AMC 8 · 2011 · #16

학년 8 geometry-2d

유형 Compound Area by Decomposition / Difference └ 세부 유형 Polygon Triangulation

area-trianglespythagorean-theoremisosceles-triangle identify-subproblems ↑ 선수 지식: pythagorean-theoremarea-triangles

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

세 변의 길이가 $25, 25, 30$ 인 삼각형의 넓이를 $A$ 라 하고, 세 변의 길이가 $25, 25, 40$ 인 삼각형의 넓이를 $B$ 라고 합시다. $A$ 와 $B$ 사이의 관계는 무엇인가요?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$A = \dfrac{9}{16}B$

(B)

$A = \dfrac{3}{4}B$

(C)

A = B

(D)

$A = \dfrac{4}{3}B$

(E)

$A = \dfrac{16}{9}B$

AMC 8 2011 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 삼각형 $A$ 의 세 변은 $25, 25, 30$ 이고, 삼각형 $B$ 의 세 변은 $25, 25, 40$ 입니다. 둘 다 이등변삼각형입니다. 두 넓이 $A$ 와 $B$ 의 관계는 무엇일까요?

주어진 것: 삼각형 $A$: 세 변 $25, 25, 30$; 삼각형 $B$: 세 변 $25, 25, 40$; 두 삼각형 모두 이등변삼각형 (길이 $25$ 인 변이 두 개); 선택지: (A) $A=\tfrac{9}{16}B$, (B) $A=\tfrac{3}{4}B$, (C) $A=B$, (D) $A=\tfrac{4}{3}B$, (E) $A=\tfrac{16}{9}B$

구하는 것: 두 넓이 $A$ 와 $B$ 사이의 관계

이해

계획

주요 도구: #1 그림 그리기

보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기

변의 길이만 주어진 도형 문제이므로 도구 #1(그림 그리기)이 자연스러운 첫 수입니다 — 각 이등변삼각형을 그린 뒤 꼭짓점에서 밑변에 수선을 내립니다. 그러면 수선이 밑변을 이등분해 직각삼각형 두 개가 생깁니다. 이어서 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 작업을 나눕니다 — 직각삼각형 조각에서 $A$ 를 구하고, 같은 방식으로 $B$ 를 구한 다음 비교합니다. 직각삼각형이 나오면 피타고라스 정리로 높이를 구할 수 있고, 넓이는 $\tfrac{1}{2} \times \text{밑변} \times \text{높이}$ 로 바로 나옵니다.

실행 — 정답: C

#1 그림 그리기 4.G.A.3 단계 1

세 변이 $25, 25, 30$ 인 삼각형 $A$ 를 그립니다.
두 $25$ 변 사이의 꼭짓점에서 밑변($30$) 으로 수선을 내리면, 이등변삼각형이므로 수선이 밑변을 길이 $15$ 인 두 토막으로 이등분합니다.
결과로 빗변이 $25$, 한 변이 $15$ 인 합동인 직각삼각형 두 개가 만들어집니다.

$$\text{밑변의 절반} = \tfrac{30}{2} = 15$$

💡 이등변삼각형은 꼭짓점을 지나는 대칭축을 가지는데, 그 대칭축이 바로 밑변에 내린 수선입니다 — 4학년 대칭 개념 그대로.

#7 작은 문제로 쪼개기 8.G.B.7 단계 2

이 직각삼각형에서 피타고라스 정리($\text{밑변}^2 + \text{높이}^2 = \text{빗변}^2$)로 높이 $h_A$ 를 구합니다.

$$h_A^2 + 15^2 = 25^2 \;\Rightarrow\; h_A^2 = 625 - 225 = 400 \;\Rightarrow\; h_A = 20$$

💡 직각삼각형의 두 변에서 나머지 한 변을 구하는 것은 8학년 피타고라스 정리의 전형적인 활용입니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 6.G.A.1 단계 3

밑변과 높이로 넓이 $A$ 를 계산합니다.

$$A = \tfrac{1}{2} \times 30 \times 20 = 300$$

💡 삼각형 넓이 $= \tfrac{1}{2} \times \text{밑변} \times \text{높이}$ 는 6학년 기하 내용입니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 8.G.B.7 단계 4

삼각형 $B$($25, 25, 40$) 에도 같은 그림을 적용합니다.
수선이 밑변 $40$ 을 길이 $20$ 인 두 토막으로 이등분해 빗변 $25$, 한 변 $20$ 인 직각삼각형이 만들어집니다.
다시 피타고라스 정리로 $h_B$ 를 구합니다.

$$h_B^2 + 20^2 = 25^2 \;\Rightarrow\; h_B^2 = 625 - 400 = 225 \;\Rightarrow\; h_B = 15$$

💡 이번에는 직각삼각형의 두 변이 $20$ 과 $h_B$, 빗변이 $25$ — 같은 8학년 피타고라스 활용입니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 6.G.A.1 단계 5

넓이 $B$ 를 구하고 $A$ 와 비교합니다.

$$B = \tfrac{1}{2} \times 40 \times 15 = 300 \;\Rightarrow\; A = B \;\Rightarrow\; \textbf{(C)}$$

💡 두 삼각형의 넓이를 같은 $\tfrac{1}{2} \times \text{밑변} \times \text{높이}$ 공식으로 구하고 결과를 비교하는 6학년 단계입니다.

[1] #1 4.G.A.3 세 변이 $25, 25, 30$ 인 삼각형 $A$ 를 그립니다. 두 $25$ 변 사이의 꼭짓점에서 밑변($30$) 으로 수선을 내리면, 이등변삼

[2] #7 8.G.B.7 이 직각삼각형에서 피타고라스 정리($\text{밑변}^2 + \text{높이}^2 = \text{빗변}^2$)로 높이 $h_A$ 를 구합니다.

[3] #7 6.G.A.1 밑변과 높이로 넓이 $A$ 를 계산합니다.

[4] #7 8.G.B.7 삼각형 $B$($25, 25, 40$) 에도 같은 그림을 적용합니다. 수선이 밑변 $40$ 을 길이 $20$ 인 두 토막으로 이등분해 빗변 $2

[5] #7 6.G.A.1 넓이 $B$ 를 구하고 $A$ 와 비교합니다.

검토

합리성 확인: 두 삼각형 모두 $25$ 짜리 변 두 개를 공유하므로, 분해해서 나오는 직각삼각형의 빗변도 둘 다 $25$ 입니다. 삼각형 $A$ 에서는 두 변이 $15, 20$, 삼각형 $B$ 에서는 두 변이 $20, 15$ — 결국 같은 $15$-$20$-$25$ 직각삼각형($3$-$4$-$5$ 의 $5$ 배)입니다. 두 이등변삼각형이 모두 이 같은 직각삼각형 두 개로 이루어져 있으니, 넓이가 둘 다 $300$ 으로 같게 나오는 것은 당연합니다. 답 (C) $A=B$ 와 일치합니다.

대안 접근: 도구 #3(가능성 지우기): 두 삼각형은 $25$ 짜리 변 두 개를 공유하고, 분해하면 똑같은 $15$-$20$-$25$ 직각삼각형 두 개를 서로 다른 변을 따라 붙인 모양입니다. 이 대칭만 보면 넓이가 같을 수밖에 없고, (C) 를 제외한 모든 선택지가 즉시 탈락합니다. 공유 직각삼각형을 인식하면 계산 없이도 답이 나옵니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

4.G.A.3 이차원 도형의 대칭축 인식 (이등변삼각형의 꼭짓점에서 내린 수선이 대칭축이므로 밑변을 이등분한다는 사실을 정당화하는 데 사용.)
6.G.A.1 삼각형, 특별한 사각형, 다각형의 넓이를 합성·분해로 구하기 (높이를 구한 뒤 각 넓이를 $\tfrac{1}{2} \times \text{밑변} \times \text{높이}$ 로 계산하고 두 결과를 비교.)
8.G.B.7 직각삼각형에서 미지의 변을 구할 때 피타고라스 정리 적용 (직각삼각형 조각의 빗변 $25$ 와 밑변 절반($15$ 또는 $20$) 으로부터 이등변삼각형의 높이를 구하는 데 사용.)

⭐ 이 AMC 8 문제는 사실 8학년 때 배운 피타고라스 정리만 알면 풀 수 있어요!

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: C

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

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