AMC 8 · 2010 · #4

학년 6 arithmetic

유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Fraction / Expression Sum Evaluation

mean-median-mode-rangefraction-arithmetic identify-subproblems ↑ 선수 지식: mean-median-mode-rangemulti-digit-arithmetic

📏 짧은 풀이 💡 3 개 인사이트

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문제

자료 $2,3,0,3,1,4,0,3$ 의 평균, 중앙값, 최빈값을 모두 더한 값은 얼마일까요?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

6.5

(B)

(C)

7.5

(D)

8.5

(E)

AMC 8 2010 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 자료 $2, 3, 0, 3, 1, 4, 0, 3$ 의 평균(mean), 중앙값(median), 최빈값(mode) 을 각각 구한 뒤 세 값을 모두 더하세요.

주어진 것: 자료: $2, 3, 0, 3, 1, 4, 0, 3$ (총 $8$ 개 값); 구해야 할 통계량 세 가지: 평균, 중앙값, 최빈값; 선택지: (A) $6.5$, (B) $7$, (C) $7.5$, (D) $8.5$, (E) $9$

구하는 것: 평균 $+$ 중앙값 $+$ 최빈값 의 값

이해

문제 재정리: 자료 $2, 3, 0, 3, 1, 4, 0, 3$ 의 평균(mean), 중앙값(median), 최빈값(mode) 을 각각 구한 뒤 세 값을 모두 더하세요.

주어진 것: 자료: $2, 3, 0, 3, 1, 4, 0, 3$ (총 $8$ 개 값); 구해야 할 통계량 세 가지: 평균, 중앙값, 최빈값; 선택지: (A) $6.5$, (B) $7$, (C) $7.5$, (D) $8.5$, (E) $9$

계획

주요 도구: #2 빠짐없이 나열하기

보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기

자료가 순서 없이 섞여 있으므로 가장 먼저 도구 #2(빠짐없이 나열하기)로 작은 값부터 큰 값까지 정렬합니다. 한 번 정렬해 두면 중앙값과 최빈값이 눈으로 바로 보이고, 중복을 잘못 셀 일도 없습니다. 그 다음 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)을 적용합니다 — 이 문제는 사실 "평균 구하기, 중앙값 구하기, 최빈값 구하기" 세 개의 작은 문제와 마지막 덧셈 하나로 이루어져 있기 때문입니다.

실행 — 정답: C

#2 빠짐없이 나열하기 5.MD.B.2 단계 1

자료를 작은 값부터 큰 값 순으로 정렬해, 가운데 값과 반복되는 값을 한눈에 볼 수 있게 만듭니다.

$$2, 3, 0, 3, 1, 4, 0, 3 \;\Rightarrow\; 0, 0, 1, 2, 3, 3, 3, 4$$

💡 수직선 위에 자료를 차곡차곡 늘어놓는 5학년 점도표(line plot)의 정렬 동작 그대로입니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 6.SP.B.5 단계 2

최빈값을 찾습니다.
정렬된 목록에서 가장 자주 나오는 값을 봅니다.
$0$ 은 두 번, $3$ 은 세 번, 나머지 값은 한 번씩 나오므로 최빈값은 $3$.

$$\text{최빈값} = 3$$

💡 가장 자주 나오는 값을 고르는 것은 6학년에서 배우는 "대푯값(measure of center)" 가운데 가장 단순한 읽기입니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 6.SP.B.5 단계 3

중앙값을 찾습니다.
자료가 $8$ 개(짝수)이므로 정렬된 목록의 $4$ 번째와 $5$ 번째 값의 평균이 중앙값입니다.
그 두 값은 $2$ 와 $3$.

$$\text{중앙값} = \dfrac{2 + 3}{2} = 2.5$$

💡 자료의 개수가 짝수일 때 가운데 두 값의 평균을 잡는 규칙은 6학년 "자료의 요약" 표준에 포함됩니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 6.SP.B.5 단계 4

평균을 구합니다.
모든 값을 더해 자료의 개수 $8$ 로 나눕니다.

$$\text{평균} = \dfrac{0+0+1+2+3+3+3+4}{8} = \dfrac{16}{8} = 2$$

💡 "합 $\div$ 개수" 가 바로 6학년 교과서에서 평균을 정의하는 방식입니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 5.NBT.B.7 단계 5

세 값을 더해서 답을 구합니다.

$$\text{평균} + \text{중앙값} + \text{최빈값} = 2 + 2.5 + 3 = 7.5 \;\Rightarrow\; \textbf{(C)}$$

💡 정수와 소수점 한 자리 수를 더하는 것은 5학년의 소수 사칙연산 기본기입니다.

[1] #2 5.MD.B.2 자료를 작은 값부터 큰 값 순으로 정렬해, 가운데 값과 반복되는 값을 한눈에 볼 수 있게 만듭니다.

[2] #7 6.SP.B.5 최빈값을 찾습니다. 정렬된 목록에서 가장 자주 나오는 값을 봅니다. $0$ 은 두 번, $3$ 은 세 번, 나머지 값은 한 번씩 나오므로 최빈값

[3] #7 6.SP.B.5 중앙값을 찾습니다. 자료가 $8$ 개(짝수)이므로 정렬된 목록의 $4$ 번째와 $5$ 번째 값의 평균이 중앙값입니다. 그 두 값은 $2$ 와 $

[4] #7 6.SP.B.5 평균을 구합니다. 모든 값을 더해 자료의 개수 $8$ 로 나눕니다.

[5] #7 5.NBT.B.7 세 값을 더해서 답을 구합니다.

검토

합리성 확인: 자료 값이 모두 $0$ 에서 $4$ 사이이므로 평균·중앙값·최빈값도 모두 $[0, 4]$ 안에 있어야 합니다. 결과는 평균 $= 2$, 중앙값 $= 2.5$, 최빈값 $= 3$ — 모두 범위 안이고, $3$ 이 세 번 나오는 "몰린 곳" 쪽으로 중앙값·최빈값이 끌려가고 두 개의 $0$ 이 평균을 끌어내린 것이 자연스럽게 보입니다. 세 값의 합 $7.5$ 는 $0 + 0 + 0 = 0$ 과 $4 + 4 + 4 = 12$ 사이에 있고 선택지 (C) 와 일치합니다.

대안 접근: 도구 #1(그림 그리기) 로 점도표(dot plot) 를 그려도 됩니다. 수직선 $0, 1, 2, 3, 4$ 위에 자료마다 점을 하나씩 쌓으면 가장 높은 기둥은 $3$ — 한눈에 최빈값 $3$. 양 끝에서 안쪽으로 점을 짚어 들어가면 가운데 두 점이 $2$ 와 $3$ 자리에 놓이므로 중앙값은 $2.5$. 평균 $2$ 는 "$2$ 기준으로 왼쪽 점들의 거리 합 = 오른쪽 점들의 거리 합" 인 균형점으로 확인할 수 있습니다. 같은 세 값, 같은 합 $7.5$.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

5.MD.B.2 자료의 점도표(line plot) 를 만들고 자료를 사용해 문제 해결 ($8$ 개 값을 작은 것부터 큰 것 순으로 정렬하는 단계 — 5학년 점도표가 요구하는 동일한 정렬 동작.)
5.NBT.B.7 소수점 둘째 자리까지의 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈 (마지막에 $2 + 2.5 + 3 = 7.5$ 를 계산할 때 — 정수와 소수점 한 자리 수의 덧셈.)
6.SP.B.5 자료의 개수와 대푯값으로 수치 자료 요약 ($8$ 개 자료의 세 가지 대푯값 — 평균, 중앙값, 최빈값 — 을 계산하는 데 사용.)

⭐ 이 AMC 8 문제는 사실 6학년 때 배운 평균·중앙값·최빈값만 알면 풀 수 있어요!

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: C

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

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