AMC 8 · 2010 · #7

학년 3 arithmetic

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Sum-Target Search

systematic-enumerationmulti-digit-arithmeticpattern-recognition systematic-enumerationoptimization-counting ↑ 선수 지식: multi-digit-arithmetic

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

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문제

프레디(Freddie)는 페니( $1$ 센트), 니켈( $5$ 센트), 다임( $10$ 센트), 쿼터( $25$ 센트) 동전만 사용합니다. $1$ 달러 미만의 어떤 금액이든 정확히 지불할 수 있으려면, 프레디에게 필요한 동전은 최소 몇 개일까요?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 8 2010 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 프레디는 미국 동전 — 페니($1$¢), 니켈($5$¢), 다임($10$¢), 쿼터($25$¢) — 만 모아 둡니다. $1$¢ 부터 $99$¢ 까지 모든 금액을 갖고 있는 동전들로 정확히 지불할 수 있어야 하며, 그렇게 하기 위한 동전의 최소 개수가 얼마인지 구하는 문제입니다.

주어진 것: 사용 가능한 동전: 페니($1$¢), 니켈($5$¢), 다임($10$¢), 쿼터($25$¢); $1$¢ 부터 $99$¢ 까지($\$1$ 미만의) 모든 정수 금액을 정확히 지불할 수 있어야 함; 선택지: (A) $6$, (B) $10$, (C) $15$, (D) $25$, (E) $99$

구하는 것: 프레디가 가지고 있어야 할 동전의 최소 개수

이해

계획

주요 도구: #9 더 쉬운 관련 문제 풀기

보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기, #2 빠짐없이 나열하기, #6 추측하고 확인하기

$1$~$99$¢ 전체 범위를 한 번에 보면 막막하니까 도구 #9(더 쉬운 관련 문제 풀기)로 $1$¢ 부터 $24$¢ 까지의 더 작은 범위를 먼저 해결합니다 — 그러면 작은 동전들의 개수가 정해집니다. 도구 #2(빠짐없이 나열하기)는 그 안에서 $5$의 배수($5, 10, 15, 20$)를 적고 어떤 $\{\text{니켈}, \text{다임}\}$ 조합이 각 값을 만드는지 확인하는 데 씁니다. 그 다음 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 큰 금액을 다룹니다 — $0$~$24$¢ 가 해결된 뒤에는 쿼터 하나가 범위를 $+25$¢ 만큼 늘려 주므로 쿼터 $3$ 개로 $99$¢ 까지 닿습니다. 마지막으로 도구 #6(추측하고 확인하기)으로 선택지를 점검합니다 — (A) $6$ 은 너무 적고, (C) $15$ · (D) $25$ 는 낭비라 답 후보는 $10$ 근처로 좁혀집니다.

실행 — 정답: B

#9 더 쉬운 관련 문제 풀기 2.MD.C.8 단계 1

먼저 쉬운 문제: 페니, 니켈, 다임만으로 $1$¢ 부터 $24$¢ 까지 모든 금액을 만들 수 있는 최소 동전 수는?
일의 자리($0$~$4$)는 오직 페니로만 채울 수 있으므로 페니가 $4$ 개 필요합니다.

필요한 페니 $= 4$ 개 ($5$의 배수 위에 $1$¢, $2$¢, $3$¢, $4$¢ 를 얹기 위함)

💡 페니가 $3$ 개뿐이라면 $4$¢ 를 만들 수 없습니다 — 니켈보다 작은 동전은 페니뿐이니까요.

#2 빠짐없이 나열하기 2.MD.C.8 단계 2

이제 $5$의 배수 부분 — $5, 10, 15, 20$ — 을 채웁니다.
니켈 $1$ 개 $= 5$¢, 다임 $1$ 개 $= 10$¢, 니켈 $+ $ 다임 $= 15$¢, 다임 $2$ 개 $= 20$¢.
따라서 니켈 $1$ 개와 다임 $2$ 개만으로 $5, 10, 15, 20$¢ 를 모두 만들 수 있습니다.
(다임을 $1$ 개만 두면 $20$¢ 가 만들어지지 않아 니켈을 더 늘려야 하므로 오히려 동전 수가 늘어납니다.)

니켈 $= 1$, 다임 $= 2$ $\Rightarrow$ $\{5, 10, 15, 20\}$ ¢ 모두 커버

💡 $20$ 이하의 $5$의 배수를 적고, 어떤 $\{\text{니켈}, \text{다임}\}$ 조합이 각 값을 만드는지 확인하는 작은 도구 #2(빠짐없이 나열하기) 입니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 2.NBT.B.5 단계 3

여기까지 정리: 페니 $4$ + 니켈 $1$ + 다임 $2$ $= 7$ 개의 동전으로 $0$¢ 부터 $24$¢ 까지 모든 금액을 만들 수 있습니다 (페니로 일의 자리 $0$~$4$, 니켈·다임으로 $\{0, 5, 10, 15, 20\}$ 을 선택).

$4 + 1 + 2 = 7$ 개 $\;\Rightarrow\;$ $0$~$24$¢ 모두 커버

💡 금액을 (일의 자리) $+$ ($5$의 배수) 로 쪼개는 것이 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)의 깔끔한 분해입니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 3.OA.D.8 단계 4

이제 쿼터로 범위를 늘립니다.
쿼터 $1$ 개를 추가할 때마다 커버 범위가 $+25$¢ 만큼 이동하므로, 쿼터 $1$ 개로 $25$~$49$¢, $2$ 개로 $50$~$74$¢, $3$ 개로 $75$~$99$¢ 가 커버됩니다.
$99$¢ 까지만 필요하므로 쿼터 $3$ 개면 충분합니다 ($1$ 달러를 만들 필요는 없습니다).

필요한 쿼터 $= 3$ 개 $\;\Rightarrow\;$ $0$~$99$¢ 모두 커버

💡 쿼터 한 개를 더할 때마다 동전 모음의 도달 범위가 $25$¢씩 위로 밀려나는 — 그 자체로 독립된 작은 문제입니다.

#6 추측하고 확인하기 2.NBT.B.5 단계 5

동전을 모두 합산하고 선택지와 맞춰 봅니다.

$$4 \text{ 페니} + 1 \text{ 니켈} + 2 \text{ 다임} + 3 \text{ 쿼터} = 4 + 1 + 2 + 3 = 10 \text{ 개} \;\Rightarrow\; \textbf{(B)}$$

💡 (A) $6$ 은 페니 $4$ + 쿼터 $3$ 만으로도 이미 넘으므로 불가능, 다른 큰 선택지들은 분명히 낭비입니다. 우리가 만든 $10$ 과 정확히 일치하는 (B) 가 최소입니다.

[1] #9 2.MD.C.8 먼저 쉬운 문제: 페니, 니켈, 다임만으로 $1$¢ 부터 $24$¢ 까지 모든 금액을 만들 수 있는 최소 동전 수는? 일의 자리($0$~$4$)

[2] #2 2.MD.C.8 이제 $5$의 배수 부분 — $5, 10, 15, 20$ — 을 채웁니다. 니켈 $1$ 개 $= 5$¢, 다임 $1$ 개 $= 10$¢, 니켈

[3] #7 2.NBT.B.5 여기까지 정리: 페니 $4$ + 니켈 $1$ + 다임 $2$ $= 7$ 개의 동전으로 $0$¢ 부터 $24$¢ 까지 모든 금액을 만들 수 있습니

[4] #7 3.OA.D.8 이제 쿼터로 범위를 늘립니다. 쿼터 $1$ 개를 추가할 때마다 커버 범위가 $+25$¢ 만큼 이동하므로, 쿼터 $1$ 개로 $25$~$49$¢,

[5] #6 2.NBT.B.5 동전을 모두 합산하고 선택지와 맞춰 봅니다.

검토

합리성 확인: 몇 가지 금액으로 확인해 봅시다. $7$¢ $= $ 니켈 $1 + $ 페니 $2$. $38$¢ $= $ 쿼터 $1 + $ 다임 $1 + $ 페니 $3$. $99$¢ $= $ 쿼터 $3 + $ 다임 $2 + $ 페니 $4$ — 모음의 모든 동전을 한 번에 다 쓰므로 어떤 동전도 뺄 수 없습니다. 페니 하나를 빼면 $4$¢ 가 깨지고, 니켈을 빼면 $5$¢ 가 깨지고(니켈 없이 $5$¢ 를 만들려면 페니 $5$ 개가 필요해 오히려 늘어남), 다임을 빼면 $20$¢ 가 깨지고, 쿼터를 빼면 $75$¢ 이상이 깨집니다. 따라서 $10$ 이 정확히 최소이고 답은 (B) 입니다.

대안 접근: 도구 #6(추측하고 확인하기)으로 선택지를 직접 점검합니다. (A) $6$ 개는 페니 $4$ 개와 쿼터 $3$ 개만으로 이미 $7$ 개가 필요하므로 불가능. (C) $15$, (D) $25$, (E) $99$ 는 모두 더 큰 수로 가능은 하지만 (예: (E) 페니 $99$ 개) 최소가 아닙니다. $10$ 이 동작하는 것을 확인한 순간 (B) 가 최소 후보로 확정됩니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 3)

2.MD.C.8 달러, 쿼터, 다임, 니켈, 페니가 등장하는 돈 문장제 해결 (미국 동전의 가치($1$¢, $5$¢, $10$¢, $25$¢)를 이용해 페니·니켈·다임으로 $1$¢~$24$¢ 의 모든 금액을 만드는 데 사용.)
2.NBT.B.5 $100$ 이내의 덧셈과 뺄셈을 능숙하게 수행 (동전 가치를 더해 각 금액이 만들어짐을 확인 (예: $25 + 10 + 3 = 38$¢) 하고, 동전 총 개수 $4+1+2+3=10$ 을 합산.)
3.OA.D.8 사칙연산을 이용한 두 단계 문장제 해결 (두 개의 작은 문제 — (i) $0$~$24$¢ 를 덮는 최소 작은 동전 수, (ii) $99$¢ 까지 닿기 위한 쿼터 개수 — 를 합쳐 최종 동전 수를 결정.)

⭐ 이 AMC 8 문제는 3학년 수준의 사고만 있으면 풀려요 — 페니·니켈·다임으로 $0$~$24$¢ 의 쉬운 부분을 먼저 해결하고, 나머지는 쿼터에게 맡기면 끝!

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: B

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 3)

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