AMC 8 · 2011 · #10
학년 6 algebra문제
고담 시(Gotham City)의 택시 요금은 처음 21 마일에 $2.40 이고, 그 이후로는 추가 0.1 마일마다 $0.20 씩 더 받습니다. 기사에게 팁으로 $2 를 주려고 할 때, $10 으로는 몇 마일까지 탈 수 있을까요?
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AMC 8 2011 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.
도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: 고담시의 택시는 처음 $\tfrac{1}{2}$ 마일에 $\$2.40$, 그 이후로는 $0.1$ 마일마다 $\$0.20$ 을 추가로 받습니다. 총 $\$10$ 을 가지고 있고 기사에게 팁으로 $\$2$ 를 주려고 합니다. 몇 마일까지 탈 수 있을까요?
주어진 것: 기본 요금 $\$2.40$ 으로 처음 $0.5$ 마일까지 이용 가능; $0.5$ 마일을 넘기면 $0.1$ 마일당 $\$0.20$; 전체 가진 돈 $= \$10$; 지급 예정 팁 $= \$2$; 선택지: (A) $3.0$, (B) $3.25$, (C) $3.3$, (D) $3.5$, (E) $3.75$ (마일)
구하는 것: $\$10$ 예산 안에서 탈 수 있는 총 거리(마일)
이해
문제 재정리: 고담시의 택시는 처음 $\tfrac{1}{2}$ 마일에 $\$2.40$, 그 이후로는 $0.1$ 마일마다 $\$0.20$ 을 추가로 받습니다. 총 $\$10$ 을 가지고 있고 기사에게 팁으로 $\$2$ 를 주려고 합니다. 몇 마일까지 탈 수 있을까요?
주어진 것: 기본 요금 $\$2.40$ 으로 처음 $0.5$ 마일까지 이용 가능; $0.5$ 마일을 넘기면 $0.1$ 마일당 $\$0.20$; 전체 가진 돈 $= \$10$; 지급 예정 팁 $= \$2$; 선택지: (A) $3.0$, (B) $3.25$, (C) $3.3$, (D) $3.5$, (E) $3.75$ (마일)
계획
주요 도구: #7 작은 문제로 쪼개기
보조 도구: #8 단위 살펴보기
$\$10$ 이 팁·기본 요금·$0.1$ 마일당 추가 요금이라는 세 가지 일을 한꺼번에 해야 하므로, 도구 #7(작은 문제로 쪼개기) 로 "팁 떼기 → 기본 요금 떼기 → 남은 돈으로 얼마나 더 갈 수 있나" 의 세 단계로 깔끔하게 분리하는 게 좋습니다. 도구 #8(단위 살펴보기) 는 어색한 "$0.1$ 마일당 $\$0.20$" 비율을 "마일당 $\$2$" 의 친숙한 단위율로 바꿔 줘서, 마지막 계산이 방정식이 아니라 한 줄짜리 소수 나눗셈으로 끝나게 합니다.
실행 — 정답: C
4.MD.A.2 단계 1 - 작은 문제 1 — 팁을 먼저 떼어 둡니다.
- $\$2$ 는 기사에게 따로 줄 돈이니, 미터에 쓸 수 있는 돈은 그만큼 줄어듭니다.
💡 $\$10$ 을 "팁" 과 "요금" 으로 나눠 한 가지씩 처리하는 것이 도구 #7 의 핵심 동작입니다.
5.NBT.B.7 단계 2 - 작은 문제 2 — 처음 $\tfrac{1}{2}$ 마일에 해당하는 기본 요금을 뺍니다.
- 남는 돈으로 그 이후 거리를 사야 합니다.
💡 소수점 둘째 자리까지의 뺄셈은 5학년 소수 사칙연산 그대로입니다.
6.RP.A.3 단계 3 - 미터 요금률의 단위를 마일 단위로 환산합니다.
- $0.1$ 마일에 $\$0.20$ 이므로 $1$ 마일에는 그 $10$ 배인 $\$2.00$ 입니다.
💡 분자·분모에 $10$ 을 곱해 "$0.1$ 마일당" 을 "마일당" 으로 바꾸는 것은 6학년 단위율(비례 추론) 동작입니다.
5.NBT.B.7 단계 4 작은 문제 3 — 마일당 $\$2.00$ 의 요금률로 $\$5.60$ 이 몇 마일을 살 수 있는지 구합니다.
💡 $5.60 \div 2$ 는 5학년 소수 나눗셈 그대로의 한 줄 계산입니다.
5.NBT.B.7 단계 5 기본 요금이 커버하는 $0.5$ 마일과 추가 거리 $2.8$ 마일을 합쳐 전체 이동 거리를 구합니다.
💡 쪼갰던 두 조각(처음 $0.5$ 마일 $+$ 추가 $2.8$ 마일) 을 다시 합치며 도구 #7 의 분할이 마무리됩니다.
4.MD.A.2 작은 문제 1 — 팁을 먼저 떼어 둡니다. $\$2$ 는 기사에게 따로 줄 돈이니, 미터에 쓸 수 있는 돈은 그만큼 줄어듭니다. 5.NBT.B.7 작은 문제 2 — 처음 $\tfrac{1}{2}$ 마일에 해당하는 기본 요금을 뺍니다. 남는 돈으로 그 이후 거리를 사야 합니다. 6.RP.A.3 미터 요금률의 단위를 마일 단위로 환산합니다. $0.1$ 마일에 $\$0.20$ 이므로 $1$ 마일에는 그 $10$ 배인 $\$2.00$ 입니다 5.NBT.B.7 작은 문제 3 — 마일당 $\$2.00$ 의 요금률로 $\$5.60$ 이 몇 마일을 살 수 있는지 구합니다. 5.NBT.B.7 기본 요금이 커버하는 $0.5$ 마일과 추가 거리 $2.8$ 마일을 합쳐 전체 이동 거리를 구합니다. 검토
합리성 확인: 돈 단위로 다시 확인해 봅시다. 처음 $0.5$ 마일에 $\$2.40$, 추가 $2.8$ 마일에 $2.8 \times \$2.00 = \$5.60$, 팁 $\$2.00$ 이므로 합계 $= 2.40 + 5.60 + 2.00 = \$10.00$ 으로 정확히 $\$10$ 을 모두 씁니다. 정답 $3.3$ 마일이 맞는다는 뜻입니다. 크기 감각도 확인: 처음 반 마일 이후 마일당 $\$2$ 이니 $\$5.60$ 으로는 $3$ 마일이 채 안 되는 추가 거리만 가능 — 따라서 전체 거리는 $3.5$ 마일보다 살짝 작아야 하고, $3.3$ 은 딱 맞는 위치입니다.
대안 접근: 도구 #6(추측하고 확인하기) 로 선택지를 직접 대입해 봅시다. 거리 $x$ 일 때 총비용은 $\$2.40 + (x - 0.5) \times \$2.00 + \$2.00 \text{ 팁}$ 이고, 이게 정확히 $\$10.00$ 이어야 합니다. (A) $3.0$: $2.40 + 2.5 \times 2 + 2 = \$9.40$ (모자람). (B) $3.25$: $2.40 + 2.75 \times 2 + 2 = \$9.90$ (여전히 모자람). (C) $3.3$: $2.40 + 2.8 \times 2 + 2 = \$10.00$ — 정확히 일치. (D) $3.5$, (E) $3.75$ 는 $\$10$ 을 초과하므로 답은 (C).
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)
4.MD.A.2거리, 시간, 액체의 부피, 질량, 돈을 포함한 문장제 해결 ($\$10$ 에서 팁 $\$2$ 를 떼어내 미터 요금 예산 $\$8$ 을 구하는 돈 관련 문장제 뺄셈에 사용.)5.NBT.B.7소수점 둘째 자리까지의 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈 (풀이 본문의 소수 사칙연산($\$8.00 - \$2.40 = \$5.60$, $\$5.60 \div \$2.00 = 2.8$, $0.5 + 2.8 = 3.3$) 에 사용.)6.RP.A.3비율·비례 추론으로 실생활·수학 문제 해결 (미터 요금률 $\$0.20 / 0.1 \text{ 마일}$ 을 동등한 단위율 $\$2.00 / \text{마일}$ 로 바꾸고, 이 비율로 남은 $\$5.60$ 을 거리로 환산하는 데 사용.)
⭐ 큰 AMC 8 문장제도 팁과 기본 요금만 먼저 떼어내면, 결국 6학년에서 배운 단위율과 소수 나눗셈 한 줄로 끝나요.
⭐ 큰 AMC 8 문장제도 팁과 기본 요금만 먼저 떼어내면, 결국 6학년에서 배운 단위율과 소수 나눗셈 한 줄로 끝나요.
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