AMC 8 · 2010 · #23

학년 8 geometry-2d

유형 Compound Area by Decomposition / Difference └ 세부 유형 Nested Frame / Concentric Difference

area-circlespythagorean-theoremcoordinate-geometryratio-proportion identify-subproblemscoordinate-geometry ↑ 선수 지식: area-circlespythagorean-theorem

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트 📊 도형

문제

반원 $POQ$ 와 $ROS$ 는 모두 원 $O$ 의 중심 $O$ 를 지납니다. 두 반원의 넓이의 합과 원 $O$ 의 넓이의 비는 얼마일까요?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\frac{\sqrt{2}}{4}$

(B)

$\frac{1}{2}$

(C)

$\frac{2}{\pi}$

(D)

$\frac{2}{3}$

(E)

$\frac{\sqrt{2}}{2}$

AMC 8 2010 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 원점에 중심을 둔 원 $O$ 가 네 점 $P(-1,1)$, $Q(1,1)$, $R(-1,-1)$, $S(1,-1)$ 을 지납니다. 두 개의 반원이 그려져 있는데, 하나는 현 $PQ$ 를 지름으로 하고 중심 $O$ 를 지나는 반원이고, 다른 하나는 현 $RS$ 를 지름으로 하고 마찬가지로 $O$ 를 지나는 반원입니다. 두 반원의 넓이를 합한 값과 원 $O$ 의 넓이의 비는 얼마일까요?

주어진 것: 원 $O$ 는 원점을 중심으로 하고 $P(-1,1)$, $Q(1,1)$, $R(-1,-1)$, $S(1,-1)$ 을 지난다; 반원 $POQ$ 의 지름은 $PQ$ 이고 $O$ 를 지난다; 반원 $ROS$ 의 지름은 $RS$ 이고 $O$ 를 지난다; 선택지: (A) $\tfrac{\sqrt{2}}{4}$, (B) $\tfrac{1}{2}$, (C) $\tfrac{2}{\pi}$, (D) $\tfrac{2}{3}$, (E) $\tfrac{\sqrt{2}}{2}$

구하는 것: (두 반원의 넓이의 합) : (원 $O$ 의 넓이) 의 비

이해

계획

주요 도구: #11 좌표 사용하기

보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기

그림이 이미 좌표평면 위에 네 꼭짓점과 함께 그려져 있으므로, 도구 #11(좌표 사용하기) 로 길이를 모두 두 점 사이의 거리로 바꿔서 계산하면 됩니다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기) 은 문제를 두 부분 — $O$ 에서 $P$ 까지의 거리로 큰 원의 반지름 구하기, 현 $PQ$ 의 길이로 작은 반원의 반지름 구하기 — 으로 깔끔하게 나눠 줘서, 마지막 넓이 비는 $\dfrac{2 \cdot \tfrac{1}{2}\pi r_{\text{작}}^2}{\pi r_{\text{큰}}^2}$ 한 줄로 끝납니다.

실행 — 정답: B

#11 좌표 사용하기 8.G.B.8 단계 1

원 $O$ 의 반지름을 구합니다.
$O = (0,0)$ 이고 $P = (-1, 1)$ 이 원 위의 점이므로, 반지름은 거리 $OP$ 입니다.
가로 $1$, 세로 $1$ 을 두 변으로 하는 피타고라스 거리 공식을 씁니다.

$$r_{\text{큰}} = \sqrt{(-1-0)^2 + (1-0)^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$$

💡 좌표평면 위 두 점 사이의 거리를 피타고라스 정리로 구하는 것은 8학년 거리 공식 그대로입니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 7.G.B.4 단계 2

원 $O$ 의 넓이를 $A = \pi r^2$ 에 $r = \sqrt{2}$ 를 대입해 구합니다.

$$A_{\text{큰}} = \pi (\sqrt{2})^2 = 2\pi$$

💡 원에 $A = \pi r^2$ 을 적용하는 것은 7학년 표준 원의 넓이 공식입니다.

#11 좌표 사용하기 6.NS.C.8 단계 3

작은 반원의 지름을 구합니다.
현 $PQ$ 는 $(-1, 1)$ 에서 $(1, 1)$ 까지로 $y = 1$ 을 공유하는 수평선이므로, 길이는 $x$ 좌표의 차이입니다.
$PQ$ 가 지름이므로 반지름은 그 절반입니다.

$$PQ = 1 - (-1) = 2 \;\Rightarrow\; r_{\text{작}} = \tfrac{PQ}{2} = 1$$

💡 좌표평면 위 수평 거리를 $x$ 좌표의 차이로 읽는 것은 6학년 좌표평면 기본기입니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 7.G.B.4 단계 4

두 반원의 넓이의 합을 구합니다.
각 반원의 반지름은 $1$ 이므로 각각의 넓이는 $\tfrac{1}{2}\pi (1)^2 = \tfrac{\pi}{2}$ 이고, 두 개를 합하면 반지름 $1$ 인 단위원 하나 분량이 됩니다.

$$A_{\text{반원들}} = 2 \cdot \tfrac{1}{2}\pi (1)^2 = \pi$$

💡 두 반원을 합쳐서 "단위원 하나의 넓이" 로 묶어 보는 것이 도구 #7(작은 문제로 쪼개기) 의 핵심 동작입니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 6.RP.A.1 단계 5

두 반원의 넓이의 합과 원 $O$ 의 넓이의 비를 계산합니다.

$$\dfrac{A_{\text{반원들}}}{A_{\text{큰}}} = \dfrac{\pi}{2\pi} = \dfrac{1}{2} \;\Rightarrow\; \textbf{(B)}$$

💡 한 양을 다른 양에 대한 분수로 표현하는 것은 6학년 비율 개념 그대로입니다.

[1] #11 8.G.B.8 원 $O$ 의 반지름을 구합니다. $O = (0,0)$ 이고 $P = (-1, 1)$ 이 원 위의 점이므로, 반지름은 거리 $OP$ 입니다. 가

[2] #7 7.G.B.4 원 $O$ 의 넓이를 $A = \pi r^2$ 에 $r = \sqrt{2}$ 를 대입해 구합니다.

[3] #11 6.NS.C.8 작은 반원의 지름을 구합니다. 현 $PQ$ 는 $(-1, 1)$ 에서 $(1, 1)$ 까지로 $y = 1$ 을 공유하는 수평선이므로, 길이는 $

[4] #7 7.G.B.4 두 반원의 넓이의 합을 구합니다. 각 반원의 반지름은 $1$ 이므로 각각의 넓이는 $\tfrac{1}{2}\pi (1)^2 = \tfrac{\p

[5] #7 6.RP.A.1 두 반원의 넓이의 합과 원 $O$ 의 넓이의 비를 계산합니다.

검토

합리성 확인: 큰 원의 반지름은 $\sqrt{2} \approx 1.41$ 이라 넓이가 $2\pi$, 즉 단위원의 정확히 두 배입니다. 두 반원은 (넓이 면에서) 단위원 하나로 합쳐져 $\pi$ 가 되고, 따라서 비는 $\pi : 2\pi = 1 : 2$ 로 답 (B) 와 정확히 맞습니다. 다른 선택지는 간단한 단위 검사로 걸러집니다 — $\tfrac{2}{\pi} \approx 0.637$ 처럼 비에 $\pi$ 가 남으면 모순이고, $\tfrac{\sqrt{2}}{4}, \tfrac{\sqrt{2}}{2}$ 는 넓이가 아닌 길이의 비처럼 보입니다.

대안 접근: 도구 #2(규칙 찾기) 의 닮음 비 관점: 모든 원은 서로 닮음이므로 넓이의 비는 반지름의 제곱의 비와 같습니다. 작은 반원의 반지름은 $1$, 큰 원의 반지름은 $\sqrt{2}$ 이므로 $\dfrac{r_{\text{작}}^2}{r_{\text{큰}}^2} = \dfrac{1}{2}$. 두 반원을 합하면 작은 원 하나가 되므로, (작은 원) : (큰 원) $= \tfrac{1}{2}$ — 답 (B). $\pi$ 를 한 번도 직접 계산하지 않고 끝납니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

6.NS.C.8 좌표평면에 점을 그려 실생활·수학 문제 해결 ($P(-1,1)$ 과 $Q(1,1)$ 의 $x$ 좌표 차이로 수평 거리 $PQ = 2$ 를 곧장 읽는 데 사용.)
6.RP.A.1 비의 개념 이해 (두 반원의 넓이의 합과 큰 원의 넓이의 비 $\dfrac{\pi}{2\pi} = \dfrac{1}{2}$ 로 최종 답을 표현.)
7.G.B.4 원의 넓이와 둘레 공식을 알고 문제 해결에 활용 ($A = \pi r^2$ 으로 큰 원의 넓이 $2\pi$ 와 각 작은 반원의 넓이 $\tfrac{\pi}{2}$ 를 계산.)
8.G.B.8 좌표계에서 두 점 사이의 거리를 피타고라스 정리로 구하기 ($OP = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$ 로 원 $O$ 의 반지름을 계산.)

⭐ 이 AMC 8 기하 문제는 사실 8학년 거리 공식과 7학년 원의 넓이 공식만 알면 풀 수 있어요!

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: B

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

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