AMC 8 · 2010 · #19

학년 8 geometry-2d

유형 Compound Area by Decomposition / Difference └ 세부 유형 Nested Frame / Concentric Difference

area-circlespythagorean-theorem area-differenceidentify-subproblems ↑ 선수 지식: area-circlespythagorean-theorem

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트 📊 도형

문제

그림 속 두 원은 같은 중심 $C$ 를 공유합니다. 현 $\overline{AD}$ 는 안쪽 원에 점 $B$ 에서 접하고, $AC$ 는 $10$ 이며, 현 $\overline{AD}$ 의 길이는 $16$ 입니다. 두 원 사이 영역의 넓이는 얼마일까요?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$36\pi$

(B)

$49\pi$

(C)

$64\pi$

(D)

$81\pi$

(E)

$100\pi$

AMC 8 2010 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 두 원은 같은 중심 $C$ 를 공유합니다. 큰 원의 현 $\overline{AD}$ 는 작은 원에 점 $B$ 에서 접합니다. $AC = 10$ (큰 원의 반지름)이고 $AD = 16$ 일 때, 두 원 사이 고리 모양 영역의 넓이를 구합니다.

주어진 것: 두 원은 같은 중심 $C$ 를 가짐; $\overline{AD}$ 는 큰 원의 현이면서 작은 원에 점 $B$ 에서 접함; $AC = 10$, 즉 큰 원의 반지름 $R = 10$; $AD = 16$; 선택지: (A) $36\pi$, (B) $49\pi$, (C) $64\pi$, (D) $81\pi$, (E) $100\pi$

구하는 것: 두 원 사이 고리(annulus) 영역의 넓이

이해

계획

주요 도구: #1 그림 그리기

보조 도구: #5 패턴 찾기

그림은 이미 주어져 있지만, 핵심은 *그림에 보조선을 더하는 것* 입니다. 도구 #1(그림 그리기) 의 지침대로 안쪽 반지름 $\overline{CB}$ 를 접점까지 긋고 직각 표시를 하면, 빗변 $R = 10$ 과 한 변 $AB$ 를 가진 직각삼각형 $\triangle CBA$ 가 보입니다. 이어서 도구 #5(패턴 찾기) 가 지름길을 찾아 줍니다 — 피타고라스 정리로 $R^2 - r^2 = AB^2$ 이므로, 고리의 넓이 $\pi(R^2 - r^2)$ 는 곧 $\pi \cdot AB^2$. $r$ 을 따로 구할 필요가 없습니다.

실행 — 정답: C

#1 그림 그리기 4.G.A.1 단계 1

그림에 안쪽 반지름 $\overline{CB}$ 를 그려 넣습니다.
$\overline{AD}$ 가 작은 원에 점 $B$ 에서 접하므로, 접점으로 그은 반지름은 접선과 수직입니다: $\overline{CB} \perp \overline{AD}$.
즉 $\triangle CBA$ 는 $B$ 에서 직각인 직각삼각형입니다.

$$\angle CBA = 90^\circ,\quad CA = R = 10,\quad CB = r$$

💡 접점까지 반지름을 긋고 직각 표시를 하는 것은 4학년 "점·직선·수직선" 어휘를 그대로 쓰는 동작입니다.

#1 그림 그리기 4.G.A.1 단계 2

현에 수직인 반지름은 그 현을 이등분합니다.
$\overline{CB} \perp \overline{AD}$ 이고 $AD = 16$ 이므로 $B$ 는 $\overline{AD}$ 의 중점, 따라서 $AB = \tfrac{1}{2} \cdot 16 = 8$ 입니다.

$$AB = \tfrac{1}{2} \cdot AD = \tfrac{1}{2} \cdot 16 = 8$$

💡 그림에 $B$ 가 중점이라는 표시까지 더하면 직각삼각형의 한 변 길이가 손에 잡힙니다.

#5 패턴 찾기 8.G.B.7 단계 3

직각삼각형 $\triangle CBA$ 에 피타고라스 정리를 적용합니다: $AB^2 + CB^2 = CA^2$, 즉 $AB^2 + r^2 = R^2$.
이 식을 $R^2 - r^2$ 형태로 바꾸면 — 고리 넓이 공식 안에 들어 있는 바로 그 값입니다.

$$R^2 - r^2 = AB^2 = 8^2 = 64$$

💡 $r$ 을 따로 구해서 $R^2 - r^2$ 를 계산하는 대신, 피타고라스 식이 곧 $R^2 - r^2$ 라는 "같은 모양" 을 알아채는 것이 8학년 피타고라스 정리 패턴입니다.

#5 패턴 찾기 7.G.B.4 단계 4

고리의 넓이는 큰 원의 넓이에서 작은 원의 넓이를 뺀 값입니다.
앞 단계에서 $R^2 - r^2 = 64$ 를 이미 구했으므로:

$$\text{넓이} = \pi R^2 - \pi r^2 = \pi(R^2 - r^2) = 64\pi \;\Rightarrow\; \textbf{(C)}$$

💡 원의 넓이 공식 $\pi r^2$ 을 알고 두 원의 차이로 고리 넓이를 얻는 것은 7학년 원 넓이 공식의 직접 응용입니다.

[1] #1 4.G.A.1 그림에 안쪽 반지름 $\overline{CB}$ 를 그려 넣습니다. $\overline{AD}$ 가 작은 원에 점 $B$ 에서 접하므로, 접점으

[2] #1 4.G.A.1 현에 수직인 반지름은 그 현을 이등분합니다. $\overline{CB} \perp \overline{AD}$ 이고 $AD = 16$ 이므로 $B

[3] #5 8.G.B.7 직각삼각형 $\triangle CBA$ 에 피타고라스 정리를 적용합니다: $AB^2 + CB^2 = CA^2$, 즉 $AB^2 + r^2 = R

[4] #5 7.G.B.4 고리의 넓이는 큰 원의 넓이에서 작은 원의 넓이를 뺀 값입니다. 앞 단계에서 $R^2 - r^2 = 64$ 를 이미 구했으므로:

검토

합리성 확인: 큰 원의 넓이는 $\pi \cdot 10^2 = 100\pi$ 이므로 답은 $100\pi$ 보다 작아야 합니다. $64\pi$ 는 조건에 맞습니다. 작은 원의 반지름도 확인할 수 있습니다: $r^2 = 100 - 64 = 36$ 에서 $r = 6$, $6 < 10$ 으로 일관됩니다. 현의 절반 $AB = 8$ 까지 합치면 $6$-$8$-$10$ 으로 잘 알려진 피타고라스 직각삼각형이라, 기하 관계가 자연스럽게 맞아떨어집니다.

대안 접근: 도구 #7(작은 문제로 쪼개기): 먼저 $r$ 부터 구한 뒤 공식에 대입하는 방식입니다. $8^2 + r^2 = 10^2$ 에서 $r^2 = 36$, 즉 $r = 6$. 고리 넓이는 $\pi(10)^2 - \pi(6)^2 = 100\pi - 36\pi = 64\pi$. 답 (C) 로 같지만, 패턴을 알아채는 풀이가 건너뛴 "$r$ 계산" 단계가 한 번 더 들어갑니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

4.G.A.1 점, 직선, 선분, 반직선, 각, 수직선을 그리고 식별 (안쪽 반지름 $\overline{CB}$ 를 그림에 추가하고 접현 $\overline{AD}$ 와 만나는 곳에 직각 표시를 더하며, $B$ 가 $\overline{AD}$ 의 중점임을 식별.)
7.G.B.4 원의 넓이와 둘레 공식을 알고 문제 해결에 활용 (두 원의 넓이 차 $\pi R^2 - \pi r^2$ 로 고리 영역의 넓이를 계산.)
8.G.B.7 직각삼각형에서 미지의 변의 길이를 구하는 데 피타고라스 정리를 적용 (직각삼각형 $\triangle CBA$ 에서 $AB^2 + r^2 = R^2$ 로 큰 반지름, 작은 반지름, 현의 절반을 연결하여 $R^2 - r^2 = AB^2 = 64$ 를 얻음.)

⭐ 보조선 딱 하나(접점까지의 반지름) 만 그으면 그림이 직각삼각형을 알려 줘요 — 그러면 8학년 때 배우는 피타고라스 정리로 한 줄에 끝납니다.

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: C

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

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