분되어 사라지므로, 도구 #5(변수 도입하기) 로 $AB = 2k$, $AD = 3k$ 라고 놓으면 식이 깔끔하고 약분이 눈에 잘 보입니다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기) 은 도형을 따로 처리할 수 있는 두 부분 — 직사각형(가로 $\times$ 세로) 과 두 반원(합치면 반지름 $k$ 인 원 하나) — 으로 분리해 줍니다. 각각의 넓이를 구한 뒤 비를 잡으면 $\pi$ 는 그대로 남고 $k^{2}$ 은 깔끔히 약분됩니다.

실행 — 정답: C

#5 변수 도입하기 6.EE.A.2 단계 1

변의 길이에 변수를 도입합니다.
비 $AD:AB = 3:2$ 이므로 양의 수 $k$ 를 써서 $AB = 2k$, $AD = 3k$ 로 놓습니다.
$AB = 30$ 이라는 구체적인 값은 비를 구할 때 사라지므로 일단 $k$ 로 두고 계산합니다.

$$AB = 2k, \quad AD = 3k$$

💡 모르는 길이를 문자 $k$ 로 이름 붙이는 것은 "문자가 수를 대신한다" 라는 6학년 식 표현 개념 그대로입니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 6.G.A.1 단계 2

직사각형의 넓이를 가로 $\times$ 세로로 계산합니다.

$$\text{직사각형 넓이} = AD \times AB = 3k \times 2k = 6k^{2}$$

💡 직사각형의 두 변을 곱하는 것은 6학년 다각형 넓이 구하기의 기본 동작입니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 7.G.B.4 단계 3

각 반원의 반지름을 구합니다.
반원은 길이 $AB = 2k$ 인 짧은 변을 지름으로 하므로, 반지름은 그 절반입니다.

$$r = \dfrac{AB}{2} = \dfrac{2k}{2} = k$$

💡 지름이 변의 길이와 같으면 반지름은 그 절반 — 7학년 원의 기본기입니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 7.G.B.4 단계 4

두 반원을 합칩니다.
반지름이 같은 두 반원을 붙이면 반지름 $k$ 인 원 한 개가 되므로, 두 반원의 넓이 합은 그 원 한 개의 넓이와 같습니다.

$$\text{두 반원 넓이 합} = \pi r^{2} = \pi k^{2}$$

💡 반(半)이 두 개면 하나의 온전한 원 — 7학년 원 넓이 공식 $A = \pi r^{2}$ 을 그대로 적용합니다.

#5 변수 도입하기 6.RP.A.1 단계 5

두 넓이의 비를 잡습니다.
$k^{2}$ 가 약분되므로, $AB = 30$ 이라는 구체적인 값이 처음부터 필요 없었음이 드러납니다.

$$\dfrac{\text{직사각형 넓이}}{\text{두 반원 넓이 합}} = \dfrac{6k^{2}}{\pi k^{2}} = \dfrac{6}{\pi} \;\Rightarrow\; 6:\pi \;\Rightarrow\; \textbf{(C)}$$

💡 한 넓이를 다른 넓이의 몇 배로 표현하는 것은 6학년 비(ratio) 언어의 핵심 — "원 넓이 $\pi$ 만큼당 직사각형 넓이는 $6$ 만큼" 이라는 뜻입니다.

[1] #5 6.EE.A.2 변의 길이에 변수를 도입합니다. 비 $AD:AB = 3:2$ 이므로 양의 수 $k$ 를 써서 $AB = 2k$, $AD = 3k$ 로 놓습니다.

[2] #7 6.G.A.1 직사각형의 넓이를 가로 $\times$ 세로로 계산합니다.

[3] #7 7.G.B.4 각 반원의 반지름을 구합니다. 반원은 길이 $AB = 2k$ 인 짧은 변을 지름으로 하므로, 반지름은 그 절반입니다.

[4] #7 7.G.B.4 두 반원을 합칩니다. 반지름이 같은 두 반원을 붙이면 반지름 $k$ 인 원 한 개가 되므로, 두 반원의 넓이 합은 그 원 한 개의 넓이와 같습니

[5] #5 6.RP.A.1 두 넓이의 비를 잡습니다. $k^{2}$ 가 약분되므로, $AB = 30$ 이라는 구체적인 값이 처음부터 필요 없었음이 드러납니다.

검토

합리성 확인: 실제 숫자로 검산해 봅시다. $AB = 30 \Rightarrow k = 15$ 이므로 직사각형 넓이 $= 6 \cdot 15^{2} = 1350$ in$^{2}$, 두 반원 넓이 합 $= \pi \cdot 15^{2} = 225\pi$ in$^{2}$. 비 $\dfrac{1350}{225\pi} = \dfrac{6}{\pi}$ 로 일치합니다. 수치로 보면 $6/\pi \approx 1.91$ 이라, 직사각형이 두 반원의 합보다 거의 두 배 가깝게 큽니다 — $45 \times 30$ 의 길쭉한 직사각형이 반지름 $15$ 의 원보다 명백히 더 크다는 그림의 직관과도 잘 맞습니다.

대안 접근: 도구 #3(추측한 후 답이 아닌 선택지 제거하기) 로 접근해 봅니다. 반원 넓이에 $\pi$ 가 반드시 포함되므로 $\pi$ 가 없는 (A), (B) 는 즉시 탈락합니다. 남은 (C) $6:\pi$, (D) $9:\pi$, (E) $30:\pi$ 중 (E) 는 반지름으로 나누지 않고 $AB = 30$ 을 그대로 쓰는 함정, (D) 는 $3:2$ 의 $3$ 을 제곱해 버리는 함정입니다. 정직하게 계산하면 분자의 계수는 $AD \cdot AB / r^{2}$ 에서 $6 = 3 \times 2$ 가 되어 (C) 와 정확히 일치합니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)

6.EE.A.2 문자가 수를 대신하는 식을 쓰고 읽고 계산하기 ($AB = 2k$, $AD = 3k$ 로 변을 표현해 비 $3:2$ 조건을 식 안에 내장.)
6.G.A.1 다각형을 직사각형·삼각형으로 분해·합성하여 넓이 구하기 (직사각형 넓이를 $AD \times AB = 6k^{2}$ 으로 계산.)
6.RP.A.1 비의 개념을 이해하고 비 관계를 표현하는 언어 사용하기 (최종 답을 두 넓이 사이의 비 $6:\pi$ 형태로 표현.)
7.G.B.4 원의 넓이와 둘레 공식을 알고 문제 해결에 활용하기 (두 반원을 반지름 $k$ 인 원 하나로 합쳐 $A = \pi r^{2}$ 로 $\pi k^{2}$ 을 계산.)

⭐ 이 AMC 8 문제는 7학년 원 넓이 공식 $A = \pi r^{2}$ 에다, 6학년에서 배운 "변의 길이를 문자로 잡기" 만 더하면 풀려요. $30$ 인치는 사실 미끼였어요!

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: C

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)

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