AMC 8 · 2011 · #20

학년 8 geometry-2d

유형 Compound Area by Decomposition / Difference └ 세부 유형 Polygon Triangulation

area-trianglesarea-rectanglespythagorean-theorem identify-subproblemsarea-difference ↑ 선수 지식: pythagorean-theoremarea-trianglesarea-rectangles

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트 📊 도형

문제

사각형 $ABCD$ 는 사다리꼴이고, $AD = 15$ , $AB = 50$ , $BC = 20$ , 높이는 $12$ 입니다. 이 사다리꼴의 넓이는 얼마인가요?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

600

(B)

650

(C)

700

(D)

750

(E)

800

AMC 8 2011 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 사다리꼴 $ABCD$ 에서 평행한 두 변은 $AB = 50$(윗변)과 $CD$(아랫변)이고, 빗변(다리)은 $AD = 15$, $BC = 20$, 두 평행변 사이의 높이는 $12$ 입니다. 이 사다리꼴의 넓이를 구하세요.

주어진 것: 윗변 $AB = 50$; 왼쪽 다리 $AD = 15$; 오른쪽 다리 $BC = 20$; 높이($AB$ 와 $CD$ 사이) $= 12$; 선택지: (A) $600$, (B) $650$, (C) $700$, (D) $750$, (E) $800$

구하는 것: 사다리꼴 $ABCD$ 의 넓이

이해

주어진 것: 윗변 $AB = 50$; 왼쪽 다리 $AD = 15$; 오른쪽 다리 $BC = 20$; 높이($AB$ 와 $CD$ 사이) $= 12$; 선택지: (A) $600$, (B) $650$, (C) $700$, (D) $750$, (E) $800$

계획

주요 도구: #1 그림 그리기

보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기

그림은 이미 주어져 있지만, 핵심 동작 — $A$ 와 $B$ 에서 $CD$ 로 수선을 내리는 것 — 은 직접 그려 넣어야 합니다. 이것이 도구 #1(그림 그리기)의 역할이에요: 보조선을 더해 구조가 드러나게 하는 거죠. 두 수선을 그리면 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)이 작동합니다. 사다리꼴이 왼쪽 직각삼각형(다리 $12$ 와 $a$, 빗변 $15$), 가운데 직사각형(가로 $AB = 50$), 오른쪽 직각삼각형(다리 $12$ 와 $b$, 빗변 $20$)으로 쪼개지고, 각 조각은 따로 쉽게 풀립니다. 마지막에 $CD = a + 50 + b$ 로 합치면 끝입니다. 대수(도구 #13)는 필요 없습니다.

실행 — 정답: D

#1 그림 그리기 4.G.A.2 단계 1

$A$ 에서 $CD$ 로 수선을 내려 발을 $X$ 라 하고, $B$ 에서 $CD$ 로 수선을 내려 발을 $Y$ 라 합시다.
두 수선의 길이는 모두 $12$(높이)입니다.
이로써 사다리꼴이 세 조각 — 왼쪽 직각삼각형 $ADX$, 직사각형 $ABYX$, 오른쪽 직각삼각형 $BCY$ — 로 나뉩니다.

$$AX = BY = 12; \quad XY = AB = 50$$

💡 $ABYX$ 가 직사각형(두 쌍의 평행변, 네 직각)임을 알아채는 것은 4학년 "이차원 도형 분류" 그대로이고, 덕분에 $XY = 50$ 을 공짜로 얻습니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 8.G.B.7 단계 2

왼쪽 직각삼각형 $ADX$ 에 피타고라스 정리를 씁니다.
두 다리는 높이 $AX = 12$ 와 모르는 가로 조각 $DX = a$ 이고, 빗변은 사다리꼴의 다리 $AD = 15$ 입니다.

$$a^2 + 12^2 = 15^2 \;\Rightarrow\; a^2 = 225 - 144 = 81 \;\Rightarrow\; a = 9$$

💡 익숙한 $9, 12, 15$ 직각삼각형 — $3, 4, 5$ 의 $3$ 배입니다. 도구 #7 이 사다리꼴 하나를 친숙한 직각삼각형으로 바꿔 줬어요.

#7 작은 문제로 쪼개기 8.G.B.7 단계 3

오른쪽 직각삼각형 $BCY$ 에 같은 작업을 합니다.
두 다리는 $BY = 12$ 와 $YC = b$, 빗변은 $BC = 20$ 입니다.

$$b^2 + 12^2 = 20^2 \;\Rightarrow\; b^2 = 400 - 144 = 256 \;\Rightarrow\; b = 16$$

💡 또 하나의 익숙한 직각삼각형: $12, 16, 20$ 은 $3, 4, 5$ 의 $4$ 배입니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 4.G.A.2 단계 4

가로 세 조각을 더해서 아랫변을 구합니다.
$CD = DX + XY + YC = a + 50 + b$.

$$CD = 9 + 50 + 16 = 75$$

💡 직사각형의 가로 $+$ 두 삼각형의 다리로 아랫변을 다시 조립하는 것이 작은 문제로 쪼개기의 후반부입니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 6.G.A.1 단계 5

사다리꼴 넓이 공식에 $b_1 = AB = 50$, $b_2 = CD = 75$, 높이 $h = 12$ 를 대입합니다.

$$\text{넓이} = \tfrac{1}{2}(b_1 + b_2)h = \tfrac{1}{2}(50 + 75)(12) = 6 \times 125 = 750 \;\Rightarrow\; \textbf{(D)}$$

💡 $\tfrac{1}{2}(b_1 + b_2)h$ 는 사다리꼴을 삼각형과 직사각형으로 분해해서 유도할 수 있는 6학년 "분해로 넓이 구하기" 표준입니다.

[1] #1 4.G.A.2 $A$ 에서 $CD$ 로 수선을 내려 발을 $X$ 라 하고, $B$ 에서 $CD$ 로 수선을 내려 발을 $Y$ 라 합시다. 두 수선의 길이는 모

[2] #7 8.G.B.7 왼쪽 직각삼각형 $ADX$ 에 피타고라스 정리를 씁니다. 두 다리는 높이 $AX = 12$ 와 모르는 가로 조각 $DX = a$ 이고, 빗변은

[3] #7 8.G.B.7 오른쪽 직각삼각형 $BCY$ 에 같은 작업을 합니다. 두 다리는 $BY = 12$ 와 $YC = b$, 빗변은 $BC = 20$ 입니다.

[4] #7 4.G.A.2 가로 세 조각을 더해서 아랫변을 구합니다. $CD = DX + XY + YC = a + 50 + b$.

[5] #7 6.G.A.1 사다리꼴 넓이 공식에 $b_1 = AB = 50$, $b_2 = CD = 75$, 높이 $h = 12$ 를 대입합니다.

검토

합리성 확인: 세 조각의 넓이를 직접 더해서 확인합니다. 왼쪽 삼각형: $\tfrac{1}{2} \times 9 \times 12 = 54$. 가운데 직사각형: $50 \times 12 = 600$. 오른쪽 삼각형: $\tfrac{1}{2} \times 16 \times 12 = 96$. 합 $= 54 + 600 + 96 = 750$ 으로 공식의 결과 (D) 와 일치합니다. 크기 감각으로도 사다리꼴 넓이는 $50 \times 12 = 600$ 보다 크고 $75 \times 12 = 900$ 보다 작아야 하는데, $750$ 은 그 사이에 잘 들어옵니다.

대안 접근: 도구 #3(가능성 지우기) 으로 선택지를 확인해 봅시다. 넓이 $= \tfrac{1}{2}(50 + CD)(12) = 6(50 + CD)$ 이므로 각 선택지는 $CD$ 값을 지정합니다. (A) $600 \Rightarrow CD = 50$ ($a = b = 0$ 이라야 하는데 $AD \ne BC$ 라 불가); (B) $650 \Rightarrow CD \approx 58.3$ (정수 아님); (C) $700 \Rightarrow CD \approx 66.7$; (D) $750 \Rightarrow CD = 75$ ✓ ($9 + 50 + 16$ 과 일치); (E) $800 \Rightarrow CD \approx 83.3$. 가로 조각이 정수로 떨어지는 것은 (D) 뿐이라 결론이 같습니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

4.G.A.2 평행선·수직선의 유무로 이차원 도형 분류 (수선 두 개를 내린 뒤 $ABYX$ 가 직사각형임을 알아내어 $XY = AB = 50$ 을 얻고, 사다리꼴의 옆 조각들을 명명하는 데 사용.)
8.G.B.7 피타고라스 정리로 직각삼각형의 미지 변 구하기 (왼쪽 삼각형에서 $a^2 + 12^2 = 15^2 \Rightarrow a = 9$ 을, 오른쪽 삼각형에서 $b^2 + 12^2 = 20^2 \Rightarrow b = 16$ 을 구하는 데 사용.)
6.G.A.1 직각삼각형·특수 사각형·다각형을 직사각형으로 구성하거나 삼각형으로 분해해 넓이 구하기 (사다리꼴 넓이 $\tfrac{1}{2}(50 + 75)(12) = 750$ 을 계산 — 또는 사다리꼴을 분해한 직사각형 $+$ 두 직각삼각형의 넓이를 합산하는 데 사용.)

⭐ 수선 두 개만 내리면 사다리꼴이 직사각형 $+$ 직각삼각형 두 개로 바뀌고, 8학년 피타고라스 정리와 6학년 넓이 공식으로 마무리됩니다.

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: D

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

비슷한 유형 더 풀어보기