AMC 8 · 2010 · #21
학년 6 arithmetic문제
후이(Hui)는 책을 매우 좋아합니다. 베스트셀러 Math is Beautiful 한 권을 샀습니다. 첫째 날 후이는 전체 쪽수의 1/5에 12 쪽을 더해 읽었고, 둘째 날에는 남은 쪽수의 1/4에 15 쪽을 더해 읽었습니다. 셋째 날에는 그때 남은 쪽수의 1/3에 18 쪽을 더해 읽었습니다. 그러고 나서 남은 쪽수가 62 쪽임을 알게 되었고, 다음 날 그 62 쪽을 모두 읽었습니다. 이 책은 모두 몇 쪽일까요?
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AMC 8 2010 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.
도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: 후이는 한 권의 책을 네 날에 걸쳐 읽습니다. 첫째 날에는 책 전체의 $\tfrac{1}{5}$ 에 $12$ 쪽을 더해 읽고, 둘째 날에는 그때 남은 쪽수의 $\tfrac{1}{4}$ 에 $15$ 쪽을 더해 읽고, 셋째 날에는 그때 남은 쪽수의 $\tfrac{1}{3}$ 에 $18$ 쪽을 더해 읽습니다. 그러고 나면 $62$ 쪽이 남고, 넷째 날에 그 $62$ 쪽을 다 읽습니다. 책 전체는 몇 쪽일까요?
주어진 것: $1$ 일차: 전체 쪽수의 $\tfrac{1}{5}$ 에 $12$ 쪽을 더해 읽음; $2$ 일차: 그때 남은 쪽수의 $\tfrac{1}{4}$ 에 $15$ 쪽을 더해 읽음; $3$ 일차: 그때 남은 쪽수의 $\tfrac{1}{3}$ 에 $18$ 쪽을 더해 읽음; $3$ 일차 후 남은 쪽수는 정확히 $62$ 쪽 ($4$ 일차에 모두 읽음); 보기: (A) $120$, (B) $180$, (C) $240$, (D) $300$, (E) $360$
구하는 것: 책 전체 쪽수
이해
문제 재정리: 후이는 한 권의 책을 네 날에 걸쳐 읽습니다. 첫째 날에는 책 전체의 $\tfrac{1}{5}$ 에 $12$ 쪽을 더해 읽고, 둘째 날에는 그때 남은 쪽수의 $\tfrac{1}{4}$ 에 $15$ 쪽을 더해 읽고, 셋째 날에는 그때 남은 쪽수의 $\tfrac{1}{3}$ 에 $18$ 쪽을 더해 읽습니다. 그러고 나면 $62$ 쪽이 남고, 넷째 날에 그 $62$ 쪽을 다 읽습니다. 책 전체는 몇 쪽일까요?
주어진 것: $1$ 일차: 전체 쪽수의 $\tfrac{1}{5}$ 에 $12$ 쪽을 더해 읽음; $2$ 일차: 그때 남은 쪽수의 $\tfrac{1}{4}$ 에 $15$ 쪽을 더해 읽음; $3$ 일차: 그때 남은 쪽수의 $\tfrac{1}{3}$ 에 $18$ 쪽을 더해 읽음; $3$ 일차 후 남은 쪽수는 정확히 $62$ 쪽 ($4$ 일차에 모두 읽음); 보기: (A) $120$, (B) $180$, (C) $240$, (D) $300$, (E) $360$
계획
주요 도구: #11 거꾸로 풀기
보조 도구: #6 추측하고 확인하기
책이 하루하루 줄어드는 흐름인데 마지막 날에 남은 $62$ 쪽이 완전히 주어져 있습니다. 도구 #11(거꾸로 풀기) 이 가장 잘 맞는 구조입니다 — 알려진 끝에서 출발해 하루씩 거꾸로 되감으면 됩니다. 각 날의 되감기는 두 단계로 깔끔합니다: 먼저 "$+k$ 추가 쪽수" 를 더해 되돌리고, 그 결과가 그날 아침 더미의 알려진 분수만큼임을 인식한 뒤 역수로 곱해 아침 더미를 복원합니다. 도구 #6(추측하고 확인하기) 은 백업입니다 — 다섯 선택지를 정방향 이야기에 대입해 마지막에 정확히 $62$ 쪽이 남는 답을 고르면 됩니다.
실행 — 정답: C
4.OA.A.3 단계 1 - 끝에서 시작합니다.
- $3$ 일차가 끝났을 때 $4$ 일차용으로 정확히 $62$ 쪽이 남아 있었습니다.
- $3$ 일차에는 "그날 아침 더미의 $\tfrac{1}{3}$ 에 $18$ 쪽을 더해" 읽었으므로, 먼저 $+18$ 을 되돌립니다 — 그 $18$ 쪽을 읽기 직전에는 아직 $62 + 18 = 80$ 쪽이 남아 있었습니다.
💡 "$+18$" 을 되돌리는 건 $18$ 을 빼는 것뿐 — 4학년 다단계 문장제의 기본 동작입니다.
6.RP.A.3 단계 2 - 이 $80$ 쪽은 $3$ 일차 아침 더미에서 $\tfrac{1}{3}$ 을 읽은 뒤에 남은 양이므로, 아침 더미의 $\tfrac{2}{3}$ 에 해당합니다.
- 역수 $\tfrac{3}{2}$ 를 곱해 아침 더미 전체 크기를 복원합니다.
💡 더미의 알려진 분수가 알려진 양과 같다면, 역수를 곱해 더미 전체를 얻습니다 — 6학년 비율·비례 추론입니다.
4.OA.A.3 단계 3 - 이제 이 $120$ 쪽은 $2$ 일차가 끝났을 때 남은 양입니다.
- $2$ 일차에는 "아침 더미의 $\tfrac{1}{4}$ 에 $15$ 쪽을 더해" 읽었으므로, 다시 먼저 $+15$ 를 되돌립니다 — $120 + 15 = 135$ 쪽이 $\tfrac{1}{4}$ 부분만 읽은 직후의 잔여량입니다.
💡 이전과 같은 되돌리기 — "$+15$" 를 먼저 떼어내고 분수는 그 다음에 다룹니다.
6.RP.A.3 단계 4 - 이 $135$ 쪽은 $2$ 일차 아침 더미의 $\tfrac{3}{4}$ 입니다(후이가 위에서 $\tfrac{1}{4}$ 을 먼저 가져갔으므로).
- 역수 $\tfrac{4}{3}$ 을 곱해 아침 더미를 복원합니다.
- 이 값은 곧 $1$ 일차가 끝났을 때 남은 양이기도 합니다.
💡 같은 6학년 비율 동작입니다 — 알려진 부분 $\div$ 알려진 분수 $=$ 더미 전체.
6.RP.A.3 단계 5 - 마지막으로 $180$ 쪽은 $1$ 일차가 끝났을 때 남은 양입니다.
- $1$ 일차에는 "책 전체의 $\tfrac{1}{5}$ 에 $12$ 쪽을 더해" 읽었으므로, $+12$ 를 되돌리면 $180 + 12 = 192$ 쪽이 $\tfrac{1}{5}$ 부분만 읽은 직후의 잔여량입니다.
- 이 $192$ 가 책 전체의 $\tfrac{4}{5}$ 이므로, $\tfrac{5}{4}$ 를 곱해 책 전체 쪽수를 구합니다.
💡 거꾸로 풀기를 한 번 더 — $+12$ 를 되돌리고 $\tfrac{4}{5} \to 1$ 로 키우면 책 전체가 그대로 나옵니다.
4.OA.A.3 끝에서 시작합니다. $3$ 일차가 끝났을 때 $4$ 일차용으로 정확히 $62$ 쪽이 남아 있었습니다. $3$ 일차에는 "그날 아침 더미의 $\t 6.RP.A.3 이 $80$ 쪽은 $3$ 일차 아침 더미에서 $\tfrac{1}{3}$ 을 읽은 뒤에 남은 양이므로, 아침 더미의 $\tfrac{2}{3}$ 에 4.OA.A.3 이제 이 $120$ 쪽은 $2$ 일차가 끝났을 때 남은 양입니다. $2$ 일차에는 "아침 더미의 $\tfrac{1}{4}$ 에 $15$ 쪽을 더 6.RP.A.3 이 $135$ 쪽은 $2$ 일차 아침 더미의 $\tfrac{3}{4}$ 입니다(후이가 위에서 $\tfrac{1}{4}$ 을 먼저 가져갔으므로). 6.RP.A.3 마지막으로 $180$ 쪽은 $1$ 일차가 끝났을 때 남은 양입니다. $1$ 일차에는 "책 전체의 $\tfrac{1}{5}$ 에 $12$ 쪽을 더 검토
합리성 확인: $240$ 쪽으로 정방향 검증을 해 봅시다. $1$ 일차: $\tfrac{1}{5} \times 240 + 12 = 48 + 12 = 60$ 쪽 읽음, $180$ 쪽 남음. $2$ 일차: $\tfrac{1}{4} \times 180 + 15 = 45 + 15 = 60$ 쪽 읽음, $120$ 쪽 남음. $3$ 일차: $\tfrac{1}{3} \times 120 + 18 = 40 + 18 = 58$ 쪽 읽음, $62$ 쪽 남음. $4$ 일차: $62$. 총합 $= 60 + 60 + 58 + 62 = 240$. 모든 값이 들어맞습니다.
대안 접근: 도구 #6(추측하고 확인하기) 을 보기에 바로 대입해 봅니다. (A) $120$ 시도: $1$ 일차 후 $\tfrac{4}{5}(120) - 12 = 84$; $2$ 일차 후 $\tfrac{3}{4}(84) - 15 = 48$; $3$ 일차 후 $\tfrac{2}{3}(48) - 18 = 14 \neq 62$. (C) $240$ 시도: $\tfrac{4}{5}(240) - 12 = 180$; $\tfrac{3}{4}(180) - 15 = 120$; $\tfrac{2}{3}(120) - 18 = 62$. 일치 — 답은 (C). 다른 선택지는 $62$ 와 어긋나서 결과를 확정해 줍니다.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)
4.OA.A.3정수의 다단계 문장제 해결 (각 날의 "$+k$ 추가 쪽수" 를 차례로 되돌리는 단계 — $18$, $15$, $12$ 를 더해 분수 부분 직후의 잔여량을 복원.)5.NF.B.6분수의 곱셈을 활용한 실생활 문제 해결 (각 날의 "남은 쪽수의 $\tfrac{1}{n}$" 을 더미의 분수로 해석하고, 그 부분이 빠진 뒤 남는 양을 추적.)6.RP.A.3비율·비례 추론으로 실생활·수학 문제 해결 (잔여량으로부터 아침 더미를 복원: $\tfrac{2}{3}$ 더미 $= 80 \Rightarrow$ 더미 $= 120$, $\tfrac{3}{4}$ 더미 $= 135 \Rightarrow$ 더미 $= 180$, $\tfrac{4}{5}$ 책 $= 192 \Rightarrow$ 책 $= 240$.)
⭐ 마지막에 남은 양이 분명히 주어졌다면 이야기를 거꾸로 되감으세요 — "$+$ 추가" 를 먼저 되돌리고, 그 다음 분수를 역수로 키워 더미 전체를 복원하면 됩니다. 이 AMC 8 문제는 6학년 비율 추론만 알면 풀 수 있어요.
⭐ 마지막에 남은 양이 분명히 주어졌다면 이야기를 거꾸로 되감으세요 — "$+$ 추가" 를 먼저 되돌리고, 그 다음 분수를 역수로 키워 더미 전체를 복원하면 됩니다. 이 AMC 8 문제는 6학년 비율 추론만 알면 풀 수 있어요.
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